선적분

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1 개요

線積分, Line Integral

곡선에 대한 적분을 의미한다. 쉽게 말해서 선에 있는 모든 점에 대해 적분을 구하는 것으로, 기본적인 적분이 구간 [a, b] 사이의 수 c에 대해서 적분값을 구했다면, 한차원 더 나아간 선적분은 n차원에서 '아무렇게나 생겨먹은 선'(=곡선 C) 위에 존재하는 모든 점들에 대해서 적분을 구하는 것이다. 수학이든 물리학이든 1차원을 넘어 2차원 위에서 현상을 기술하기 위한 필수적인 도구로, 이게 없으면 이해가 불가능하다. 근데 이것도 잘못 걸리면 이해가 불가능...

단순한 의미로는 좌표에 따라 세기와 방향이 다른 바람 속을 어떤 경로로 뚫고 들어갈 때처럼 벡터로 표현되는 힘의 field 안에서 어떤 경로를 따라 물체를 이동시켰을 때 그 물체에 한 일의 합을 뜻한다. x 또는 y가 조금만 바뀌어도 작용하는 힘이 바뀌는 상황에서는 일반적인 공식을 적용하기 불가능하기 때문에 연속적인 관점에서 매우 작은 거리에 해 준 일을 전부 더한 것이다.

확장형으로 면적분, 부피적분이 존재한다. 선적분에서 차원을 하나씩 늘려간다고 생각하면 된다. 노가다도 늘어간다는 것이 함정

2 벡터 미적분학에서

그린 정리, 스토크스 정리, 발산 정리 등에서 중요하게 사용되며,

어떠한 스칼라함수(scalar field) [math]f:\text{R}^n\to\text{R}[/math]과 곡선 [math]C[/math]가 [math]\vec{X}:\left[a,b\right]\to\text{R}^n[/math]로 조각적으로 연속적으로 미분가능하게 매개변수화 가능할 때, 곡선 [math]C[/math]에 대한 [math]f[/math]의 선적분은 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle \int_C f\,ds=\int_a ^b f\left(\vec{X}\left(r\right)\right)|\vec{X}'\left(r\right)|dr[/math]

비슷하게, 벡터장 [math]\vec{F}:\text{R}^n\to\text{R}^n[/math]에 대한 선적분(line integral)은 다음과 같이 정의된다.

[math]\displaystyle \int_C \vec{F}\cdot d\vec{s} = \int_C \left(\vec{F}\cdot\vec{T}\right)\,ds = \int_a^b \vec{F}\left(\vec{X}\left(r\right)\right)\cdot\vec{X}'\left(r\right)dr[/math]

이 때, [math]\vec{T}[/math]는 곡선 [math]C[/math]의 [math]\vec{X}[/math]에서의 접선벡터(Tangent vector)이다.

3 복소선적분

복소해석학에서 가장 중요하게 다루어지는 개념 중 하나. 여기서는 특별하게 컨투어 적분이라고 불리는 경우가 많다.

실수 범위에서는 구하기 어려운 적분을 복소범위의 경로로 옮긴 뒤, 극한을 취하여 실수 범위에서의 적분을 제외한 나머지 부분을 0으로 날려버리는 기술을 사용할 수 있다.