자연수

수 체계
사원수
복소수
실수허수
유리수무리수
정수정수가
아닌
유리수
음의
정수		0자연수

1 개요

[math]1,\,2,\,3,\,4,\cdots[/math] 이런 식으로 나아가는, 보통 대상의 개수를 셀 때 나오는 수를 말한다. 자연수의 집합은 영어 natural number의 첫 글자를 따와 [math]\mathbb{N}[/math]이라고 쓴다. 대상의 수를 세는 것이 수학의 출발이니만큼, 수학의 탄생을 상징하는 가장 기본적인 개념이다. 이러한 맥락에서 수학자 크로네커는 '자연수는 신의 선물, 나머지는 모두 인간의 작품[1]' 이라는 말을 남기기도 하였다.

하지만 크로네커의 말과 반대로, 이 자연수도 사실 인간의 추상화로 '발명된' 개념이다. 두 마리의 꿩과 이틀이 자연수 [math]2[/math]의 예들이라는 것을 발견하는 데까지는 상당한 시일이 걸렸을 것이다."라고 버트런드 러셀이 말한 것처럼[2] 자연수마저도 관념의 표상이지 실제로 존재하는 대상은 아닌 것이다. 보다 심오하게 생각한다면, 수를 세는 것은 사실 일대일대응의 개념을 담고 있고, 여기서 칸토어가 현대적 무한의 개념을 착안했다고 보아도 무리는 아닐 것이다.

중등 교과과정에서는 보통 역사적인 관습을 따라 [math]0[/math]을 자연수로 치지 않지만,[3] 많은 사람들이 편의성의 문제로 자연수에 [math]0[/math]을 포함시켜 생각하기도 한다. 폰 노이만 체계를 따르는 수학자들이나 이산수학자 등등. 물론 이는 무엇이 맞고 틀리는지보다는 서로 다른 관습에 불과하다. 사실, 현대수학적 관점에서 보면 자연수는 하나의 베이스 원소가 존재하고, 수학적 귀납법이 성립하는 '구조'에 불과하기때문에 [math]0[/math]으로 시작하건 [math]1[/math]로 시작하건 구조적으로는 차이가 없다.[4]

2 자연수의 수학적 정의

20세기 전후 수학에서는 모든 것을 기호화된 논리로 정의하는 형식주의의 흐름이 시작되었고, 자연수를 어떻게 수학적으로 정의할까 하는 질문이 나오게 되었다. 수 체계 항목을 보면 잘 알 수 있겠지만, 다른 모든 수들이 자연수를 바탕으로 만들어지므로, 자연수의 정의는 수학의 기반이 된다고 볼 수 있다. 한편 개수를 세는 것에 대한 논의는 현대적 집합론에서 무한집합의 원소의 '개수' - 정확히는 기수(cardinality)라고 한다 - 에 대한 중요한 고찰로 이어진다.

물론 이렇게 수학내적으로 중요하긴 하지만, 일반인들에게는 아니 이게 뭔소리야 정도의 반응이 나오는 것이 당연한 내용이다. 애초에 꽤나 자연스럽게 주어진 자연수를 이렇게까지 생각할 필요가 실생활에서는 전혀 없는 것이 사실. 아래의 내용을 굳이 읽어보고 싶은 사람들은 (예를 들면 1+1=2를 어떻게 증명하는지 정말 미칠듯이 궁금해 했던 사람 정도라면) 적절한 근성과 공리적 집합론(axiomatic set theory)의 배경지식을 갖추고 오기를 바란다.

2.1 페아노 공리계

자연수를 정의하려는 초창기의 시도 중 하나가 페아노 공리계(Peano's axioms)를 이용해 자연수를 정의하는 것이다.

다음 성질들을 만족하는 집합 [math]\mathbb{N}[/math]을 가리켜 자연수 집합이라고 한다

  • [math]\mathbb{N}[/math]은 [math]1[/math]이라고 불리는 특별한 한 원소를 가진다.[5]
  • [math]\mathbb{N}[/math]의 임의의 원소 [math]n[/math]에 대하여 그 [math]n[/math]의 후임자(successor) [math]n^+[/math]도 [math]\mathbb{N}[/math]의 원소다.
  • [math]1[/math]을 후임자로 갖는 원소는 [math]\mathbb{N}[/math]에 존재하지 않는다.[6]
  • [math]\mathbb{N}[/math]의 두 원소가 같은 후임자를 가진다면, 두 원소는 같다.
  • (자연수의 귀납적 정의) [math]\mathbb{N}[/math]의 부분집합 [math]S[/math]가 [math]1\in S[/math]이며, 임의의 [math]n \in S[/math]에 포함되는 임의의 원소 [math]n[/math]에 대하여 [math]n^+ \in S[/math]라면, [math]S = \mathbb{N}[/math]이다.

가장 중요한 다섯 번째 공리는 [math]\mathbb{N}[/math]이 '[math]1,\,2=1^+,\,3=\left(1^+\right)^+,\,4=\left(\left(1^+\right)^+\right)^+,\cdots[/math]'을 포함하는 최소의 집합임을 말하고[7], 이는 [math]\mathbb{N}[/math]을 유일하게 결정짓는다. 사실 이는 수학적 귀납법과 동치인 내용으로, 바꾸어 말하면 이는 사실 수학적 귀납법이 자연수의 본질이라는 것을 의미한다.

2.1.1 0 을 포함하는 공리계

덧셈의 항등원인 0 이 자연수 체계에 빠져 있는 것은 여러모로 불편하다. 현대의 수학자들은 페아노 공리를 적당히 변형하여, 아래와 같은 0 이 포함된 자연수 체계를 만들었다.

다음 성질들을 만족하는 집합 [math]\mathbb{N}[/math]을 가리켜 자연수 집합이라고 한다

  • [math]\mathbb{N}[/math]은 [math]0[/math]이라고 불리우는 특별한 한 원소를 가진다.
  • [math]\mathbb{N}[/math]의 임의의 원소 [math]n[/math]에 대하여 그 [math]n[/math]의 후임자(successor) [math]n^+[/math]도 [math]\mathbb{N}[/math]의 원소다.
  • [math]0[/math]을 후임자로 갖는 원소는 [math]\mathbb{N}[/math]에 존재하지 않는다.
  • [math]\mathbb{N}[/math]의 두 원소가 같은 후임자를 가진다면, 두 원소는 같다.
  • (자연수의 귀납적 정의) [math]\mathbb{N}[/math]의 부분집합 [math]S[/math]가 [math]0\in S[/math]이며, 임의의 [math]n \in S[/math]에 포함되는 임의의 원소 [math]n[/math]에 대하여 [math]n^+ \in S[/math]라면, [math]S = \mathbb{N}[/math]이다.

사실 이것은 1 이 0 으로 바뀐 것을 제외하고는 토씨하나 다른 점 없이 완전히 동일하다. 0 을 포함하는 공리계에서 실제로 달라지는 것은 후술할 '덧셈과 곱셈의 정의'이다. 무작정, 첫번째 원소를 1 에서 0 으로 바꿔 버리면 0+0=1 이라는 직관에서 한참 벗어난 결과가 튀어 나온다.

최초의 원소를 무엇으로 놓느냐에 대한 완전한 합의는 아직 없는 것 같아 보인다. 당장 여러 책[8]만 봐도 무슨 상황인지 알 수 있을 것이다. 실제로 0으로 시작하느냐 1로 시작하느냐에 따라 내용이 좀 바뀐다. 바로 위 공리들에서는 단순히 기호 바꿔쓰기에 불과하지만 덧셈과 곱셈의 정의로 가면 기호만 바꿔쓰기를 넘어서는 차이를 보인다. 즉, 단순히 기호만 바꿔 쓰는 것이 아니라 0을 우리가 아는 그 0처럼 (대수적으로) 쓰겠다고 선언하는 것이다. 자세한 내용은 아래에 덧셈과 곱셈의 정의를 다룰 때 서술할 것이다. 사실 페아노가 처음 이 공리를 제시했을 때에는 1로 시작하는 공리를 내세웠지만 후대에 가서 0으로 시작하는 경우를 고안해냈고, 지금과 같이 둘이 공존하게 된 상황이 된 것이다. 아무래도, 후술하겠지만, 집합론에서 자연수를 구성할 때 0부터 시작하기 때문에[9] 페아노 공리도 0부터 시작하는 것이 더 낫다고 여겨 그런 것인 듯. 대수적으로도 이래저래 다루기 더 편리한 것도 있고.[10] 그렇다고 오해해선 안 되는 게, 페아노 공리 자체에 어떤 결함이 있다든가 하는 건 결코 아니라는 것이다. 0부터 시작하든 1부터 시작하든 사실 그 후로 전개되는 내용은 맨 처음 자잘한 것만 빼고 완전히 똑같으며, 단지 편리함혹은 취향의 차이만 있을 뿐이다. 다만 그럼에도 0부터 시작하는 자연수와 1부터 시작하는 자연수는 엄연히 다른 것이니, 주의해야 할 것이다. 이건 공부하는 혹은 논문 읽는 사람 입장에서 심히 빡치는 요소로 작용할 수 있다. 책마다 논문마다 뭘 자연수로 지칭하느냐를 일일히 다 체크해 줘야 하니...

2.2 자연수의 덧셈

이 다섯 가지 공리와 그리고 가장 간단한 형태의 덧셈, 곱셈, 그리고 대소 관계 정의를 이용하면 우리가 아는 자연수의 모든 성질들을 이끌어낼 수 있다. 자연수에서의 덧셈은 덧셈이 가지는 가장 기본적인 성질들을 추려서, 다음과 같이 귀납적으로 정의된다.

(A1) 임의의 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]n + 1 = n^+[/math].

(A2) 임의의 자연수 [math]m,\,n[/math]에 대하여 [math]m + n^+ = \left(m + n\right)^+[/math].

이게 끝이다. 사실 이런 식으로밖엔 자연수의 덧셈을 제대로 정의할 수 있는 방법이 사실상 없다. 하지만 이런 정의와 페아노 공리, 특히 다섯 번째 공리(수학적 귀납법)이 만나면 우리가 아는 모든 게 다 튀어나온다. 일단 결합법칙, 교환법칙, 그리고 소거법칙[11]이 금방 나온다.

물론 [math]1 + 1 = 2[/math], [math]2 + 3 = 5[/math] 등등을 '증명'할 수도 있다! 여기선 그 유명한 [math]1 + 1 = 2[/math]만 증명해 보겠다. 다음과 같다.

  • [math]1 + 1[/math]은 덧셈의 정의에 따라 [math]1[/math]의 후임자이다. ([math]1 + 1=1^+[/math])
  • [math]2[/math]는 [math]1[/math]의 후임자를 간단히 표기한 것이다. ([math]1^+=2[/math])
  • 따라서 [math]1 + 1[/math]과 [math]2[/math]는 같다. ([math]1 + 1 = 2[/math])

쉽다.(...) 하지만 이걸 위해 얼마나 많은 추상화가 필요한가를 생각해 보자.[12]
여기서 1 대신 0으로 시작하는 경우, (A1)은 이렇게 바꿔야 한다.

(A1') 임의의 자연수 [math] n[/math]에 대하여 [math]n + 0 = n[/math].

단순히 기호만 바꾸는 것으로 그치지는 않는다는 이야기이다. 기호만 바꾸면 당연히 직관에서 한참 벗어나는 것 같아 보일 것이다. 0+0=1 (??) 같이 전술하였듯이, 책마다 다르다. 그럼에도 수학적으로는 전혀 문제가 없는 이야기이다. 혹자는 이러면 문제가 되지 않냐고 할 수도 있겠지만 사실 0부터 시작하고 (A1) 대신 (A1')을 가정하면 (A1)이 동시에 만족된다는 것을 바로 알 수 있다. 간단히 증명하자면 [math]n + 1 = n + (0^+) = (n + 0)^+ = n^+[/math]. [13] 즉, 0부터 시작하는 경우에 (A1')을 가정하면 1부터 시작하는 자연수의 덧셈 체계를 그대로 재현할 수 있다는 것이다. 그러면서 동시에 항등원(0)을 챙기게 되는 이득도 보게 된다.

이 경우 1+1=2 의 증명이 약간 달라지지만 간단히 쓰면 아래와 같다.

  • [math]1 + 1 = 1 + (0^+) = (1 + 0)^+ = 1^+ = 2[/math]

2.3 자연수의 곱셈

마찬가지로 자연수에서의 곱셈도 비슷하게 정의된다.

(M1) 임의의 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]n \times 1 = n[/math].

(M2) 임의의 자연수 [math]m, n[/math]에 대하여 [math]m \times n^+ = m \times n + m[/math].

마찬가지로 이 정의와 페아노 공리를 통해 결합법칙, 교환법칙, 소거법칙 등등 중요한 성질들이 다 튀어나온다. 여기에 추가로 덧셈과 곱셈이 크로스!하여 분배법칙이 성립한다는 것 또한 보일 수 있다.

덧셈에서 그랬듯이 0부터 시작하는 경우 (M1)은 다음과 같이 바꿔야 한다.

(M1') 임의의 자연수 [math]n[/math]에 대하여 [math]n \times 0 = 0[/math].

물론 이걸 가정하면 원래 (M1)이 성립한다는 것을 바로 알 수 있다. 간단하게 증명하자면 [math]n \times 1 = n \times (0^+) = (n \times 0) + n = 0 + n = n[/math].[14]

2.4 자연수의 대소관계

마지막으로 대소관계가 정의된다. 이건 좀 간단하다.

두 자연수 [math]a, b[/math]에 대하여 어떤 [math]c[/math]가 존재해 [math]a = b + c[/math]가 성립한다면, [math]a \gt b[/math]이다.

이 대소관계를 이용해서, 집합의 모든 원소를 하나씩 순서대로 나열할 수 있게 된다. 좀더 수학적인 표현을 쓰자면 전순서 집합(totally ordered set) 이며 정렬 순서 집합(well-ordered set)이다.

0 으로 시작하는 자연수 체계에서는 약간 조건이 추가되어서

두 자연수 [math]a, b[/math]에 대하여 0 이 아닌 어떤 [math]c[/math]가 존재해 [math]a = b + c[/math]가 성립한다면, [math]a \gt b[/math]이다.

또는 이를 조금 다르게 표현하기도 한다.

두 자연수 [math]a, b[/math]에 대하여 어떤 [math]c[/math]가 존재해 [math]a = b + c[/math]가 성립한다면, [math]a \ge b[/math]이다.

등호(=) 는 앞에서 정의되었기 때문에, [math] \gt [/math] 나 [math] \ge [/math] 하나만 정의되어도, 이를 조합해서, [math] \gt , \ge , \lt , \le [/math] 만드는 것은 어렵지 않다.

2.5 기타

이제 위에서 얻은 덧셈과 곱셈들을 대소관계의 정의와 버무려(...) 온갖 성질들을 다 얻을 수 있다. 물론 자연수 내에선 할 수 있는 게 좀 적긴 하다.(...) 이때 자연수를 확장시켜 더 다양한 세계를, 예컨대 정수라든가 유리수, 그리고 실수까지 만들어낼 수 있다. 자세한 건 수 체계 참고.

참고로, 페아노 공리는 자연수 집합이 무한집합이라는 걸 내포한다. 무한집합의 정의를 '자기 자신과 일대일 대응을 가질 수 있는 순부분집합을 갖는 집합'으로 한다면[15] 후임자 함수가 [math]\mathbb{N}[/math]에서 [math]\mathbb{N} - \left\{1\right\}[/math]로 가는 일대일대응임을 보이면 된다. [16]

2.6 자연수 구성하기

위에서 설명한 페아노 공리는 자연수를 가장 잘 설명하는 체계이나, 두 가지 문제가 있다. 첫번째로는, 자연수 집합이 존재한다는 걸 보장하지 못한다는 것이다. 이제까지 했던 이야기는 '만약 이러한 집합이 존재한다면 어쩌구저쩌구 해서 이런 성질들이 성립한다'에 불과하지, 과연 이런 집합이 수학적으로 정의될 수 있는지는 완전히 다른 문제이기 때문. [17] 또한, 두번째로는 '자연수의 의미'에 맞지 않을수도 있다는 것 이다. 페아노 공리만을 보자면, 적당한 무한수열을 가져오기만 해도, 그 수열은 자연수열이라고 할수 있기 때문에 우리가 알고있던 자연수라는 개념과는 괴리감이 생긴다. 따라서 올바른 수학 체계는 자연수 집합, 즉 페아노 공리를 만족하는 집합의 존재를 자체적으로 보장해야 하며, 이 집합이 자연스럽게 정의되어야만 할 것이다.[18] 이는 현대 집합론에서 중요한 요소로 자리잡고 있다.

집합론 초창기에 Zermelo는

[math]0 = \emptyset[/math], [math]n^+ \left(=n+1\right) = \left\{n\right\}[/math]

이런 방식으로 자연수를 구성했었다. 그러나, 곧 폰 노이만이 등장하여

[math]0 = \emptyset[/math], [math]n^+ = n\cup \{n\}[/math]

으로 재구성하였고, 이 정의가 Zermelo의 구성에 비해 갖는 몇 가지 큰 이점이 있었기때문에 오늘날 집합론에서 자연수 하면 폰 노이만식의 구성을 대부분 떠올린다. 한편 ZF 공리계 중 '자연수들을 포함하는 집합이 존재한다'는 무한 공리(axiom of infinity)에 의해, 자연수 집합의 존재성이 보장된다. [19] [20]

폰 노이만의 구성이 갖는 이점은 다음과 같다. 폰 노이만식 구성에서는 [math]1=\left\{0\right\}[/math], [math]2=\left\{0,\,1\right\}[/math], [math]3=\left\{0,\,1,\,2\right\}[/math], ... 이런식으로 모든 자연수는 그보다 작은 자연수를 원소로 갖으며, 동시에 자신보다 작거나 같은 수는 부분집합으로 갖는다. 즉, ∈ 는 < 로, ⊆ 는 ≤ 로 자유롭게 바꿔쓸 수 있었던것이다.

이보다 더 커다란 장점은 자연수 이상의 수 역시 쉽게 표현이 가능하다는 점이다. 즉, 일반적으로 자연수 하면 [math]0,\,1,\,2,\,3,\cdots \lt \infty [/math] 까지만을 상상하고, Zermelo 의 방식도 여기까지 가능하지만 폰 노이만 방식에서는 [math]0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots,\,\mathbb{N},\,\mathbb{N}+1=\mathbb{N}\cup \left\{\mathbb{N}\right\},\,\mathbb{N}+2=\mathbb{N}+1\cup \left\{\mathbb{N}+1\right\},\,\cdots,\mathbb{N}\cdot 2,\,\cdots,\,\mathbb{N}\cdot \mathbb{N}=\mathbb{N}^2,\,\cdots,\,\mathbb{N}^3,\,\cdots[/math] 변태적으로 하늘을 뚫고 마구 나아간다. 이런 식으로 나아가는 수를 서수(Ordinal number)라 한다.

서수의 엄밀한 정의는 다음과 같은 초한 귀납법(transfinite induction)을 이용하여 이루어진다. 우선 후임자(successor)를 이용해 [math]0,\,1 = 0^+,\,2 = 1^+,\,3 = 2^+,\,\cdots[/math] 등등을 정의한다. 이게 끝이 안 날 것 같으면 이제까지 서수를 모두 모은 극한(limit)을 생각해, [math]\mathbb{N} = \left\{0,\,1,\,2,\,3,\,\cdots\right\}[/math] 을 만든다. 다시 후임자를 이용해 [math]\mathbb{N}+1[/math], [math]\mathbb{N}+2[/math], ..., 을 만들고, 극한 [math]\mathbb{N} +\mathbb{N} = \left\{0,\,1,\,2,\,3,\cdots,\,\mathbb{N},\,\mathbb{N}+1,\,\mathbb{N}+2,\,\mathbb{N}+3,\,\cdots\right\}[/math]을 만들고, ..., 이렇게 [math]\mathbb{N},\, \mathbb{N}\cdot 2,\,\mathbb{N}\cdot 3,\cdots[/math]의 극한 [math]\mathbb{N} \cdot \mathbb{N} = \left\{0,\,1,\,\cdots \mathbb{N},\,\mathbb{N}+1,\,\cdots,\,\mathbb{N}\cdot 2,\,\mathbb{N}\cdot 2+1,\cdots,\,\mathbb{N}\cdot 3,\,\mathbb{N}\cdot 3+1,\,\cdots\right\},\,\cdots,\,\cdots[/math] 이런 식으로 [math]\mathbb{N}^{\mathbb{N}}[/math]까지 나오면 정말 하늘을 뚫는 것이다. [21] 보통 수리논리학에서 서수를 말할 때는 [math]\mathbb{N}[/math] 보다 [math]\omega [/math] 라는 기호를 사용한다. 보다 세련된 서수의 정의는 정렬성(well-ordering)[22]이 성립하는 순서집합(ordered set)으로 정의하고, 이 중 유한한 서수만을 자연수로 생각하는 것이지만, 물론 그 서수의 존재성은 폰 노이만의 구성에 의해 보장된다.

여기까지 읽다 보면 자연수가 전혀 자연스러워 보이지 않을 것이다.

3 기타

자연수는 인류 역사상 어디서나 매우 자연스럽게 여겨졌지만, 이에 단순히 음부호만 붙인 음수 혹은 음의 정수, 심지어 0을 받아들이는 데에도 훨씬 많은 시간이 걸렸다.

피타고라스 학파가 모든 만물은 자연수(와 그 비인 양의 유리수)로 이루어져 있다고 믿다가 무리수 2의 제곱근을 만나 데꿀멍한 것은 잘 알려진 이야기.

소수를 센다고 하면 어쩐지 멋있어 보이지만 자연수를 센다고 하면 그다지 그렇게 보이지 않는다.

4 제목이 자연수로만 된 항목

4.1 1에서 100 사이

정수 (0~99)
0123456789
10111213141516171819
20212223242526272829
30313233343536373839
40414243444546474849
50515253545556575859
60616263646566676869
70717273747576777879
80818283848586878889
90919293949596979899
음의 정수◀0~99▶100~199

4.2 100에서 1000 사이

4.3 1000에서 10000 사이

정수 (천 단위)
◀100020003000400050006000700080009000▶
우만위키에 개별 문서가 등재된 천 단위의 문서 보기

4.4 그 외

4.5 0으로 시작하는 문서

5 닫혀 있는 연산

  1. ↑ Natural numbers were created by God. All else is the work of men.
  2. ↑ <수리철학의 기초>, 버트런드 러셀 저, 임정대 옮김. 경문사, p.3
  3. ↑ 유럽에서는 [math]0[/math]을 인정하는 데에 16세기나 걸렸음에 유의하자.
  4. ↑ 물론, 여기서 말하는 구조란 집합론적 구조를 말하고, 대수적 구조로 접근하면 [math]0[/math]을 포함하느냐 마느냐는 +-operator 의 항등원을 넣느냐 마느냐의 큰 차이가 생기기때문에 차이가 있다. 물론, [math]0[/math]을 포함하는편이 대수적으로 더 의미있는 구조(monoid)가 되기때문에 대부분의 경우 [math]0[/math]을 포함하는것.
  5. ↑ 페아노 공리계에서 말하는 '[math]1[/math]'은, 반드시 수 [math]1[/math]이어야 할 필요는 없다. 애시당초에 페아노 공리계에서 '1', '수', '다음수'는 부정의 용어라서 정의가 안되어 있는 것도 있고. 쉬운 예를 들면 집합 [math]\left\{\text{one},\,\text{two},\,\text{three},\,\text{four},\,\text{five},\,\cdots\right\}[/math]의 '[math]\text{one}[/math]'이어도 되고, {하나, 둘, 셋, 넷, 다섯, ...}의 '하나'여도 된다는 이야기. 하지만 만약 페아노 공리들을 만족하는 집합이 여러 개 존재한다면, 이들은 결국 똑같은 성질을 가지는 집합이란 것을 - 즉 후임자관계를 보존하는 일대일대응이 존재한다는 것(즉 isomorphism)을 - 보일 수 있다.
  6. ↑ 후임자는 '사실상' [math]+1[/math] 이라고 생각해도 되고, 그렇게 생각하는 편이 직관적으로 이해하기 쉽다. 굳이 [math]+1[/math]이 아니더라도 적당한 '[math]\mathbb{N}[/math]에서 [math]\mathbb{N}[/math]으로 가는 함수'면 어느 것이든 상관없다. 대신 괴상한 연산이 나올수도 있으니 주의해야한다
  7. ↑ 쉽게 말하자면 우리가 쓰는 수인 [math]1,\,2,\,3,\cdots[/math] 말고도 "새 폴더1", "새 폴더2", … 등을 마음대로 자연수라고 해도(물론 당연히 [math]1,\,2,\,3,\cdots[/math]을 포함한 상태로) 위의 공리 4개를 모두 만족한다!
  8. ↑ 예를 들어 영문 위키백과 28번 주석만 봐도 상황을 알 수 있다. 이 주석에서는 0부터 시작하는 걸 다루는 책으로 Halmos, Paul (1960), Naive Set Theory와 Hamilton, A. G. (1988), Logic for Mathematician을 들고 있고 1부터 시작하는 걸 다루는 책으로 Morash, Ronald P. (1991), Bridge to Abstract Mathematics: Mathematical Proof and Structures를 들고 있다. 참고로 영문 위키에서는 0부터 시작한다.
  9. ↑ 예를 들어 Jech, Thomas (2002), Set theory 중 Definition 2.13을 보자.
  10. ↑ 어떤 연산에 대한 항등원이 있느냐 없느냐 하는 차이가 해당 연산을 다룰 때 매우 큰 차이를 만든다.
  11. ↑ [math]a + c = b + c[/math] 이면 [math]a = b[/math] 가 성립한다는 것
  12. ↑ 흔히들 [math]1 + 1 = 2[/math]의 증명이 매우 어렵다며 수식이 가득한 증명이 인터넷 상에 돌아다닌다. 그런데 이것은 버트란드 러셀과 알프레드 노스 화이트헤드의 Pricipia Mathematica에 나온 증명인데 이 때에는 자연수를 다른 방법으로 정의하여서 증명이 복잡하다. 자세한 것은 논리주의 참고.
  13. ↑ 그런데 반대로 0부터 시작할 때 (A1')을 가정하지 않고 (A1)을 가정하면 (A1')를 주장하기가 어렵게 된다.
  14. ↑ (A1)의 경우와 마찬가지로 (M1)만 가정하면 (M1')을 주장하기가 곤란해진다.
  15. ↑ 무한집합의 정의는 이것 말고도 또 있다. 이는 자연수 집합을 직접 이용하는 방법이 있는데, 이에 대해선 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.
  16. ↑ 어려운 부분은 후임자 함수가 전사함수임을 보이는 것이다. 먼저 자연수 집합의 부분집합 [math]A[/math]를 다음과 같이 정의한다: [math]A[/math]는 일단 [math]1[/math]을 포함하며, 그리고 자신이 어떤 다른 원소의 후임자인 모든 자연수들을 포함한다고 하자. 그러면 만약 [math]n[/math]이 [math]A[/math]에 포함된다면, [math]n^+[/math]가 [math]n[/math]의 후임자이므로 [math]A[/math]에 포함되고, 이는 맨 처음 [math]A[/math]가 [math]1[/math]을 포함한다는 조건과 함께 다섯 번째 공리의 조건과 일치하게 된다. 따라서[math] A = \mathbb{N}[/math]이고, 여기서 잠깐 쓰였던 [math]1[/math]을 갖다 버리면(...) [math]1[/math]을 뺀 나머지 모든 자연수들에 대하여 자신을 후임자로 갖는 자연수가 존재함을 밝힐 수 있다.
  17. ↑ 애초에 이름이 '공리'라는 것부터 그 한계를 짐작할 수 있다.
  18. ↑ 만약 자연스럽지 않고, 생각도 못한 집합이거나 한다고 하면 이 집합은 아무런 쓸모가 없는것 이다.
  19. ↑ 이 공리가 필요한 이유는 공리적 집합론(axiomatic set theory)의 관점에서 보면 대상을 모았다고 무조건 집합으로 생각될 수 없기 때문이다. 아주 간단히 말하자면 공리적 집합론에서는 대상을 모은 것을 '류(class)'이라 하고, 이 모임이 다른 모임의 원소가 될 때만 '집합(set)'으로 불린다. 그리고 집합에 대해서만 우리가 생각하는 수학을 전개하게 된다. 이는 모든 모임을 집합으로 인정한다면 러셀의 패러독스 같은 안 좋은 일들이 마구마구 일어나기 때문.
  20. ↑ 거의 공리로 보장된 것만 집합으로 인정하는 공리적 집합론의 이러한 관점에서는, 자연수 전체의 모임이 집합이 되는지 이렇게 공리로 보장해 주지 않으면 무한집합 자체를 생각할 수가 없는 상황이 되어 버린다.
  21. ↑ 이 과정은 영원히 끝이 나지 않는다. 서수의 집합들을 차례로 모은 집합 자신이 ordinal number가 되곤 해서, 모든 서수의 '모임(class)' - '집합(set)'이 아니다 - 따위를 생각해 이 논의를 끝내 버릴 수는 없다.
  22. ↑ 임의의 부분집합에 대해 최소원이 존재한다는 성질로 자연수 집합은 이 성질을 가진다.