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서로소

서로素, relatively prime

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개요

중학교 1학년때 배우는 수학적인 개념. 여러개의 수들 사이에서 1이외의 공약수가 없음을 이르는 말이다. 따라서 두 수의 공약수가 1밖에 없다고 나타낼 수도 있다. [1] 중1때는 유리수의 정의에서도 써먹고 고등학교에서 단골 증명문제인 2는 무리수 임을 증명할때도 쓰고 생각보다 많이 쓰이는 개념이다. 이걸 집합으로 표현하면 이해하기가 어렵지 않다.[2] 서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 예를 하나 들어보자면,

집합 D128128의 약수의 집합이라 하고,
집합 D729729의 약수의 집합이라 하면,
집합 D1562515625의 약수의 집합이라 하면,
이들을 원소나열법으로 원소를 나타내면

D128={1,2,4,8,16,32,64,128}
D729={1,3,9,27,81,243,729}
D15625={1,5,25,125,625,3125,15625}
이 된다.

여기서 교집합 D128D729D15625={1}이다.

위의 예처럼 집합 DaDbDc={1}이면 서로소 당첨. 즉, 벤다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, 어떤 수의 약수들의 집합들을 만들어낼때, 1은 모든 자연수의 공약수이기도 하다. 왜냐하면, 곱셈에서의 항등원이 1이기 때문이다.

당연히 짝수끼리는 서로소가 아니다(짝수끼리는 기본적으로 공약수 2를 갖고 있으므로).

유리수의 정의는 mn(mn서로소인 정수)의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 mn1을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의.

소수도 서로소로 정의할수 있는데, m이 소수라는 사실은, 임의의 정수 0\lti\ltmm과 서로소라는 것과 같다.

수학걸 이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.[3][4]

서로소를 잘만 이용하면 피타고라스의 정리의 예시도 초등적[5]으로 찾아낼수있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.[6]
  1. 이동 두 정수 a, b에 대해, 이 둘이 서로소인 것, gcd, \text{lcm}\left(a,\,b\right)=ab 이들 셋은 서로 동치이다.
  2. 이동 집합론에서도 서로소 개념을 쓰는데 집합 A와 집합 B의 교집합의 원소가 없을 때, 즉 공집합일 때 'A와 B는 서로소다'라고 한다.
  3. 이동 여기서는 각각의 수를 소인수분해 한뒤 2^{a_1}3^{a_2}\cdots 라는 식으로 나타낸뒤 , 이 수를 \left(a_1,\,a_2\,\cdots\right) 라는 식으로 괴랄하게 나타내서 직교표시가 서로소를 표시하는데 적합함을 보여준다. 근데 이거 한번 익숙해지면 의외로 치기 어렵다.
  4. 이동 무한한 차원의 벡터를 사용한다. 참고로 여기서 미르카는 '벡타'라고 부르지만.
  5. 이동 elementary. 초등적이라는 소리지 간단하(simply)다는 소리는 아니다.
  6. 이동 이를 이용하면 세수가 서로 서로소인 피라고라스수가 무한함을 보일수 있다.