최소공배수

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1 개요

초등학교에서 약수와 배수를 배운 뒤에 최대공약수와 함께 배우게 되는 내용. 공배수란, 이름에서 알 수 있듯이 두 수, 혹은 그 이상의 수들의 공통인 배수라는 뜻이다. 최소공배수는 당연히 공배수 중에서 가장 작은 것. 두 수 $$a,b$$ 의 최소공배수를 기호로 $$\text{lcm}\left(a,b\right)$$ 로 표기하며, 더욱 줄이면 $$\left[a,\,b\right]$$ 로 표기하기도 한다.

간혹 최대공배수로 잘못 부르는 경우가 있는데, 최대공배수는 의미가 없으므로 다루지 않는다. 어떤 수와 어떤 수를 갖다놓는다 하더라도, '무한대'가 되기 때문.

2 찾는 법

예시로 두 수 10, 12의 공배수를 찾고 싶다고 하자. 먼저 두 수의 배수를 쭉 나열한다.

10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, ...
12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, ...

여기서 위아랫줄 동시에 나타나는 수가 바로 공배수이다. 최소공배수는 앞서 설명했듯이 공배수 중 가장 작은 것. 이 예시의 경우에는 60이 최소공배수가 된다. 예로 60갑자는 10갑(갑을병정...)과 12자(자축인묘...)의 조합을 의미하는 것으로, 60가지의 조합이 있어 60갑자라고 부르는 것이다. 이처럼 최소공배수는 나열에 해당하는 경우의 수를 구할 때 사용한다.

하지만 숫자를 나열하는 방법으로 최소공배수를 찾는게 힘들다면? 이 때는 소인수분해를 이용해서 최소공배수를 찾는다. 10과 12를 각각 소인수분해하면,

$$10=2\cdot5$$
$$12=2^2\cdot3$$

이제 중복되는 소인수는 차수가 큰 횟수만큼, 그리고 나머지 소인수를 모두 곱해주면 그 값이 최소공배수이다. 위 예시에서는 2를 두 번, 3을 한 번, 그리고 5를 한 번 곱한 값, 즉 60이 최소공배수가 된다. 특히, 숫자가 서로소이면, 그냥 아무런 생각도 하지않고 두 수를 곱해주기만 하면 그 값이 최소공배수가 됨을 알 수 있다.

3 성질

두 정수 $$a,b$$ 에 대하여,

1. $$\text{lcm}\left(a,b\right)\mid ab$$
2. $$\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=ab$$

최대공약수는 성질이 많은데 얘는... 그나마 있는 하나도 최대공약수가 끼어있다.

4 증명

1. $$\gcd\left(a,b\right)=G$$ 라 하자. 그럼 적당한 정수 $$m$$ , $$n$$ 에 대해 $$a=Gm,b=Gn$$ , ( $$m,n$$ 은 서로소)가 성립한다. 이 때, lcm $$\left(a,b\right)=Gmn$$ 이다. 따라서, $$\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn\mid G^2mn=ab$$

2. $$\gcd\left(a,b\right)=G$$ 라 하자. 그럼 적당한 정수 $$m,n$$ 에 대해 $$a=Gm$$ , $$b=Gn$$ , ( $$m,n$$ 은 서로소)가 성립한다. 이 때, $$\text{lcm}\left(a,b\right)=Gmn$$ 이다. 따라서, $$\text{lcm}\left(a,b\right)\gcd\left(a,b\right)=G^{2}mn=ab$$

5 관련 항목

• 배수
• 최대공약수
• 소인수분해