서로소

서로素, relatively prime

개요

중학교 1학년때 배우는 수학적인 개념. 여러개의 수들 사이에서 $$1$$ 이외의 공약수가 없음을 이르는 말이다. 따라서 두 수의 공약수가 $$1$$ 밖에 없다고 나타낼 수도 있다. 중1때는 유리수의 정의에서도 써먹고 고등학교에서 단골 증명문제인 $$\sqrt{2}$$ 는 무리수 임을 증명할때도 쓰고 생각보다 많이 쓰이는 개념이다. 이걸 집합으로 표현하면 이해하기가 어렵지 않다. 서로소 때문에 수학을 어려워하는 위키니트를 위해 예를 하나 들어보자면,

집합 $$D_{128}$$ 를 $$128$$ 의 약수의 집합이라 하고,
집합 $$D_{729}$$ 를 $$729$$ 의 약수의 집합이라 하면,
집합 $$D_{15625}$$ 를 $$15625$$ 의 약수의 집합이라 하면,
이들을 원소나열법으로 원소를 나타내면

$$D_{128} = \left\{1,2,4,8,16,32,64,128\right\}$$
$$D_{729} = \left\{1,3,9,27,81,243,729\right\}$$
$$D_{15625} = \left\{1,5,25,125,625,3125,15625\right\}$$
이 된다.

여기서 교집합 $$D_{128}\cap D_{729}\cap D_{15625}=\left\{1\right\}$$ 이다.

위의 예처럼 집합 $$D_{a}\cap D_{b}\cap D_{c}=\left\{1\right\}$$ 이면 서로소 당첨. 즉, 벤다이어그램으로 그려보면 아주 명확하게 알 수 있다. 사실, 어떤 수의 약수들의 집합들을 만들어낼때, $$1$$ 은 모든 자연수의 공약수이기도 하다. 왜냐하면, 곱셈에서의 항등원이 $$1$$ 이기 때문이다.

당연히 짝수끼리는 서로소가 아니다(짝수끼리는 기본적으로 공약수 $$2$$ 를 갖고 있으므로).

유리수의 정의는 $$\frac{m}{n}$$ ( $$m$$ 과 $$n$$ 은 서로소인 정수)의 꼴로 나타낼 수 있는 수이다. 여기서 $$m$$ 과 $$n$$ 은 $$1$$ 을 제외한 공약수를 갖지 않음에 주의.

소수도 서로소로 정의할수 있는데, $$m$$ 이 소수라는 사실은, 임의의 정수 $$0\lti\ltm$$ 가 $$m$$ 과 서로소라는 것과 같다.

수학걸 이라는 소설에서는 2편에서 서로소를 직교표시로 사용한다.

서로소를 잘만 이용하면 피타고라스의 정리의 예시도 초등적으로 찾아낼수있다. 근데 유도하는 과정에서 서로소 라는 조건을 주도없이 이용하고, 증명해야 돼서 귀찮다.