波動函數(wavefunction)
파동의 모든 정보는 파동량의 공간, 시간의 함수로 기술되는데[1], 이를 파동함수라고 한다. 이 파동함수 [math]\Psi[/math] 는 계(system)의 상태를 나타낸다. 파동함수는 파동이 존재하는 공간(1차원, 2차원, 3차원,... 등등)이 무엇이고 어떻게 움직이냐에 따라 차원이 다르다.
예를 들면, 1차원상 선운동하는 파동함수 크기의 제곱값의 차원은 길이의 역수차원(단위) [math]\left(\frac{1}{L}\right)[/math]이며, 2차원상 선운동하는 파동함수 크기는 길이의 역수 제곱차원(단위)[math]\left(\frac{1}{L^2}\right)[/math]을 가진다. 마지막으로 3차원상 선운동하는 파동함수의 크기 제곱값은 길이의 역수 삼승 차원(단위) [math]\left(\frac{1}{L^3}\right)[/math]을 가진다.
간단히 언급하자면, 계의 속에서 움직이고 있는 입자와 파동의 운동량과 에너지, 각운동량과 같은 정보를 파동함수가 가지고 있다는 것을 뜻한다. 파동함수 자체만으로는 확률진폭의 성질만을 가지지만 연산자[2]를 취하면, 연산자에 해당하는 해당 물리량의 정보를 알 수 있다.
파동함수를 다루는 방법도 하이젠베르그 묘사(Heisenberg picture)를 사용하냐, 슈뢰딩거 묘사(Schodinger picture)를 사용하냐에 따라 다르다.
하이젠베르그 묘사는 파동함수를 시간에 대해 불변으로 보고, 관측자가 어느때에 관측하냐에 따라 물리량이 바뀐다고 보았다. 더불어 행렬역학을 도입하였다.
슈뢰딩거 묘사는 파동함수를 시간에 따라 능동적으로 변하는 것으로 보고, 어떤 연산자를 제외하고 시간에 대해 불변이다라고 하였다. 이때, 자유롭게 날아다니는 입자의 파동함수는 최소한 [math]Ae^{i(kx-wt)}[/math]의 꼴을 취할 것으로 보았다.그런데 훗날 칼 에커트(Carl Eckert)가, 이 둘은 양자역학을 다른 관점에서 보았을 뿐 같은 것이라고 증명하였다.
근본적으로 두 관점(하이젠베르크와 슈뢰딩거)에서 본 파동함수의 본질은 같다. 슈뢰딩거 방정식의 연산자들이 편미분으로 표현해 보았다는 것은 하이젠베르크의 불확정성 원리에 따라 결정되어있다.
그러나 시각의 차이가 존재하는데, 언급한 것과 같이 하이젠베르크 묘사는 코펜하겐 해석의 가장 첫번째 가정(고립된 물리계의 모든 정보를 파동함수가 가질 것으로 여겼기에)에 의해, 고립계 속 각 물리량들의 총량들은 통계적으로 불변해야 한다라 생각했다.
반면, 슈뢰딩거 묘사(본인은 강력하게 양자역학을 부인했지만)는 파동함수의 진폭이 시간과 위치에따라 충분히 달라질 수 있음을 시사한다. 그런데 우리가 어떤 위치나 시간에서 물리량을 판별하기 위해서는 파동함수의 정보중 해당 위치와 시간에 대한 정보만을 남겨야 한다. 즉 파동함수 전체 정보 중에서 위치와 시간을 떼어내서 일부만을 바라보게 되므로, 마치 형태가 변한 것 처럼 보일뿐이다. 즉, 파동함수의 존재가능한 모든 위치에 대한 정보(상태)들을 모아 다시 원래 물리계에 대한 정보로 환산하게 되면, 하이젠베르크가 설정한 파동함수로 돌아오게 된다.
전자밀도범함수 이론은 비교적 간단한 파동함수와 전자밀도만으로 에너지와 성질을 계산할 수 있음을 증명한 이론이다. 슈뢰딩거 방정식의 해(解)는 뉴턴 방정식의 해와는 달리 물리적 사건들의 확률적 발생에만 관련된 파동함수들이다.
양자역학에 따르면 모든 물질은 입자성과 동시에 파동성을 가지므로 파동방정식을 만족하는 파동함수 Ψ(x, t)에 의하여 입자의 상태가 확률로서 결정된다.
발현될 위치는 불확정성의 원리가 적용되어 정확히 예측하는 것은 불가능하고 오직 파동 함수의 확률로만 그 존재를 가늠 할 수 있는 것이다.