1 개요
대한민국 60만 수험생의 연산결과, 수능 4점 문항을 128번 푸는 것으로 코시-슈바르츠 부등식 만이 Lv.6 절대 부등식이 될 수 있다고 판명[1]
절대부등식은 [math]x^2\geq0[/math], [math]x^2+y^2\geq-2[/math]와 같이 문자를 포함한 부등식에서 그 문자가 어떤 값을 갖더라도[2] 항상 성립하는 부등식을 말한다. 즉, 등식에서의 항등식과 대응되는 개념. 항등식과 마찬가지로 주의할 점은, 문자에 어떤 조건이 붙을 수도 있다는 것이다. 산술·기하 평균 부등식을 예로 들면, 문자가 모두 양수여야 한다. 양수가 아니면 성립하지 않는 경우도 존재하기 때문. 혹은 당장 위 예를 봐도, [math]x,y[/math]가 실수가 아니면 성립하지 않을 수도 있다.
2 예시
다음은 학교 수학에서의 부등식 문제 해결에 자주 이용되는 절대부등식이다.
[math]a,b,c[/math] 가 실수일 때,
1. [math]a^2\pm ab+b^2\geq0[/math] (단, 등호는 [math]a=b=0[/math]일 때 성립)
1. [math]a^2\pm2ab+b^2\geq0[/math] (단, 등호는 [math]a=\mp b[/math]일 때 성립, 복호동순)
1. [math]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\geq0[/math] (단, 등호는 [math]a=b=c[/math]일 때 성립) [3]
[math]a\gt0,b\gt0[/math]일 때,
[math]\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b}[/math] (단, 등호는 [math]a=b[/math]일 때 성립). 이는 산술평균, 기하평균, 조화평균의 관계이다.[4] 자세한 내용은 산술·기하 평균 부등식, 평균 문서 참고.
[math]a,b,x,y[/math]가 실수일 때,
[math]\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\geq\left(ax+by\right)^2[/math] (단, 등호는 [math]ay=bx[/math]일 때 성립)[5]
이 외에도 다른 여러 유명한 절대부등식이 있다.