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1 자연수
1728보다 크고 1730보다 작은 자연수. 합성수로, 소인수분해하면 7×13×19이다.
매우 평범한 아무런 볼 일도 없는 숫자. 고드프리 해럴드 하디아니오. 매우 흥미로운 숫자입니다. 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수거든요. -스리니바사 라마누잔
정확히 이런 대화를 나눈 것은 아니다. 다만, 대충 이런 뉘앙스의 대화였을거라 추측될 뿐이다.
1.1 특징
[math] 1729=12^3+1^3=10^3+9^3 [/math]
9와 10의 세제곱의 합으로 나타낼 수 있을 뿐 아니라 1과 12의 세제곱으로도 나타낼 수 있다. 페르마의 마지막 정리의 변형
게다가 이런 특성을 가지는 가장 작은 수이다.
참고로 19와 19의 자리수를 뒤집은 91을 곱한 수도 이 수 이다. 1729 = 19 x 91 .
1.2 어떻게 발견되었는가?
1918년 입원중이던 라마누잔을 하디[1]가 문병왔을 때, 타고온 택시의 번호가 1729라며 아무 특색이 없는 수라고 말하자 즉석에서 "아니오. 매우 흥미로운 숫자입니다. 서로 다른 세제곱수 2개의 합으로 나타내는 방법이 두 가지인 가장 작은 수거든요"라고 말한 적이 있다. 실제로 1729=1000(10의 3제곱)+729(9의 3제곱)=1(1의 3제곱)+1728(12의 3제곱)으로 나타낼 수 있으며 이는 이렇게 나타낼 수 있는 자연수 중 가장 작은 수이다.
참고로 하디는 1729 = 13 × 133이기 때문에 13이 중복해서 나오는 불길한 수라고 생각했다는 이야기도 있다.
1.3 택시 수
이와 같은 수들을 하디-라마누잔 수 또는 택시 수(taxicab number)라고 부르게 되었다. 이는 1이상의 자연수에서만 고려한다.
택시수의 다른 예제로는 4104, 13832 등이 있다.
[math] 4104 = 2^3 + 16^3 = 9^3 + 15^3 [/math]
[math] 13832 = 2^3 + 24^3 = 18^3 + 20^3 [/math]
3가지 이상의 세제곱의 합으로 표현되는 수도 있으며, 더 많은 방법으로 표현되는 수들도 존재한다.
[math]87539319=167^3 + 436^3 =228^3 + 423^3 =255^3 + 414^3[/math]
정수까지 범위를 확장하면 이는 cabtaxi number 라고 한다.
[math]91=3^3 + 4^3 =6^3 + (- 5)^3[/math]