서로素, relatively prime
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개요
중학교 1학년때 배우는 수학적인 개념. 여러개의 수들 사이에서 [math]1[/math]이외의 공약수가 없음을 이르는 말이다. 따라서 두 수의 공약수가 [math]1[/math]밖에 없다고 나타낼 수도 있다. [1] 중1때는 유리수의 정의에서도 써먹고 고등학교에서 단골 증명문제인 [math]\sqrt{2}[/math]는 무리수 임을 증명할때도 쓰고 생각보다 많이 쓰이는 개념이다. 이걸 집합으로 표현하면 이해하기가 어렵지 않다.[2] 서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 예를 하나 들어보자면,
집합 [math]D_{128}[/math]를 [math]128[/math]의 약수의 집합이라 하고,
집합 [math]D_{729}[/math]를 [math]729[/math]의 약수의 집합이라 하면,
집합 [math]D_{15625}[/math]를 [math]15625[/math]의 약수의 집합이라 하면,
이들을 원소나열법으로 원소를 나타내면
[math]D_{128} = \left\{1,2,4,8,16,32,64,128\right\}[/math]
[math]D_{729} = \left\{1,3,9,27,81,243,729\right\}[/math]
[math]D_{15625} = \left\{1,5,25,125,625,3125,15625\right\}[/math]
이 된다.
여기서 교집합 [math]D_{128}\cap D_{729}\cap D_{15625}=\left\{1\right\}[/math]이다.
위의 예처럼 집합 [math]D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}=\left\{1\right\}[/math]이면 서로소 당첨. 즉, 벤다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, 어떤 수의 약수들의 집합들을 만들어낼때, [math]1[/math]은 모든 자연수의 공약수이기도 하다. 왜냐하면, 곱셈에서의 항등원이 [math]1[/math]이기 때문이다.
당연히 짝수끼리는 서로소가 아니다(짝수끼리는 기본적으로 공약수 [math]2[/math]를 갖고 있으므로).
유리수의 정의는 [math]\frac{m}{n}[/math]([math]m[/math]과 [math]n[/math]은 서로소인 정수)의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 [math]m[/math]과 [math]n[/math]은 [math]1[/math]을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의.
소수도 서로소로 정의할수 있는데, [math]m[/math]이 소수라는 사실은, 임의의 정수 [math]0\lti\ltm[/math]가 [math]m[/math]과 서로소라는 것과 같다.
수학걸 이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.[3][4]
서로소를 잘만 이용하면 피타고라스의 정리의 예시도 초등적[5]으로 찾아낼수있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.[6]- ↑ 두 정수 [math]a[/math], [math]b[/math]에 대해, 이 둘이 서로소인 것, [math]\gcd\left(a,\,b\right)=1[/math], [math]\text{lcm}\left(a,\,b\right)=ab[/math] 이들 셋은 서로 동치이다.
- ↑ 집합론에서도 서로소 개념을 쓰는데 집합 A와 집합 B의 교집합의 원소가 없을 때, 즉 공집합일 때 'A와 B는 서로소다'라고 한다.
- ↑ 여기서는 각각의 수를 소인수분해 한뒤 [math]2^{a_1}3^{a_2}\cdots[/math] 라는 식으로 나타낸뒤 , 이 수를 [math]\left(a_1,\,a_2\,\cdots\right)[/math] 라는 식으로 괴랄하게 나타내서 직교표시가 서로소를 표시하는데 적합함을 보여준다. 근데 이거 한번 익숙해지면 의외로 치기 어렵다.
- ↑ 무한한 차원의 벡터를 사용한다. 참고로 여기서 미르카는 '벡타'라고 부르지만.
- ↑ elementary. 초등적이라는 소리지 간단하(simply)다는 소리는 아니다.
- ↑ 이를 이용하면 세수가 서로 서로소인 피라고라스수가 무한함을 보일수 있다.