세 명의 총잡이

1 개요

게임 이론 예시 중 하나. 총잡이 이론이라고도 불린다.
하술할 문제 1의 충격적인 결론 때문에 죄수의 딜레마와 더불어 가장 대중적이고 널리 알려졌다.

네이버 웹툰 입시명문 사립 정글고등학교 210화에서 문제 2가 소재로 사용되었다.(현재는 유료화 상태.)

2 문제 1

세 명의 총잡이가 서로 동시에 결투를 벌인다고 치자.
1. 미스터 블랙은 백발백중, 명중률 100%의 사격 실력을 가지고 있다.
2. 미스터 그레이는 명중률 70%의 사격 실력을 갖고 있다.
3. 미스터 화이트는 명중률 30%이다.
그리고 총잡이들은 각각 서로의 사격 실력을 이미 알고 있다고 할 때,

서로의 실력차를 감안하여, '화이트→ 그레이→ 블랙' 순서대로 발포하기로 한다. (죽지 않으면 또 쏠 수 있겠지만) 한 번에 한 발만 쏠 수 있다.

이 때 만약 명중률 30%인 화이트는 어떻게 쏴야 가장 생존률이 높은가?

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답 : 허공에 쏜다.
  • 1. 만약 블랙을 사살했다면
남은 그레이와 화이트의 대결이다. 그럼 화이트는 이미 쐈으니 명중률 70%의 그레이가 선제 공격권을 쥐고 있는 상황이 되고, 이 상황에서 화이트의 생존률은 약 11.39%[1]이다. 그레이의 생존률은 약 88.61%. 쉽게 말해 명중률 70%의 그레이가 선공을 쥐고 있게 되어 명중률 30%인 화이트는 생존률(적을 쏘고 이길 확률)이 매우 낮을 수밖에 없다.
다음 선제 공격권은 명중률 100%인 블랙에게 있고, 남은 상대는 화이트 하나밖에 없다. 화이트는 다음 기회도 없이 무조건 죽는다. 블랙의 승리 확정, 생존률 "Zero".
  • 3. 위의 해답처럼 허공에 사격해 둘 다 죽지 않았다면
블랙은 생존 가능성을 키우기 위해 명중률이 30%인 화이트보다 명중률이 70%인 그레이를 먼저 쏠 것이다. 그러므로 공격권을 쥐고 있는 그레이는 블랙에게 사격할 수밖에 없다. 여기서 명중률 70%인 그레이가 블랙에게 사격했을 경우 2가지 경우의 수가 나온다.
  1. 그레이가 블랙을 죽이지 못했다면 블랙이 그레이를 사살한 뒤 화이트가 블랙과 대결한다. 화이트의 승률은 명중률 30%로 블랙을 죽이느냐 못하냐의 갈림길이므로 승률도 30%.
2. 만약 그레이가 블랙을 사살했다면 화이트는 그레이와 대결한다. 이번엔 화이트가 선제 공격권을 갖고 있으므로, 승률은 약 37.97%[2]이다.

이를 합산하면, 화이트의 생존률은 약 35.58%[3]이다. 블랙의 생존률은 21%(0.7×0.3), 그레이의 생존률은 약 43.42%(1 - 나머지 둘의 생존률)

즉, 화이트의 생존률은 둘 다 살았을 경우가 어느 한 명을 죽였을 경우보다 높다. 누군가를 겨누고 상대를 없애는 것보다 상대를 살려두고 전쟁에서 한 발 빠지는 게 유리한 특이한 상황이 발생하는 것이다.

이는 자기보다 더 유리한 상대가 둘 이상 있을 경우 그 상대는 자신을 우선 순위에서 상대적으로 배제할 가능성이 높기 때문이다. 왜냐고? 당장 블랙의 입장에서도 그레이가 화이트보다 더 위험하고, 그레이의 입장에선 당연히 명중률 100%인 블랙을 먼저 제거해야 하기 때문이다. 그 속에서 우선순위가 낮은 화이트는, 블랙과 그레이 중 한사람을 쏴죽였을 때보다 생존률이 당연히 높아진다. 쉽게 말해 상대의 목표를 서로에게 돌리게 하면서 자신의 어그로를 낮추는 것이다.

만약 누군가를 반드시 조준해서 쏴야 한다는 제약이 있다면 블랙을 향해 쏘는 게 이득이다. 이러면 화이트의 생존률은 약 28.32%[4]이 된다. 그리고 블랙의 생존률은 14.7%(0.7×0.3×0.7), 그레이의 생존률은 약 56.98%이다. 명중률 100%가 승률이 꼴찌로구나 다굴 앞에 장사 없다더니


사실 '생존률' 극대화를 목표로 한다면 가장 좋은 방법은 모두가 허공에 쏘는 것이다. [5] 이 경우 풀이는 다음과 같다. 블랙과 그레이 모두 자신이 승리함으로써 얻는 효용에 비해 죽음을 피함으로서 얻는 효용이 훨씬 크다고 하자. 그러면 화이트의 최적전략은 허공에 총을 쏘면서 2인의 대결로 좁혀지기를 기다린 후 선공권을 얻는 것이고, 블랙의 최적전략은 허공에 총을 쏘면서 다른 사람이 죽기를 기다리거나[6] 혹은 자신에게 총을 쏜 사람을 처단하는 것이다. 이때 그레이는 블랙의 최적전략을 이미 알고 있다. 그렇다면 그레이가 블랙을 쏠 경우 자살이 된다. 게다가 화이트를 쏴서 맞추면 또 자살이 된다. 따라서 생존을 위해서 그레이도 허공에 총을 발사하고, 결국 모두 다 허공에 총을 열심히 쏘게 된다. 그래서 모두 살았다는 훈훈한 이야기 근접전으로 2라운드애초에 그럴거면 처음부터 결투같은걸 안하지 않았을까

3 문제 2

세 명의 총잡이가 서로 동시에 결투를 벌인다. (이하 내용 동일)

이번엔 세 사람이 동시에 발포한다. 역시 한 번에 한 발만 쏠 수 있다.

이 경우 가장 생존률이 높은 자는 누구인가?


정답은 화이트.

  • 1. 블랙은 생존 가능성을 키우기 위해, 명중률이 높은 그레이를 쏜다. 그레이도 같은 이유로 블랙을 쏜다. 화이트도 같은 이유로 블랙을 쏜다.
  • 2. 블랙에게 저격당한 그레이는 무조건 요단강 익스프레스 행이다. 따라서 그레이의 최종 생존률은 "Zero"이다. 블랙이 살아있을 가능성은 그레이와 화이트가 동시에 오발할 확률인 21%(0.7×0.3)이다. 따라서 화이트의 최종 생존률은 79%(1-0.21)이다.
    • 2-1. 블랙이 살아남아 랠리가 계속될 경우, 블랙의 최종 생존률은 14.7%(0.21×0.7)이다. 재수없게 공멸할 확률은 6.3%(0.21×0.3).

아이러니하게도, 가장 명중률이 낮은 화이트가 가장 생존률이 높다는 결론이 나온다.

다만 이 풀이는 문제지문의 모호함으로 인한 오답의 소지가 있다. 상대를 쏴서 생존율을 낮추려면 일단 상대를 먼저 쏴서 죽여야 한다. 그런데 동시에 발포한다면 '먼저 쏴죽일 수가 없다.' 따라서 명중률 100%인 블랙에게 어차피 저격당할 그레이는(이 경우 한 명만 남을 때까지 게임을 계속한다는 가정이 들어간다.) 화이트를 쏘던 블랙을 쏘던 기대생존율은 같다. 즉 두 대안에 대해 무차별하므로(여기서 동일한 대안에 동일한 확률가중치를 부여한다는 가정이 들어간다) 그레이가 블랙을 쏠 확률은 0.5이고 화이트를 쏠 확률은 0.5이다(허공에 쓰지 않는다는 가정이 추가된다).

그레이가 어짜피 죽을게 뻔하니까 던질 경우 허공에 쏠 경우, 화이트의 생존율은 30%(첫발에 블랙을 죽일 확률), 블랙의 생존율은 21%(0.7x0.7; 화이트가 두발 다 놓칠 경우), 공멸할 확률이 나머지 61%로 여전히 화이트의 생존률이 가장 높다.오오 화이트 오오 (0.7x0.7이 왜 21%?)

그러나 그레이가 화이트를 쏠 경우 트롤링 얘기가 달라지는데, 화이트의 생존율은 9%로 추락하며(첫발에 블랙을 죽이고 그레이는 미스할 확률), 블랙의 생존율은 63.7%로 급등한다(첫판에 그레이가 화이트를 죽이고 화이트는 블랙을 놓칠 경우 0.7x0.7 더하기 첫판에 그레이, 화이트가 둘 다 놓치고 두번째판에 화이트가 놓칠 경우 0.3x0.7x0.7). 조금 어이없긴 하지만 위에서 언급되었다시피 그레이는 어짜피 뭘 해도 죽기 때문에 최선의 전략이란게 없다. 기대생존률이 똑같히 0%라는건 달리 말하면 뭘 하던 상관없고, 뭐든지 가능하다는 소리다. 고로 엄밀히 말하자면 화이트의 생존률이 가장 높다는 것은 100% 정답일 수 없다.

참고로 블랙이 화이트를 쏠 경우응? 역시 게임은 18급끼리 해야 가장 흥미롭지 블랙의 생존율은 화이트가 놓치고 그레이가 두번 연속 놓칠 확률인 6.3%밖에 되지 않는다. 끔살 확정인 그레이와는 달리 블랙은 엄연히 생존율을 높힐 수 있는 선택지가 존재하므로 이 경우는 당연히 논외.

4 기타

여담이지만 진화심리학에서 공포와 공포로 인한 기절 같은 작용도 세명의 총잡이와 같은 방식으로 해석하는 경우가 있다. 여성과 아이들은 성인 남성에 비하여 공포를 많이 느끼고, 혐오스런 시각적 요소에 대하여 내성이 낮으며 심지어 기절하기 까지한다. 반면 성인 남성같은 경우 그런 경향을 찾기 어려운데, 학자들은 이러한 현상이 전쟁에 의하여 형성된 것이라고 한다. 생각해 보자, 만일 어떤 세력이 침략을 해왔을 경우, 침략을 당한 무리는 그에 맞서서 싸워야 할 수 밖에 없을 것이다. 그리고 그 싸움이란 일반적으로 남성들이 맡는데 이는 남성이 진화 과정을 통해, 싸우기 적합한 신체적 특징을 가졌을 뿐만 아니라, 싸움과 관련된 심리기작 같은것 또한 가졌기 때문이다. 만일 전쟁중에 기절했거나, 멘붕하여 전투의지를 상실한 상대가 있다해도, 정신이 멀쩡하게 싸울 의지를 가진 상대편 전투원이 아직 남아 있기 때문에 그들을 공격 하는 것은 매우 비효율적이므로 이들은 우선 방치될 것이다. 이 단계에서 직관적인 전쟁과 관련된 심리기작이 작용하기 때문에 합리적으로 고심을 하지 않더라도 전투원들은 이와 같은 결론을 내릴 것이다.

전투가 끝난 후에 남겨진 자들은(기절하거나, 사로잡힌 자들)은 노예로 만드는 것이 가장 효율적일 것이다. 그러나 남자 노예를 가진다면 그와 동시에 노예 반란을 일으킬 위험을 떠안게 되므로 승자 측에서는 자신들이 감당할 수 있는 양 이상의 포로가 나온다면, 나머지를 모조리 처형해 버릴 것이다. 반면 여성이나 아이들 같은 경우, 반란의 위험이 거의 없으며 다른 방식으로도 이용이 가능하기 때문에 남성에 비하여 생존할 확률이 대폭 높을 것이다. 그렇기에 상대적으로 부족한 신체능력으로 싸움에 생사를 맡기기 보단, 화이트가 허공에 총을 쏘듯이, 전투에서 잠시 이탈하여 생존률을 올리는 방식으로 진화가 이루어 졌다는 것이다.
  1. ↑ 초항이 0.09이고 공비가 0.21인 무한등비급수의 합
  2. ↑ 초항이 0.3이고 공비가 0.21인 무한등비급수의 합
  3. ↑ 0.09 + (0.7 × '2번'에서 화이트의 승률)
  4. ↑ (0.7 × '3'에서 화이트의 생존률) + (0.3 × '1'에서 화이트의 생존률)
  5. ↑ 위의 화이트만 허공을 쏜다는 풀이에는 생존률 극대화를 위해 승률을 극대화해야 한다는 가정이 포함되어 있다. 모두가 허공에 쏘면서 탄이 떨어지기를 기다리는 것 또한 내쉬균형에 포함된다.
  6. ↑ 화이트와 같은 논리다. 게다가 블랙은 1:1대결에서는 무적이다.