젠센 부등식

Jensen Inequality

1 개요

옌센 부등식이라고도 한다. 덴마크의 수학자 요한 옌센(Johan Jensen)에 의해 발표된 부등식으로써, 부등식을 공부한다면 반드시 알아놔야 할 아주 사기 강력한 부등식이다. 특히 수학 경시대회에서 출제된 부등식 문제가 볼록 (오목) 함수에 관한 것이라 추측이 가능하면 대부분 이 젠센 부등식으로 해결이 가능하다. 볼록함수에 대해서는 문서 참조. 자세한 부등식의 내용은 다음과 같다.

함수 $$f:I\to R$$ 이 볼록함수라고 하자. 그러면, 임의의 $$x_1,x_2,\cdots,x_n\in I$$ 와 $$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=1$$ 을 만족하는 임의의 음이 아닌 실수 $$\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$$ 에 대하여 $$\lambda_1 f\left(x_1\right)+\lambda_2 f\left(x_2\right)+\cdots+\lambda_n f\left(x_n\right)\geq f\left(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2 +\cdots+\lambda_n x_n\right)$$ 이다. 만약 $$f$$ 가 오목함수이면, 위 부등식의 부호가 반대이다.

즉, 젠센 부등식은 아래로 볼록함수에서 "함숫값의 산술평균값이 산술평균값의 함숫값보다 크거나 같다"라고 말 할 수 있다.

2 증명

수학적 귀납법을 이용해서 증명하자.

1. $$n=2$$ 일 때는 볼록함수의 정의에 의해 성립한다.
2. 이제 $$n=k$$ 일 때 성립한다고 가정하자.

$$\lambda_k\gt0$$ 이고 $$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_k+\lambda_{k+1}=1$$ 일 때
$$\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i f\left(x_i\right)=\left(1-\lambda_{k+1}\right)\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}f\left(x_i\right)+\lambda_{k+1}f\left(x_{k+1}\right)\quad\cdots \left(1\right)$$ 이다.
이 때 $$\lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_k=1-\lambda_{k+1}$$ 이므로 $$\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}=1$$ 이다.
$$n=k$$ 일 때 성립한다고 가정했으므로 $$\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}=1$$ 일 때
$$\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}f\left(x_i\right)\geq f\left(\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i x_i}{1-\lambda_{k+1}}\right)$$ 가 성립한다.
이 식을 $$\left(1\right)$$ 에 대입하면
$$\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i f\left(x_i\right)=\left(1-\lambda_{k+1}\right)\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i}{1-\lambda_{k+1}}f\left(x_i\right)+\lambda_{k+1}f\left(x_{k+1}\right)\geq\left(1-\lambda_{k+1}\right)f\left(\sum_{i=1}^{k}\frac{\lambda_i x_i}{1-\lambda_{k+1}}\right)+\lambda_{k+1}f\left(x_{k+1}\right)\geq f\left(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_i x_i\right)$$ 가 성립하게 되어 $$n=k+1$$ 일 때도 성립한다.

i, ii에 의해 모든 자연수에 대해서 젠센 부등식이 성립한다.
함수 $$f$$ 가 오목함수일 때도 같은 방법으로 증명이 가능하다.

참고로 수학적 귀납법 말고도 다른 여러가지 증명 방법이 있다.

3 활용

$$f\left(x\right)=\ln x$$ , $$\lambda_i=\frac{1}{n}$$ 라 하자. 로그함수는 오목함수이므로 위 부등식의 방향을 뒤집고 잘 정리해주면 산술·기하 평균 부등식이 튀어나온다! 한 줄 짜리 증명이 되어버리는 것. 이 외에도 삼각형의 세 각 $$\alpha,\beta,\gamma$$ 에 대해 $$\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma\leq\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 같은 유명한 부등식을 증명하는데도 젠센 부등식이 가장 효과적이다.

4 확장

개요에서 언급했듯이 젠센 부등식은 산술평균값의 함숫값과 함숫값의 산술평균값을 비교한 부등식이다. 눈치 챘겠지만, 산술평균 대신 다른 평균을 넣어도 성립한다. 즉, 기하평균이나 조화평균을 넣어도 성립하며, 더 일반화 하면, 멱평균 혹은 가중치 멱평균을 넣어도 가능하다. 주의할 점은, 이 때는 함수를 그래프로 나타내었을 때 꼭 아래로 혹은 위로 볼록일 필요는 없다는 것이다.

양의 실수 $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$\cdots$$ , $$x_n$$ 의 $$r$$ 차 멱평균을 $$M_n^r \left\{ x_i \right\}$$ 라고 하자. 즉,

$$M_n^r \left\{ x_i \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[r]{\dfrac{x_1^r + x_2^r + \cdots + x_n^r}{n}} & r \neq 0\\ ~ \\ \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} & r=0\end{array} \right.$$ 이다.

그리고, 양의 실수 $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$\cdots$$ , $$x_n$$ 의 합이 $$1$$ 이고 모두 양수인 가중치 $$\lambda_1$$ , $$\lambda_2$$ , $$\cdots$$ , $$\lambda_n$$ 에 대한 $$r$$ 차 가중치멱평균을 $$M_n^r \left\{ x_i | \lambda_i \right\}$$ 라고 하자. 즉,

$$M_n^r \left\{ x_i ,\lambda_i \right\} = \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[r]{\lambda_1 x_1^r + \lambda_2 x_2^r + \cdots + \lambda_n x_n^r} & r \neq 0\\~\\ x_1^{\lambda_1} x_2^{\lambda_2} \cdots x_n^{\lambda_n} & r=0\end{array} \right.$$ 이다.

멱평균으로 일반화한 젠센 부등식은 다음과 같다.

함수 $$f:I \rightarrow R$$ 와 실수 $$r$$ 이 주어져 있다. 임의의 $$x_1$$ , $$x_2 \in I$$ 에 대하여, $$M_2^r \left\{ f(x_i) \right\} \ge (\le) f \left( M_2^r \{ x_i \} \right)$$ 이 성립하면, 임의의 자연수 $$n$$ 과 임의의 $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$\cdots$$ , $$x_n$$ 에 대하여 $$M_n^r \left\{ f(x_i) \right\} \ge (\le) f \left( M_n^r \{ x_i \} \right)$$ 이 성립한다.

그리고 가중치 멱평균으로 일반화한 젠센부등식은 다음과 같다.

함수 $$f:I \rightarrow R$$ 와 실수 $$r$$ 이 주어져 있다. 임의의 $$x_1$$ , $$x_2 \in I$$ 와 임의의 합이 $$1$$ 인 양의 실수 $$\lambda_1$$ , $$\lambda_2$$ 에 대하여, 부등식
$$M_2^r \left\{ f(x_i) |\lambda_i \right\} \ge (\le) f \left( M_2^r \{ x_i |\lambda_i \} \right)$$ 이 성립하면, 임의의 자연수 $$n$$ 과 임의의 $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$\cdots$$ , $$x_n$$ , 그리고 합이 $$1$$ 인 임의의 양의 실수 $$\lambda_1$$ , $$\lambda_2$$ , $$\cdots$$ , $$\lambda_n$$ 에 대하여 $$M_n^r \left\{ f(x_i) |\lambda_i \right\} \ge (\le) f \left( M_n^r \{ x_i |\lambda_i \} \right)$$ 이 성립한다.

하지만, 이게 끝이 아니다! 위 젠센 부등식을 더욱 일반화할 수 있는데, 일반화 내용은 부등식 양변의 멱평균의 차수가 같을 필요가 없다는 것이다. 즉, 멱평균과 가중치 멱평균으로 더욱 일반화된 젠센 부등식은 각각 다음과 같다.

함수 $$f:I \rightarrow R$$ 와 실수 $$r$$ , $$s$$ 가 주어져 있다. 임의의 $$x_1$$ , $$x_2 \in I$$ 에 대하여, $$M_2^r \left\{ f(x_i) \right\} \ge (\le) f \left( M_2^s \{ x_i \} \right)$$ 이 성립하면, 임의의 자연수 $$n$$ 과 임의의 $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$\cdots$$ , $$x_n$$ 에 대하여 $$M_n^r \left\{ f(x_i) \right\} \ge (\le) f \left( M_n^s \{ x_i \} \right)$$ 이 성립한다.

함수 $$f:I \rightarrow R$$ 와 실수 $$r$$ , $$s$$ 가 주어져 있다. 임의의 $$x_1$$ , $$x_2 \in I$$ 와 임의의 합이 $$1$$ 인 양의 실수 $$\lambda_1$$ , $$\lambda_2$$ 에 대하여, 부등식
$$M_2^r \left\{ f(x_i) |\lambda_i \right\} \ge (\le) f \left( M_2^s \{ x_i |\lambda_i \} \right)$$ 이 성립하면, 임의의 자연수 $$n$$ 과 임의의 $$x_1$$ , $$x_2$$ , $$\cdots$$ , $$x_n$$ , 그리고 합이 $$1$$ 인 임의의 양의 실수 $$\lambda_1$$ , $$\lambda_2$$ , $$\cdots$$ , $$\lambda_n$$ 에 대하여 $$M_n^r \left\{ f(x_i) |\lambda_i \right\} \ge (\le) f \left( M_n^s \{ x_i |\lambda_i \} \right)$$ 이 성립한다.

증명은 멱평균 부등식을 이용할 경우 $$n$$ 에 대한 초한귀납법 (즉, $$n$$ 이 $$2$$ 의 거듭제곱일 때 수학적 귀납법으로 증명하고, $$2$$ 의 거듭제곱이 아닌 경우를 나중에 증명하는 방법)으로 증명하고, 가중치 멱평균 부등식을 이용할 경우 $$n$$ 에 대한 일반적인 수학적 귀납법을 이용하면 된다.

5 보험계리사, 손해사정사와의 연관

2013년 보험계리사-손해사정사 보험수리 시험에 젠센 부등식을 기술하라는 문제가 출제되었다.

6 관련 항목

• 절대부등식
• 볼록함수
• 산술·기하 평균 부등식