Cauchy's functional equation
1 개요
코시 함수 방정식이란 다음과 같은 함수 방정식을 말한다.
- [math]f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)[/math]
덧셈군 [math]\left(G, +\right)[/math]에 대하여 위를 만족하는 함수 [math]f:G\to G[/math]는 [math]G[/math]의 자기 준동형 사상이 된다. 유리수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수인 [math]f\left(x\right)=ax[/math]의 꼴뿐이지만(a는 상수), 선택공리에 따르면 실수의 덧셈군으로서의 자기 준동형 사상은 상수배 함수만 있지 않다.
2 유리수 범위 해법
함수 [math]f:\mathbb{Q}\to \mathbb{Q}[/math]가 임의의 유리수 [math]x, y[/math]에 대하여 [math]f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)[/math]를 만족한다고 하자.
[math]x=y=0[/math]을 대입하면 [math]f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)[/math]이므로 [math]f\left(0\right)=0[/math]이다. 그리고 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]f\left(n+1\right)=f\left(n\right)+f\left(1\right)[/math]이므로 수학적 귀납법에 의해 [math]f\left(n\right)=nf\left(1\right)[/math]이 성립한다. 같은 방법으로 자연수 [math]m[/math]에 대하여 [math]\displaystyle f\left(\frac{1}{m}\right)=\frac{1}{m}f\left(1\right)[/math]임도 알 수 있다. 이 두 가지를 결합하면 [math]\displaystyle f\left(\frac{n}{m}\right)=\frac{n}{m}f\left(1\right)[/math]이므로, 임의의 양의 유리수 [math]q[/math]에 대해 [math] f\left(q\right)=qf\left(1\right)[/math]이다.
양의 유리수 [math]q[/math]에 대하여 [math]f\left(q+\left(-q\right)\right)=f\left(q\right)+f\left(-q\right)[/math]이므로 [math]f\left(-q\right)=-f\left(q\right)[/math]이다. 따라서 모든 유리수 [math]q[/math]에 대하여 [math] f\left(q\right)=qf\left(1\right)[/math]이 성립한다.
[math]f\left(1\right)=a[/math]로 놓으면 [math]f\left(x\right)=ax[/math]를 얻는다.
3 실수 범위 해법
함수 [math]f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}[/math]가 임의의 실수 [math]x, y[/math]에 대하여 [math]f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)[/math]를 만족한다고 하자.
그러면 유리수에서와 같은 방법을 이용해, 임의의 유리수 [math]q[/math]와 임의의 실수 [math]x[/math]에 대하여 [math] f\left(qx\right)=qf\left(x\right)[/math]임을 알 수 있다. 그러나 임의의 실수 [math]x[/math]에 대해 [math]f\left(x\right)=f\left(1\right)x[/math]임을 보이려면 다음과 같은 조건들 중 하나를 더 추가해야 한다.
- [math]f[/math]가 어떤 한 점에서 미분가능하다.
- [math]f[/math]가 어떤 한 점에서 연속이다.
- [math]f[/math]가 어떤 열린 구간에서 유계이다.
- [math]f[/math]가 어떤 열린 구간에서 단조이다.
이 네 가지 조건은 어느 하나만 추가하더라도 [math]f[/math]가 상수배 함수임이 유도되지만, 원래의 코시 함수 방정식만 만족하는 함수에는 상수배 함수가 아닌 것도 존재한다.
4 상수배 함수가 아닌 해
4.1 존재성
유리수체 위의 실수 집합은 벡터공간을 이룬다. 선택공리에 의하면 벡터공간은 임의의 선형독립인 부분집합에 대해 그것을 포함하는 기저가 존재한다. 그러면 [math]\left\{1\right\}[/math]는 선형독립이므로 1을 원소로 가지는 기저 [math]\mathcal{B}[/math]가 존재한다. [math]\mathcal{B}[/math]가 이 벡터공간의 기저이면 0이 아닌 임의의 실수 [math]x[/math]에 대하여 [math]\mathcal{B}[/math]의 유한 부분집합 [math]\left\{v_1, v_2, \cdots, v_n\right\}[/math]이 유일하게 존재하여 [math]x=a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n[/math]을 만족하는 0이 아닌 유리수 순서모음 [math]\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)[/math]이 유일하게 존재한다.
이때 아무렇게나 함수 [math]g:\mathcal{B} \to \mathbb{R}[/math]를 정의했을 때 [math]f\left(v_i\right)=g\left(v_i\right)[/math]이 되도록 함수 [math]f[/math]를 정의하면 [math]f[/math]가 상수배 함수가 아니게 되는 것이 가능해진다. 예를 들어 [math]g[/math]를 다음과 같이 정의할 수 있다. ([math]v_i \in \mathcal B[/math])
- [math]g\left(v_i\right)=\begin{cases}1 \,\ \left(v_i=1\right)\ \0 \,\ \left(v_i \neq 1\right) \end{cases}[/math]
이렇게 정의하면 유리수 [math]q[/math]와 [math]\mathcal B -\left\{1\right\}[/math]의 원소들을 유리수 계수 일차결합해서 만든 무리수 [math]\alpha[/math]가 있을 때, [math]q+\alpha[/math]의 꼴의 실수에서의 함숫값은 모두 [math]f\left(q\right)[/math]와 같아진다. 따라서 [math]f[/math]는 상수배 함수가 아니다.
4.2 성질
이러한 함수의 그래프는 좌표평면을 조밀하게 메우게 된다. 예를 들어 위에서 정의한 함수 [math]f[/math]를 생각하면, [math]\left\{1, \sqrt{2}\right\} \subset \mathcal B[/math] 라 할 때 [math]\left(1, 1\right), \left(\sqrt{2}, 0\right)[/math]은 모두 [math]f[/math]의 그래프 위에 있다. 그런데 [math]f[/math]는 코시 함수 방정식을 만족하기 때문에 [math]f[/math]의 그래프 위의 점 [math]A, B[/math]와 유리수 [math]p, q[/math]에 대하여 [math]pA+qB[/math]도 항상 [math]f[/math]의 그래프 위에 있다. 즉, [math]\left(p+q\sqrt{2}, p\right)[/math]와 같은 점들은 모두 [math]f[/math]의 그래프 위에 존재한다.