라그랑지언

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1 개요

Lagrangian

고전역학에서 어떠한 계의 라그랑지언은 그 계의 운동에너지에서 포텐셜 에너지를 뺀 값으로 정의된다.

[math] \displaystyle L = T - U [/math]

일반적으로 [math] n [/math] 개의 점입자가 있어 그 입자들의 3차원적인 위치가 [math] 3n [/math] 개의 시간의 함수 [math] q_i \left( t \right) \left( i = 1,2,\ldots, 3n \right) [/math]로 표현이 된다고 할 때, 해당 시스템의 라그랑지언은 아래와 같이 [math] 3n [/math] 개의 변수와 그 미분값, 그리고 시간 [math] t [/math] 의 함수로 씌여질 수 있다. 그리고 라그랑지언의 시간 적분은 [math] 3n [/math] 개의 함수를 입력으로 하는 범함수가 되고 이것을 액션이라고 부른다.

[math] \displaystyle L \left\{ q_i \left( t \right), \dot{q}_i \left( t \right); t \right\} = T - U \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S = \int_{ t_1 }^{ t_2 } L \left\{ q_i \left( t \right), \dot{q}_i \left( t \right); t \right\} dt [/math]

2 해밀턴의 원리

여기까지는 수학적 정의일 뿐이고, 라그랑지언과 액션의 개념을 쓸모 있게 만들어 주는 것은 다음과 같은 해밀턴의 원리이다.

  운동하는 입자들로 이루어진 어떠한 계가 따를 수 있는 무수한 경로 중에 실제로 자연이 선택하는 경로는 액션을 최소화시키는 경로이다.

역사적으로 보면 반사되어 이동하는 빛이 가장 짧은 경로를 따른다는 것을 2세기 헤론이 발견한 것을 그 시초라고 할 수 있다. 빛이 굴절될 때 단순한 경로의 길이가 아니라, 이동 시간을 최소화하는 경로를 따른다는 페르마의 원리가 그 업그레이드 버전이고, 해밀턴의 원리는 이러한 최소화 원리의 최종 버전이다. 한 줄 요약하면, 신은 게으르다
조금 더 수학적으로 설명하자면 라그랑지안을 시간에 따라 적분한 작용(action)이 최소가 되는 경로로 물체가 운동한다는 원리이다. 수식으로 쓰면 [math]\delta S =\delta \int^{t_2}_{t_1}L(q,\dot{q},t)dt=0[/math].

이러한 문장을 읽는 것만으로는 대체 해밀턴의 원리가 무엇을 의미하는지 곧바로 이해하는 것이 거의 불가능한데, 놀랍게도 하나하나의 입자에 대해 뉴턴의 운동법칙( [math] \vec{F}= m \vec{a} [/math] )을 사용하여 기술하는 고전역학과 정확히 동일한 결과를 준다는 것이 증명 가능하다. 즉, 이것은 고전역학의 또 하나의 버전이다.

근데 곰곰히 곱씹어 보면 위 식의 물리적 의미를 알아낼 수 있다. 그 전에 먼저 parameter와 variable의 차이를 알아보자. 함수 [math]g(\dot{q(t)},q(t),t)[/math]를 보면 [math]\dot{q(t)}[/math],[math]q(t)[/math]이 variable이고 [math]t[/math] 는 parameter에 해당한다. [math]\delta[/math] 기호는 변분 (variation)을 의미하는데 이는 parameter를 제외하고 variable에 대해서만 주어진 대상의 변화량을 본다는 뜻이다. 전미분 (total derivative)이 parameter와 variable의 변화량 모두 따져주는 것과는 차이가 있다. 액션의 변분이 시간 변화 (parameter의 변화)에 무관하다는 얘기가 이 때문에 나오는 것이다.시간이 없는 관계로 나중에 이어서 쓰겠다

3 오일러-라그랑주 방정식

액션은 범함수이므로 이것을 최소화시키는 경로를 찾기 위해서는 오일러 방정식을 액션에 대해서 적용하여야 한다. 이렇게 해서 구해지는 [math] 3n [/math]개의 미분방정식을 오일러-라그랑주 방정식이라고 부른다.

[math] \displaystyle {\partial L \over \partial q_i} - {d \over dt} \ {\partial L \over \partial \dot{q}_i} = 0 [/math]

이러한 패러다임에 따라 역학 문제를 해석하는 방법을 라그랑주 역학이라고 부른다.
위 식이 의미하는 바는 일반화 운동량의 시간 변화량은 시스템에 가해지는 일반화 힘과 같다는 뜻이다. 뉴턴 역학 (운동량의 시간 변화량은 시스템에 가해지는 힘과 같다)의 확장판이다. 단지 좌표를 일반화 좌표로 둔 것 밖에는 차이가 없다.

4 예제

줄의 길이가 [math] l [/math] 이고 질량이 [math] m [/math] 인 진자의 운동을 해석해 보자. 평형상태에 대한 진자의 각도를 [math] \theta [/math]라 하고 라그랑지언을 [math] \theta [/math] 의 함수로 써 보면 다음과 같다.

[math] \displaystyle L = T - U = {m l^2 \dot{\theta}^2 \over 2} - mgl \left(1 - \cos \theta \right) [/math]

[math] \theta [/math] 방향에 대한 오일러-라그랑주 방정식은,

[math] \displaystyle 0 = {\partial L \over \partial \theta} - {d \over dt} \ {\partial L \over \partial \dot{\theta}} = -mgl \sin \theta - ml^2 \ddot{\theta} [/math]

이 되어, 잘 알고 있는 운동방정식이 유도된다.

5 비고전역학적인 확장

원칙적으로 뉴턴역학의 범위에서 벗어나는 어떠한 물리현상도 라그랑주 역학이 예측해 주지는 않는다. 그럼에도 불구하고 라그랑지언, 액션, 라그랑주 역학에 대한 공부로부터 물리학과의 커리큘럼을 시작하는 궁극적인 이유는 고전역학을 벗어나는 레벨의 물리에서 매우 다양하게 유사한 방법론을 도입하여 사용하게 되기 때문이다.

상대성 이론에서는 시간과 공간이 동일한 방식으로 다루어져야 하므로 액션을 라그랑지언의 시간적분으로 표현하는 것이 적절하지 않다. 이를 위해서 라그랑지언 밀도라는 개념이 흔히 사용되는데, 기본적으로 라그랑지언 밀도의 3차원적인 공간적분이 보통의 라그랑지언이 된다.

[math] \displaystyle L(t) = \int \mathcal{L} \left(\vec{r},t \right) d \vec{r} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ S = \int \mathcal{L} \left( x \right) dx^\mu [/math]

위의 마지막 수식, 그리고 이 아래 수식들에서는 사차원 벡터 (4-vector) 를 이탤릭체와 로 표기하는 방법을 사용한다. 혼동될 여지가 없는 경우엔 이 라그랑지언 밀도를 그냥 라그랑지언이라고 부르는 경우도 많다. 다음은 각 양자장론의 분야별로 출발점을 주는 라그랑지언 밀도와 그것에 오일러-라그랑주 방정식을 적용하여 유도한 운동방정식의 리스트이다.

5.1 비상대론적인 양자장론

[math] \displaystyle L \left(\psi, \nabla \psi, \dot{\psi} \right) = i \hbar \psi^* {\partial \psi \over \partial t} - {\hbar^2 \over 2m} \nabla \psi^* \nabla \psi -V \left(\vec{r},t \right) \psi^* \psi [/math]

[math] \displaystyle i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi\left(\vec{r},t \right)= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V\left(\vec{r},t \right) \right) \psi\left(\vec{r},t \right)[/math] 어디선가 본 적이 있는 듯한 생각이 드는 것은 기분탓이다.

5.2 스핀 0인 중성자유입자의 양자장론

이 아래로는 [math] \epsilon_0 = \mu_0 = c = \hbar =1 [/math] 로 놓는 자연 단위계를 사용한다.

[math] \displaystyle \mathcal{L} = {1 \over 2} \left(\partial^\mu \phi \right) \left(\partial_\mu \phi \right) - {1 \over 2} m^2 \phi^2 [/math]

[math] \displaystyle \left(\partial^\mu \partial_\mu + m^2 \right) \phi = 0 [/math]

위의 방정식을 클라인-고든 방정식이라고 부른다.

5.3 스핀 1/2인 자유입자의 양자장론

[math] \displaystyle \mathcal{L} = \bar{\psi} \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi [/math]

[math] \displaystyle \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi = 0[/math]

여기에서의 [math] \psi [/math]는 [math] 4 \times 1 [/math] 크기의 행렬로 표현되는 스피너(spinor)이고, [math] \gamma^\mu [/math] 는 디랙 행렬이다. 위의 방정식을 디랙 방정식이라고 부른다.

5.4 스핀 1인 자유입자의 양자장론

[math] \displaystyle \mathcal{L} = -{1 \over 4} F^{\mu \nu} F_{\mu \nu}+ {1 \over 2} m^2 A^\mu A_\mu \ \ \ \ \ \ F^{\mu \nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu [/math]

[math] \displaystyle \partial^\nu \partial_\nu A^\mu -\partial^\mu \partial_\nu A^\nu +m^2 A^\mu = 0[/math]

여기에서의 [math] A^\mu [/math] 가 4차원 포텐셜, [math] F^{\mu \nu} [/math] 는 전자기 텐서이다. 보통 아래의 운동방정식의 우변에 0 대신 4차원 전류항 [math] j^\mu [/math] 를 넣은 것을 프로카 방정식이라고 부른다. 추가로 [math] m = 0 [/math] 으로 놓으면 (전혀 비슷해 보이지 않을 지도 모르지만) 그것이 바로 맥스웰 방정식이다.

참고로 [math]m[/math]가 0이지 않을 때 프로카 방정식은 우리가 알고 있는 게이지 변환에 대해 불변하지 않는다. 따라서 게이지 불변성을 만족하려면 광자의 질량이 0이어야 한다는 사실을 얻는다. 하지만 게이지 불변성을 완전하게 다루려면 스핀 1인 입자가 자유 입자일 때에는 곤란하고 스핀 1/2인 입자(페르미온)와 상호작용을 하고 있을 때에만 가능하다. 바로 아래 QED에서 이야기할 것이지만... 어쨌든 그런 이유 때문에 자유입자가 아니라면 몰라도 스핀 1인 자유 입자의 질량은 0이 아니라고 놓아도 상관 없을 것 같다.(...) 왜 말한 거야

5.5 양자전기역학 (QED)

[math] \displaystyle \mathcal{L} = \bar{\psi} \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m \right) \psi - {1 \over 4} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu} - q \bar{\psi} \gamma^\mu \psi A_\mu [/math]

[math] \psi [/math] 와 [math] A^\mu [/math] 각 방향의 오일러-라그랑주 방정식으로부터 전하 [math] q [/math]를 가진 스핀 1/2 입자(전자와 양전자)와 스핀 1 입자(광자)의 운동방정식이 튀어나오고, 자연스럽게 전류의 정체가 무엇인지, 그것을 통해 두 종류의 입자가 어떻게 서로 영향을 주고받는지까지 결정된다.

양자전기역학의 라그랑지언이 저런 꼴을 갖도록 하는 원인 중 하나로 게이지 불변성이 있다. 페르미온 장의 위상 변화 [math]\psi \to e^{i \phi} \psi[/math]에서 [math]\phi[/math]가 상수이면 자동으로 불변성이 만족되던 것을 [math]\phi[/math]가 상수가 아닌 경우로 확장시키는 과정에서 게이지 불변성을 만족하는 스핀 1의 장이 튀어나오고 그 장이 다름 아닌 전자기장인 것을 볼 수 있다. 즉, 전자기장이 존재하는 이유가 게이지 불변성 때문이라는 것이다. 그리고 이 논리를 여러 페르미온들의 다중항에 대한 일반적인 위상 변화에 대한 것으로 확장시킬 수도 있다. 중력을 제외한 모든 상호작용을 다 설명하는 양-밀스 장이 바로 그것. 자세한 내용은 게이지 장 참고.