쌍둥이 역설

Twin paradox

1 개요

상대성 이론의 시간 지연 개념과 모순되는(것처럼 보이는) 역설. 이 역설이 나온 당시에는 꽤 큰 골칫거리였지만 지금은 깔끔히 해결되었다. 지구와 우주선의 상대적인 운동 특성에서 시간이 어떻게 흐르는지 알 수 있다.

2 상세

쌍둥이의 역설은 이렇게 전개된다.

  1. 한 쌍의 쌍둥이 중에서 한 아이는 지구에 놔두고, 한 아이는 우주선에 태워 우주로 보낸다.
  2. 그 우주선은 빛에 가까운 속도([math]v[/math])로 비행한다. ( [math] 0 \lt v \lt c [/math] , [math]c[/math]는 광속)
  3. 10년후 우주선의 아이가 돌아왔을 때, 지구에 남아있던 아이의 입장(기준계)에서는 우주선에 타고있던 아이가 자신보다 어리다.[1] 여기까지는 우라시마 효과.
  4. 하지만 우주선에 타고있는 아이의 기준계에서는 우주선이 아니라 지구가 빛에 가까운 속도로 자신에게서 멀어진 것이므로 지구에 있던 아이가 더 어리다.
  5. 응?!

6. PROFIT!

3 역설의 풀이

복잡한 풀이가 후술되겠지만, 간단히 요약하자면 모순은 쌍둥이 중 한 명이 행성에 도착해서 지구로 방향을 돌리는 순간에 일어난다. 특수 상대성 이론은 등속도 운동을 전제로 하는데, 이미 우주선을 타고 지구를 탈출하는 순간 가속하게 된다. 단순한 시간 지연 공식만으로 이 문제를 해결할 수 없는 이유이다. 지구에서 출발한 우주선은 빛에 가까운 속도([math]v[/math])로 속도를 높였다가, 행성에서는 반대 방향으로 어마어마한 가속을 하고, 지구로 귀환할 땐 다시 속도를 줄인다. 즉, 우주선의 속도가 변하는 과정을 유심히 살펴보아야 쌍둥이 역설을 해결할 수 있다.

파일:쌍둥이 역설&동시성의 상대성.png
역설에서 말하는 우주선은 위 그림의 X이다. 등속으로 Q-R-R'-Q' 지점을 지나간다고 한다.
지구의 세계선은 P-P"-P' 경로로, 우주선 Y는 P-R-R'-P'을 지난다고 하자. 지구와 시계는 관성좌표계, 우주선은 비관성 좌표계이다.

3.1 지구와 실제 우주선

우주선의 궤적은 다음과 같이 분할할 수 있다.

  • P-R: 우주선이 가속한다.
  • R-R': 등속으로 멀어진다.
  • R'-P': 되돌아온다. 이 과정에서 거꾸로 가속하고, 지구로 등속으로 가까워지다가 속도를 줄여서 도착한다.

한편 지구는 위와 같이 가감속을 하지 않는다. 즉 관성좌표계로 취급할 수 있다. [2] 특수 상대성 이론에서 다루어지는 고유 시간은 등속도로 운동하는 물체를 중심으로 다룬다. 우주선 Y의 기준계에서는 가속도가 생겨난 이상 이미 등속도 운동이 아니다.

하지만 그렇다고 쌍둥이 역설이 발생하는 이유를 '가속 과정에서 시간이 천천히 흘러서이다'라고 생각한다면 옳지 않다. 쌍둥이 역설에 대해 많은 사람들이 가지고 있는 흔한 오개념 중 하나이다. 쌍둥이 역설은 일반 상대론의 도입 없이도 로렌츠 변환 만으로 완벽하게 설명이 된다. 간략히 설명한다면, 방향을 돌리기 직전 우주선이 느끼는 지구의 현재와 방향을 돌린 직후 우주선이 느끼는 지구의 현재가 차이가 나기 때문이다. 좀 더 쉽게 말하자면, 방향을 돌리는 동안 우주선은 지구에서 순식간에 수년의 시간이 흐른 것으로 생각하게 된다. 이것만 보면 가속 과정에서 우주선의 시간이 느리게 간것 아니냐고 반문할 수 있을 것이다. 하지만 지구에서 우주선을 관찰할 때는 가속 과정에서 이러한 급격한 시간 변화가 보이지 않는다. 그러므로 우주선이 가속 과정에서 시간이 느려졌다고 말하기 보단 우주선이 보는 지구의 시간이 가속 과정에서 점프한다고 묘사를 하는 것이 더 나을 것이다.

참고로 우주선의 최대 속력을 [math]V[/math]라 할 때, 지구로 돌아오기까지 우주선에 탄 아이의 시간은 아래 관계를 가진다.
[math]\displaystyle \Delta t_{\text{Y}} \geq \sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}\Delta t_{\text{Earth}},\ \Delta t_{\text{Y}}\lt\Delta t_{\text{Earth}}[/math]
위 식으로 시간 지연 효과를 계산할 수 있다. 그 속력이 광속의 3분의 2(초속 20만km)라면 지구에서 10년 흐를 때 우주선 Y에서는 7.5년 흐른다.

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그렇다면 두 관성 좌표계에서는 어떻게 될까?

3.2 역설의 페이크우주선

쌍둥이 역설에서 말하는 시간 지연 현상의 엇갈린 현상은 X와 같이 지구와 우주선이 등속으로 무한히 멀어질 때 성립한다. (즉 결코 되돌아오지 않는 상황)

  • 가정: 우주선이 날아가는 속도를 광속의 3분의 2(초속 20만km)라 하면…
  • 지구는 지구 시간으로 P-P' 간격이 10년이다.
  • 우주선 X는 X의 시간으로 Q-Q' 간격이 7.5년이다.
  • 지구 입장에서는 P'과 Q' 지점이 동시이다.
  • X 입장에서는 P"과 Q' 지점이 동시이다.
  • P-P" 사이의 시간간격은 5.6년이다.

정확히 이야기하자면 "멈춰있는 A의 시간이 빨리 흐르고 움직이는 B의 시간은 느리게 흐른다"는 것은 A와 B의 시간을 비교할 때 자기의 좌표계에서 세운 동시를 기준으로 이야기하는 것이다. 그런데 그 '동시'란 게 좌표계에 따라 달라지며, 절대적이지 않다.(동시성의 상대성)

  • A와 B가 관성 좌표계라면…
  • A 입장의 동시 기준: A가 빨리 흐르고, B는 느리게 흐른다.
  • B 입장의 동시 기준: B가 빨리 흐르고, A는 느리게 흐른다.

그런데 우주선은 실제로 저렇게 X와 같이 빨간색 궤적을 그리지 않는다. 우주선이 지구로 되돌아오는 순간 그건 이미 관성좌표계를 벗어났음을 뜻하게 된다. 이때 우주선에서는 지구의 시간이 점프하는 것으로 느끼게 된다.

3.3 결론

요약하자면

  • 우주선과 지구 양쪽 모두 상대방의 시간이 느리게 가는 것처럼 보인다.
  • 하지만 우주선이 가속하지 않고 관성계로 계속 유지되는 한, 두 관측자는 절대 만날 일이 없으므로 모순은 발생하지 않는다.
하지만 우주선이 가속하지 않고 관성계로 유지되는 동안 광통신으로 서로를 관측하면 어떻게 될까??[3]
  • 로렌츠 변환 식에 의하면 우주선이 방향을 되돌려 지구로 가속하는 과정에서 지구의 시간이 미래로 점프하는 것으로 느끼게 된다.
  • 따라서 쌍둥이 역설은 문제가 되지 않는다. 만세!
  1. ↑ 우주선이 매우 빠른 속도로 움직일 때 지구에서 보면 시간 지연이 일어나 우주선의 시간이 천천히 흐르는 것으로 보인다.
  2. ↑ 천체의 중력장과 지구의 공전에 의한 효과는 10년에서 고작 5초밖에 줄어들지 않는다. 따라서 편의상 관성좌표계로 간주.
  3. ↑ 이 경우에도 그냥 서로 상대방의 시간이 느리게 흐르는 것처럼 보이고 끝이다(...) 애초에 두 사람의 1초라는 길이를 동시에 비교하는 수단이 없기 때문에 발생하는 모순이다.

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