코시-슈바르츠 부등식

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1 개요

산술기하평균과 함께 전국의 60만 고1들의 멘탈을 남김없이 부숴버리는 것
미안한데 아직 수열도 남아있어...
코시 슈발이라 불린다 카더라
슈바르츠 쉴드!!!!!!!! 베니쉬먼트 디스월드!!!!!!!!
코시-슈바르츠 부등식은 코시(Cauchy, Augustin-Louis)가 만들었고 이후 슈바르츠(Schwartz, Hermann)가 수정한 절대부등식이다. 고등학교 과정에서는 보통

$$\left(a^2 + b^2 \right)\left(c^2 + d^2 \right) \ge \left(ac + bd\right) ^2$$

일 때를 다루고, 일반적으로는 변수가 여러 개일 때

$$\left({a_1}^2 + \cdots +{a_n}^2 \right)\left({b_1}^2 + \cdots +{b_n}^2 \right) \ge \left({a_1}{b_1} + \cdots +{a_n}{b_n} \right)^2$$

의 형태 또는 적분형태

$$\displaystyle \int_{a}^{b}f\left(x\right)^2 dx \int_{a}^{b}g\left(x\right)^2 dx \ge \left(\int_{a}^{b}f\left(x\right)g\left(x\right) dx\right)^2$$

확률론에서는

$$E\left(X^2\right)E\left(Y^2\right) \ge E\left(XY\right)^2$$

로 등장한다.

고등학교 과정에서 이걸 잠깐 보면 저 $$n=2$$ 인 경우를 양변을 빼서 완전제곱식으로 만든 다음 '에이 쉽네' 하고 넘어가겠지만, 사실 이 부등식은 수학에선 매우 중요한 부등식이다. 코시-슈바르츠 부등식의 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.

$$\left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^{2}$$

여기서 $$\left\Vert\right\Vert$$ 는 벡터의 크기, $$\cdot$$ 는 벡터의 내적이다. 물론 이 벡터는 3차원 벡터 뿐만이 아니라 선형대수학의 일반적인 내적공간의 벡터이다.

이 코시-슈바르츠 부등식이 적용되는 확률론의 분산/공분산, 해석학의 $$L^{2}$$ 공간 등의 다양한 상황이 거의 내적으로 설명된다는 것을 확인한다면, 선형대수학의 범용성과 이 절대부등식의 심오함을 다시 한번 깨닫게 될 것이다.

2 증명

2.1 판별식을 이용한 증명

실수 $$t$$ 에 대한 이차식 $$\left\Vert v+tw\right\Vert=0$$ 의 판별식이 0 이하라는 것이 이 부등식과 동치가 됨을 쉽게 확인할 수 있다. 당연히 이 증명에도 벡터의 기하학적 직관이 들어가 있다.

$$0 \le \left\Vert v+tw\right\Vert^{2}= (v+tw) \cdot (v+tw)=\left\Vert w \right\Vert ^{2}t^{2} + 2 (v \cdot w) t+\left\Vert v\right\Vert^{2}$$ 에서

$$D = (v \cdot w)(v \cdot w) - \left\Vert w \right\Vert^{2} \left\Vert v \right\Vert^{2} \le 0$$

$$\therefore \left\Vert v\right\Vert ^{2}\left\Vert w\right\Vert ^{2}\ge\left\vert v\cdot w\right\vert^{2}$$

등호 조건은 $$|\vec{v}| \times |\vec{w}| = \vec{v} \cdot \vec{w}$$ 일 때이므로 두 벡터 $$\vec{v}$$ 와 $$\vec{w}$$ 가 평행인 것이다.

위 증명을 중등부 KMO준비 학생들을 위하여 벡터를 쓰지 않고 증명한다면, 다음과 같다.
이차함수 $$f(x)$$ 를 다음과 같이 정의하면,

$$f(x) = (a_1 x-b_1 )^2 +(a_2 x-b_2 )^2 + \cdots + (a_n x-b_n )^2$$

$$f(x)$$ 는 완전제곱식의 합이므로 임의의 실수 $$x$$ 에 대하여, 판별식값이 $$0$$ 이하이다. 위 $$f(x)$$ 를 전개하면,

$$f(x)=(a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2 )x^2 - 2(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n )x + (b_1^2 +b_2^2 + \cdots + b_n^2 )$$

이므로 판별식을 세워보면 코시-슈바르츠 부등식을 증명할 수 있다.
등호성립조건은 판별식값이 $$0$$ 일 때, 즉 $$f(x)=0$$ 가 근이 존재할 때인데, 그 필요충분조건은 $$a_1 x-b = a_2 x-b_2 = \cdots = a_n x-b_n = 0$$ 인 실수 $$x$$ 가 존재할 때이다. 따라서 등호성립조건의 필요충분조건은

$$\dfrac{a_1}{b_1} = \dfrac{a_2}{b_2} = \cdots = \dfrac{a_n}{b_n}$$

일 때이다.

2.2 산술·기하 평균 부등식을 이용한 증명

이 방법은 코시 슈바르츠 부등식의 확장을 위한 유용한 증명 방법이다.

$$A = a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2$$ , $$B = b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2$$ 라 하면,

$$2 = 1+1 = \dfrac{a_1^2 +a_2^2 + \cdots + a_n^2}{A} + \dfrac{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}{B}$$

$$= \left( \dfrac{a_1^2}{A} + \dfrac{b_1^2}{B} \right) + \left( \dfrac{a_2^2}{A} + \dfrac{b_2^2}{B} \right) + \cdots + \left( \dfrac{a_n^2}{A} + \dfrac{b_n^2}{B} \right) \geq \dfrac{2a_1 b_1}{\sqrt{AB}} + \dfrac{2a_2 b_2}{\sqrt{AB}} + \cdots + \dfrac{2a_n b_n}{\sqrt{AB}}$$

위 식에서 양변에 $$\frac{\sqrt{AB}}{2}$$ 를 곱하고 제곱해주면 증명이 된다.
단 위의 증명은 $$AB≠0$$ 일 때이고, $$AB=0$$ 이면 어차피 임의의 양의 정수 n에 대해 $$a_nb_n$$ 값도 0이므로 부등식이 성립한다.

2.3 소거하여 증명

$$\left( a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 \right) \left( b_1^2 +b_2^2 + \cdots + b_n^2 \right) - \left(a_1 b_1 + a_2 b_2 + \cdots + a_n b_n \right)^2 = \displaystyle{\sum_{1 \le i\ltj \le n} {(a_i b_j - a_j b_i)^2}} \ge 0$$

3 확장

코시-슈바르츠 부등식은 다양한 방법으로 확장이 가능하다. 그 중 대표적인 예가 헬더 부등식이고, 헬더 부등식의 여러 형태 중 (소위 $$n$$ 차 코시라고 일컬어지는) 하나는 다음과 같다.

$$i=1$$ , $$2$$ , $$\cdots$$ , $$n$$ 이고, $$j=1$$ , $$2$$ , $$\cdots$$ , $$m$$ 일 때, $$n$$ 이 짝수이면 $$a_{(i,j)}$$ 가 실수, $$n$$ 이 홀수이면 $$a_{(i,j)}$$ 가 음이 아닌 실수라고 하자. 그러면, 다음 부등식이 성립한다.

$$\left(a_{(1,1)}^n + a_{(1,2)}^n + \cdots + a_{(1,m)}^n \right) \left(a_{(2,1)}^n + a_{(2,2)}^n + \cdots + a_{(2,m)}^n \right) \cdots \left(a_{(n,1)}^n + a_{(n,2)}^n + \cdots + a_{(n,m)}^n \right)$$

$$\geq \left( a_{(1,1)} a_{(2,1)} \cdots a_{(n,1)} + a_{(1,2)} a_{(2,2)} \cdots a_{(n,2)} + \cdots a_{(1,m)} a_{(2,m)} \cdots a_{(n,m)} \right)^n$$

증명은 위 2.2와 마찬가지로 하면 된다. 즉,

$$A_i =a_{(i,1)}^n + a_{(i,2)}^n + \cdots + a_{(i,m)}^n$$ 라 하면,

$$n=1+1+ \cdots +1$$ ( $$n$$ 개의 $$1$$ ) $$= \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}{\sum_{j=1}^{m}{\frac{a_{(i,j)}^n}{A_i}}} = \sum_{j=1}^{m}{\sum_{i=1}^{n}{\frac{a_{(i,j)}^n}{A_i}}} \geq \sum_{j=1}^{m}{\frac{na_{(1,j)} a_{(2,j)} \cdots a_{(n,j)} }{\sqrt[n]{A_1 A_2 \cdots A_n}}}}$$

이고, 이 부등식에서 양변에 $$\dfrac{\sqrt[n]{A_1 A_2 \cdots A_n}}{n}$$ 을 곱한 후 $$n$$ 제곱 하면 증명이 된다.

4 따름 정리

4.1 네스빗 (Nesbit) 부등식

임의의 양의 실수 $$a$$ , $$b$$ , $$c$$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} \ge \dfrac{3}{2}$$

4.2 Titu's Lemma

임의의 $$n$$ 개의 실수 $$a_1$$ , $$a_2$$ , $$\cdots$$ , $$a_n$$ 과 $$n$$ 개의 양의 실수 $$b_1$$ , $$b_2$$ , $$\cdots$$ , $$b_n$$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$\dfrac{a_1^2}{b_1} + \dfrac{a_2^2}{b_2} + \cdots + \dfrac{a_n^2}{b_n} \ge \dfrac{(a_1 +a_2 + \cdots + a_n )^2}{b_1 +b_2 + \cdots + b_n}$$

4.3 권방화 (权方和) 부등식

임의의 $$2n$$ 개의 양의 실수 $$a_1$$ , $$a_2$$ , $$\cdots$$ , $$a_n$$ , $$b_1$$ , $$b_2$$ , $$\cdots$$ , $$b_n$$ 과 주어진 실수 $$m$$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.

$$\dfrac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \dfrac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \dfrac{x_n^{m+1}}{y_n^m} \ge \dfrac{(x_1 +x_2 + \cdots + x_n )^{m+1}}{(y_1 +y_2 + \cdots + y_n )^m}$$ ( $$m\gt0$$ 또는 $$m\lt-1$$ 일 때)

$$\dfrac{x_1^{m+1}}{y_1^m} + \dfrac{x_2^{m+1}}{y_2^m} + \cdots + \dfrac{x_n^{m+1}}{y_n^m} \le \dfrac{(x_1 +x_2 + \cdots + x_n )^{m+1}}{(y_1 +y_2 + \cdots + y_n )^m}$$ ( $$-1\ltm\lt0$$ 일 때)