사인 법칙

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1 개요

Sine law.

한국의 수학 교육과정상 고등학교 때 배우게 되는 평면기하학의 공식 중 하나. 삼각형에서 변의 길이와 각의 크기를 알 때, 나머지 모르는 변의 길이와 각의 크기를 삼각함수를 이용해서 구할 수 있게 해준다. 자세한 내용은 아래와 같다.

[math]\triangle{ABC}[/math]의 세 각의 크기 [math]\angle A,\angle B,\angle C[/math]와 세 변의 길이 [math]a,b,c[/math], 그리고 외접원의 반지름의 길이 [math]R[/math]에 대해 [math]\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R[/math]이 성립한다.

2 증명

2.1 원을 이용한 증명

[math]\triangle{ABC}[/math]의 외접원의 중심을 [math]O[/math]라고 하고, [math]\overline{BO}[/math]의 연장선이 원과 만나는 점을 [math]A'[/math]라 하자. 그럼 [math]\overline{BA'}[/math]은 외접원의 지름이므로, [math]\overline{BA'}=2R[/math]이다.

1. [math]\triangle{ABC}[/math]가 예각삼각형 일 때:
   파일:5u2bPwZ.png
   위 그림에서, [math]\angle A=\angle A'[/math]이고, [math]\angle{BCA'}=90^{\circ}[/math]이다. 따라서, [math]\sin A=\sin A'=\frac{a}{2R}[/math]이고, 정리하면 [math]\frac{a}{\sin A}=2R[/math].
   
2. [math]\triangle{ABC}[/math]가 둔각삼각형 일 때:
   파일:Oi5Mw4L.png
   위 그림에서, [math]\angle A=180^{\circ}-\angle A'[/math]이고, [math]\angle{BCA'}=90^{\circ}[/math]이다. 따라서, [math]\sin A=\sin{180^{\circ}-A'}=\sin A'=\frac{a}{2R}[/math]이고, 정리하면 [math]\frac{a}{\sin A}=2R[/math].
   
3. [math]\triangle{ABC}[/math]가 직각삼각형 일 때:
   파일:Ou30Wb6.png
   위 그림에서, [math]\angle A=90^{\circ}[/math]이다. 따라서, [math]\sin A=1,\,a=2R[/math]이므로, [math]\frac{a}{\sin A}=2R[/math]이 성립한다.

각 [math]\angle B,\angle C[/math]에 대해서도 같은 방법으로 증명할 수 있다.
[math]\therefore\,\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R[/math].

2.2 외적을 이용한 증명

• 아래의 개념들을 모른다면 이해가 되지 않을 수 있으니 해당 문서를 먼저 읽고 올 것.
  • 외적(Cross Product)
  • 벡터

임의의 벡터에 대해, 자기 자신과의 외적은 항상 0이다. 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.

[math] \vec{B} \times \vec{B} = \vec{0} [/math]

따라서 임의의 벡터에 대해 아래의 등식은 성립한다.

[math] \left( \vec{A} - \vec{B} \right) \times \vec{B} = \vec{A} \times \vec{B} [/math]

그러면 새로운 벡터 C를 정의해 보자.

[math] \vec{C} \equiv \vec{A} - \vec{B} [/math]

이제 벡터 A, B, C는 삼각형을 이루게 된다. 각각의 벡터의 대각을 편의상 A, B, C라고 부르자. 또한 각각의 벡터의 길이를 이렇게 부르자.

[math] \lvert \vec{A} \rvert = a,\ \lvert \vec{B} \rvert = b,\ \lvert \vec{C} \rvert = c [/math]

그러면 위에서 두 번째 식의 좌변은 아래와 같이 변형된다.

[math] \lvert \left( \vec{A} - \vec{B} \right) \times \vec{B} \rvert = cb\sin{A} [/math]

그리고 위에서 두 번째 식의 우변은 아래와 같이 변형된다.

[math] \lvert \vec{A} \times \vec{B} \rvert = ab\sin{C} [/math]

위에서 다섯 번째 식과 위에서 여섯 번째 식은 이미 같음을 보였기 때문에, 이를 잘 조합하면

[math] \dfrac{\sin{A}}{a} = \dfrac{\sin{C}}{c}[/math]

같은 방식으로 나머지 부분에 대한 증명도 가능하지만 이미 충분히 유도과정을 보였기 때문에 나머지는 위키러들의 손에.

이 방식은 좀 더 간결하지만, 외접원에 대한 어떤 정보도 제공하지 않는다.

3 활용

1. 각을 변으로 바꾸기: [math]\sin A=\frac{a}{2R},\,\sin B=\frac{b}{2R},\,\sin C=\frac{c}{2R}[/math]
2. 변을 각으로 바꾸기: [math]a=2R\sin A,\,b=2R\sin B,\,c=2R\sin C[/math]
3. 변의 비와 각의 비: [math]a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C[/math]

삼각형에서 삼각함수의 등식을 증명하거나 넓이를 찾을 때에는 위 세가지 변형과 코사인 법칙을 잘 활용하면 쉽게 해결할 수 있다.

4 관련 항목

• 삼각함수
• 코사인 법칙
• 삼각형