해밀턴의 원리

해밀턴의 원리(Hamilton's principle)은 라그랑지안을 시간에 따라 적분한 작용(action)이 최소가 되는 경로로 물체가 운동한다는 원리이다. 이름은 해밀턴의 원리지만 해밀토니언보다는 라그랑지언에 더 관련되어 있는 원리이다. 수식으로 쓰면 [math]\delta S =\delta \int^{t_2}_{t_1}L(q,\dot{q},t)dt=0[/math].

양자역학에서

양자역학과 고전역학의 대응원리를 통해서 해밀턴의 원리를 보일 수 있다.
일반적으로 확률은 관계식 [math]\displaystyle P(a|c)=\sum_b P(a|b)P(b|c)[/math]을 만족한다. 비슷하게 양자역학의 확률진폭 [math]\varphi[/math]도 비슷한 관계식 [math]\displaystyle \varphi_{ac}=\sum_b \varphi_{ab} \varphi_{bc}[/math]을 만족한다. 이를 일반화하여 [math](y,0)[/math]으로부터 [math](x,t)[/math]로 가는 모든 경로[math]x(\tau)\; \left (x(0)=y, x(t)=x \right )[/math]에 대하여 확률진폭을 더하면 확률진폭 [math]\displaystyle \varphi_{(x,t;y,0)}=\sum_{x(\tau)} \varphi(x(\tau))[/math]을 얻을 수 있다.

여기서 [math]\displaystyle \varphi_{(x,t;y,0)}[/math]는 양자역학적 관점으로 봤을 때 그린 함수에 해당한다. 경로 적분을 이용하면 그린 함수는 [math]\displaystyle G=e^{iS/ \hbar}[/math]로 쓸 수 있다. 따라서 그린 함수는 [math]\displaystyle G(x,t;y)=C\sum_{x(\cdot)} \exp \left ( \frac{iS(x(\cdot))}{\hbar} \right )[/math]로 표현된다. [math]x(\cdot)[/math]는 [math]y[/math]에서 [math]x[/math]로 가는 경로를 말한다.
위 수식의 고전적인 근사를 얻기 위해 정지 위상 근사(stationary phase approximation)를 사용하자. 일단, 다음의 적분을 가정하자.
[math]\displaystyle F(\lambda)=\int^{\infty}_{-\infty}dt \exp\left [ i \lambda f(t) \right ][/math]
[math]\lambda \to \infty[/math]인 경우 [math]e^{i\lambda f(t)}[/math]의 위상이 급격히 변하기 때문에 위상의 변화가 적고 적분에 주요한 영향을 주는 부분은 [math]f^\prime=0[/math]인 부분이다. [math]f^\prime=0[/math]이 되는 점 [math]t_0[/math]를 가정하고 [math]f[/math]를 [math]t_0[/math]근방에서 전개하자.
[math]\displaystyle F(\lambda)=\int^{\infty}_{-\infty}dt \exp\left [ i \lambda f(t_0)+\frac{1}{2}i\lambda (t-t_0)^2 f^{\prime\prime}(t_0)+\cdots \right ][/math]
삼차항이나 고차항은 무시하고 [math]-\infty[/math]부터 [math]\infty[/math]까지 [math]t[/math]로 적분하면
[math]\displaystyle F(\lambda)=\sqrt{\frac{2\pi i}{\lambda f^{\prime\prime}(t_0)}}e^{i\lambda f(t_0)}[/math]

위의 계산에서 [math]f^{\prime}(t)\ne 0[/math]인 영역을 버릴 수 있단 사실은 아래와 같이 보일 수 있다. [math]\alpha \le t \le \beta[/math]인 영역에서 [math]f^{\prime}(t)\ne 0[/math]라고 하고 변수를 치환하여 [math]z=f(t)[/math]로 두자. 그러면 다음과 같은 적분을 생각 할 수 있다.
[math]\displaystyle F_{\alpha\beta}\equiv \int^\beta_\alpha \exp(i\lambda f(t) )dt =\int^{f(\beta)}_{f(\alpha)}\exp(i\lambda z)\phi(z) dz[/math]
단, [math]\phi(z)=\frac{1}{f^\prime (t)}[/math]이다.
[math]\phi[/math]가 미분가능하다고 할때 부분적분법을 사용하면
[math]\displaystyle F_{\alpha\beta} =\left ( \frac{1}{i\lambda}\right ) \left.\left [ \phi(z)e^{i\lambda z}\right ]\right |^{f(\beta)}_{f(\alpha)} -\left ( \frac{1}{i\lambda}\right ) \int^{f(\beta)}_{f(\alpha)} \exp(i\lambda z) \left (\frac{d\phi(z)}{dz} \right ) dz[/math]
따라서 [math]F_{\alpha\beta}[/math]는 [math]1/\lambda[/math]을 따라 0으로 줄어든다. 그렇기 때문에 적분에는 [math]1/\sqrt{\lambda}[/math]로 줄어드는 [math]f^\prime=0[/math]인 부분이 지배적인 영향을 준다.

[math](t-t_0)[/math]의 고차항을 무시할 수 있다는 것을 보이기 위해 다음과 같은 적분을 가정하자.
[math]\displaystyle K(\lambda) \equiv \int^{\infty}_{-\infty}e^{i\lambda t^2 } e^{i\lambda a t^3}e^{i\lambda b t^4}dt [/math]
[math]\lambda t^3[/math]와 [math]\lambda t^4[/math]가 무시할 수 있을 만큼 작다고 가정하자. 이는 뒤에서 다시 보일 것이다. 그러면 [math]K(\lambda)[/math]는 다음과 같이 쓰일 수 있다.
[math]\displaystyle K(\lambda) = \int^{\infty}_{-\infty} e^{i\lambda t^2} \left [ 1+i \lambda a t^3 + i \lambda b t^4 -\frac{1}{2}\lambda^2 a^2 t^6 -\lambda^2 ab t^7 -\frac{1}{2} \lambda^2 b^2 t^8 + \cdots \right ] dt =\sqrt{\frac{i\pi}{\lambda}}\left [ 1-\frac{3ib}{4\lambda}+\frac{15i}{16}\frac{a^2}{\lambda}-\frac{105}{32}\frac{b^2}{\lambda^2}+\cdots \right ] [/math]
계산과정에서 가우스 적분을 사용했다. [math]\lambda \to \infty[/math]일때 [math]t[/math]의 고차항이 첫번째 항에 비해 0으로 줄어드는 것을 확인 할 수 있다. 더욱이 적분과정에서 [math]t^2[/math]이 적분값의 [math]1/\lambda[/math]수준의 크기로 작용하므로 [math]\lambda t^3[/math]이나 [math]\lambda t^4[/math]은 [math]\lambda^{-1/2}[/math]과 [math]\lambda^{-1}[/math]수준의 크기가 되어 위에서 가정한 바와 같이 [math]\lambda \to \infty[/math]일때 무시된다는 사실을 알 수 있다.

위에서 보였듯이 [math]\lambda \to \infty[/math]으로 변하면서 함수 [math]\exp\left [ i \lambda f(t) \right ][/math]의 [math]t[/math]에 대한 적분은 [math]f^\prime (t_0)=0[/math]인 [math]t_0[/math]에 의해 결정된다. [math]\lambda=1/\hbar[/math]가 무한히 커지게 되는 건 고전적 극한 [math]\hbar \to 0[/math]으로 생각 할 수 있으며 이 때 위와 마찬가지로 범함수 [math]\exp \left ( \frac{iS \left [x(\cdot) \right ] }{\hbar} \right )[/math]를 [math]x(\cdot)[/math]에 대해 적분한 그린 함수의 모습은 [math]\displaystyle \frac{\delta S}{\delta x(\cdot)}=0[/math]이 되는 경로 [math]\bar{x}(\cdot)[/math]에 의해 결정된다. 정지 위상 근사로 적분을 적절하게 바꿨을 뿐만 아니라 작용이 실제 경로에 대한 작은 경로의 변화에 대해 불변하다는 해밀턴의 원리까지 보이는 효과를 얻은 것이다.