국제수학올림피아드

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International Mathematical Olympiad(IMO)
홈페이지

1 개요

국제수학올림피아드는 대학 교육을 받지 않은 만 20세 미만의 학생을 대상으로 열리는 국제 과학올림피아드의 하나이다. 국제 과학올림피아드들 가운데 가장 큰 규모와 오래된 역사를 자랑하고 있으며 1959년 루마니아의 1회 대회를 시작으로 2015년 태국에서 56회[1]째가 열린 이 대회에 무려 114개국이 참가한다. 41회 IMO는 대한민국의 대전에서 개최되었다. 초창기에는 동구권 국가들만 참가했으나 갈수록 참가국이 늘고 있다.

2 형식

오래된 역사에 걸맞게 대회의 형식도 오래된 전통을 지니고 있다. 4시간 30분씩 이틀에 걸쳐 시험을 보며 (시험시간은 오전 9시에서 오후 1시 30분까지) 하루에 3문제, 총 6문제가 출제된다. 각 문제당 7점 만점씩으로 총 42점 만점이 된다. 계산기는 허용되지 않는다. [2]

2.1 출제분야

현재 IMO의 출제분야는 크게 네 분야(대수, 조합, 기하, 정수) [3] 로 나뉘며 대학수학, 특히 미적분학은 제외된다. [4] 각 분야에 대한 설명은 KMO 항목에 자세히 설명되어 있으므로 해당 항목 참조. 다만 어느 정도 나오는 문제의 틀이 정해진 KMO와 달리 IMO에서는 정형화되지 않은 문제가 꽤 자주 등장한다. 네 분야를 총 6문제 출제하는 만큼 당연히 각 분야의 분포는 균일하지 않은데 근 몇 년의 추세는 기하 2문제, 정수 1문제가 출제되며, 대수와 조합은 그때그때 달라진다.

2.2 출제과정

먼저 개최국에서 대회가 열리기 몇 달 전에 문제선정위원회를 구성하여 각 나라로부터 IMO에 출제될 만한 좋은 문제를 접수 받는다. 이 문제들을 모아놓은 리스트를 longlist라 부르며 문제선정위원회는 이 longlist에서 20~30개 정도의 문제를 추리고 이를 shortlist라 부른다. 시험에 출제될 6문제는 이 shortlist에서 단장회의를 통해 정해지는데 이 과정에서 각 나라 단장들의 의견[5]을 수렴해 투표[6]로 정한다. longlist는 철저히 비공개에 부치며 shortlist는 다음 대회가 열릴 때까지 1년간 공개되지 않는다. 이는 세계 대부분의 나라에서 팀대표 선발시 shortlist문제를 사용하기 때문이다. 엠바고가 지난 쇼트리스트 문제와 풀이는 imo 공식 홈페이지에서 무료로 볼 수 있다.

2.3 채점 및 시상과정

채점은 크게 단장단과 개최국에서 꾸린 코디네이터 사이의 협상[7]으로 이루어진다. 단장단과 코디네이터는 정해진 시간에 대표단 학생들의 답안지를 놓고 몇 점을 매길 것인지를 논하는데 이 과정은 짧게 끝날 수도 있고 몇 시간 동안 길어지다 못해 다음날에서야 끝을 보는 경우도 있다. 물론 코디네이터들이 모든 나라의 답안지를 해석할 수 있는 것은 아니므로 단장단은 해당 답안지를 번역해서 코디네이터에게 그 내용을 전달한다. [8][9] 개최국 학생들의 답안지는 각 문제가 출제된 국가 측의 채점위원들이 담당하는데 미미한 홈어드밴티지는 존재하는 듯 하다. 한편 이러한 과정이 이루어지는 동안 학생들은 관광 일정(excursion)을 소화한다.

채점이 끝난 뒤에는 각 메달의 커트라인을 정하는데 메달 수여의 내규는 전체 메달 수상자가 참가자의 절반을 넘지 않도록 하고 금:은:동이 1:2:3의 비율이 되게 하는 것인데 간혹 학생들의 점수분포가 곤란한 경우엔 지켜지지 않는다. 동점자가 다른 메달을 수여하게 되는 일은 없기 때문이다. 한편 메달을 받지 못한 참가자 중 한 문제라도 7점을 획득한 학생은 명예상(Honorable Mention)을 받게 된다.

3 이모저모

사실상 이 항목이 작성된 진짜 이유

  • 공식적으로 개인 대항 대회이다. 그러나 공식 홈페이지에서는 각 나라의 합산 점수에 근거한 등수를 매겨 준다. 한편 이 순위는 순전히 합산 점수로 매기고 메달의 개수와는 무관한데[10] 올림픽식 메달로 순위를 억지 기사를 쓰기 위해 한국 기자들이매기는 다른 국제 과학올림피아드들과는 확연히 다름을 알 수 있다.
  • 위의 순위 결정법대로 하였을 때 최다 우승국은 중화인민공화국으로 공동우승 1회 포함 19회이다.
  • 정해진 답안지에 답안을 작성할 필요가 없고 시험장에서 제공하는 A4용지에 작성한 모든 내용은 답안이 될 수 있다. 그렇기에 설령 학생이 답안을 논리정연하게 작성하지 못 했다 할지라도 학생이 끄적인 필기내용이 이 학생이 문제해결의 실마리를 찾았음을 입증할 수 있다면 그 또한 점수가 부여될 수 있다. 실제로 어떤 참가자는 해당 문제를 전혀 풀지 못했음에도 불구하고 몇십 장의 필기 속에 풀이의 단서가 적혀 있어 이에 해당하는 점수를 받은 사례도 있다.
  • 예산의 부족 때문인지는 몰라도 대회의 일정(coordinating과 excursion)이 점점 짧아지는 추세다. 안습.
  • 2011년부터 2015년까지 5년간 구글의 후원을 받았다.
  • 앞서 가장 오래된 국제올림피아드라고 소개했지만 아이러니하게도 IMO는 가장 오래된 수학올림피아드는 아니다. 가장 오래된 수학올림피아드는 1910년 이후로 헝가리에서 개최되고 있는 Kürschák 수학경시대회(초창기 이름은 Eötvös 수학경시대회)이다.
  • 1위는 거의 중국이 하는 편이고, 가끔씩 미국, 러시아가 1위를 하기도 한다. 한국은 딱 한번 1위를 한 적이 있다. 2016년에 한국대표 6명중 3명이 만점을 받았다. 그 전까지 한국대표로 만점을 받은 사람은 단 한명이었다. 그 외에 만점을 받을뻔 한적 있었던 사람은 있었으나... 자명한 해의 대입과정에서 딴지가 걸리는데... 한국국적으로 42점을 받아낸 사람은 2016년 부터 이제 4명이 되었다. 중국은 해마다 최소 1~2 많게는 3~4명이 만점을 받는다 ㄷㄷ 2016년에 전세계에서 6명이 만점을 받았는데 그 중 3명이 한국대표였으나 아쉽게 국가성적은 2위를 기록했다.(오해하지말자. 정말 대단한 성적이다.) 2016년에는 중국이 정말 오랜만에 무려 3위에 머무르고 말았다. 귀국금지각
  • 대회 자체의 분위기는 축제에 가깝고, 축제기간 동안 시험이 이틀 껴있다 생각하면 오히려 정확하다. 대회로도 중요하지만, 전세계의 훌륭한 인재들을 만날 수 있는 중요한 사교 기회이기 때문. 무엇보다 시험 전날 그런다고 성적이 바뀌는 대회가 아니다 대한민국, 중국, 북한, 러시아 등은 이 대회의 성적에 특히 국가적인 관심사를 두고 있지만, 꼭 그렇다고 수학 강국이라는 뜻은 아니다. 결국은 고등학생 대회니까.. 프랑스와 같은 수학 강국도 IMO 2014 순위가 45위이다. 하지만, IMO 참가자 중에서 유명한 수학자가 된 사례는 많다. 대중적으로 유명한 사례는 '82년 소련의 IMO 만점자 그리고리 페렐만. 영문 위키피디아에서 정리한 IMO 참가자
  • 중국계 캐나다인인 Alex Song은 2010년부터 2015년까지 6년 연속 IMO대표로 출전했고, 2011년부터 연속 5회 금메달을 받아 세계 IMO 명예의 전당 단독 1위(5금 1동)가 되었다. 흠좀무. 연속 6회 출전한 사람은 Alex Song과 세르비아 출신의 Teodor von Burg(4금 1은 1동)가 유일하다. 3위는 독일출신의 여성 Lisa Sauermann(4금 1은).
  • 금메달 수보다 어떻게 보면 더 가치가 있는 것은 42점 만점으로 받은 금메달이다. 금메달은 해마다 어느정도 수를 주지만 (물론 받기는 어렵다) IMO는 3번과 6번 난이도가 금메달 받는 사람들 간을 변별할 난이도를 갖기에 그걸 다 시험시간내에 증명해낸다는 것은 상당한 두뇌회전과 창의력 없이는 불가능한 일이다. 실제로 한국은 금메달을 많이 받아오지만 위에서 서술한것 처럼 만점자는 2016년까지 4명뿐이었다. 만점자는 적게는 해마다 지구에서 1~3명 가량, 많아도 10명이 안되는 수가 만점을 받는 것이 보통이다. 게다가 요 근래에는 거의 대개 3명이내 쪽인 경우가 많다. 이렇게 1등으로 받은 금메달을 한국에서 수학하는 친구들은 '앱골' (Absolute gold의 준말), 외국에서는 perfect scorer라고 하거나 perfect paper (완벽한 답지)로 수상한 금메달이다 등의 표현을 쓴다. 1990년대 후반 루마니아 대표 Ciprian Manolescu가 3회 출전, 3회 모두 42점의 완벽한 답지를 제출하는 전무후무한 기록을 세웠다. IMO는 고사하고 난이도가 비교도 안되는 학교 내신 수학과 수능에서도 중고등학교 6년 내내 보는 모든 시험에서 만점 받기는 실수가 하나도 없어야 하기에 쉽지 않은데 거기다 가끔 문제가 극단적으로 어렵게 나오면 만점자가 한 명도 나오지 않기도 한다. IMO 답지를 3번이나 완벽하게 제출해낸다는 것은 하늘이 준 재능 없이는 절대 불가능한 일이다. 궁금하면 최근 IMO 문제를 한문제라도 읽어보면 된다. 육상의 볼트같은 개념이라고 생각하면 될듯. 참고로 이 Ciprian씨는 이후 수학자가 되어 2018년 필즈상 수상 유력 후보 중 한 명으로 뽑히고 있다.
  • 제57 회 국제수학올림피아드에 출전한 북한 대표중 한명인 16세 소년이 대열에서 이탈해 홍콩 한국총영사관으로 탈북했다. 현지 언론이 이 소식을 보도한 이후 총영사관 주변은 삼엄한 경계가 펼쳐지는 것으로 알려졌다.
  • 2016년 국제수학올림피아드의 경우에는 한국 대표팀의 한 학생이 어떤 문제의 풀이 과정에서 증명은 완벽하게 했지만, n이 9의 배수라는 것을 보여주는 표에서 두 숫자를 바꿔 쓰는 사소한 실수를 하였는데, IMO 채점단 측은 1점을 감점해야 한다고 주장했고, 한국 대표단 측은 몰라서 틀린 것이 아니므로 넘어가야 한다고 주장하였다. 이틀 간의 점수 협상으로도 결론이 나지 않아 각국 단장 회의로 넘어가게 되었고, 투표 결과 7점 만점을 주자는 의견이 많아서 결국 감점하지 않는 것으로 결정되었다. 그리고 그 학생은 만점을 받았다. #
  • 위와 비슷한 일은 2012년 IMO에서도 있었다. [math] 1600 (1.995^k) \lt 1.99^k [/math] 가 적당히 큰 [math] k [/math]에 대해 성립한다고 적은 경우가 있었는데 1.99와 1.995를 바꿔적은 경우로 상식적으로 지수가 커질수록 1600 따위는 가볍게 그 존재감이 작아지기에 잘못 표기한 것일 뿐이다. 위의 경우도 그렇고 이 경우도 IMO에 나가는 수준인 학생의 답지인데 이런 표기 오류를 범한 것을 논리적인 사고가 잘못되었거나 생각을 해내지 못해서 수학적인 증명 구조에 문제가 생긴 것이라고 보기는 어렵다. 대개 학문에 대한 양심이 있는 사람들이 많기에 이런 표기상의 실수에 대해서 점수를 깎지는 않는 경우가 많다. 수학에 재능이 없는 사람들도 이해할 수 있는 쉬운 예로 문제를 풀다가 1은 2보다 크므로 양변에 1씩 더한 2와 3 중에는 3이 더 크다. 라고 서술한 경우 1과 2의 대소 비교만 잘못 바꿔서 썼다고 해서 그걸 잘못된 수학적 사고라고 보기는 어렵다는 점과 마찬가지일 것이다.(일반적인 중고등학생이라면 몰라서 그렇게 썼을리가 없다는 말) 물론 IMO 같은 권위 있고 제대로 된 수학 대회나 그렇지 학교 주관식 내지 서술형 시험에서는 가차 없다.
  1. ↑ 1980년 대회(개최국 몽골로 예정)가 취소되었다. 따라서 1980년대 이후 횟수가 하나씩 당겨졌다.
  2. ↑ 어찌 보면 당연해 보이지만 그렇지 않다. 계산기의 지참을 허용하는 올림피아드들도 꽤 많다. 그 예시는 Tournament of Towns
  3. ↑ 원래 초창기에는 이러한 분류를 명시하지 않았으나 1993년 IMO shortlist에서 문제들을 나누기 시작한 이후로 전통이 되었다. 분야를 대수(Algebra), 조합(Combinatorics), 기하(Geometry), 정수(Number Theory) 순으로 기재하는 것 또한 일종의 전통이다.
  4. ↑ 대학수학이 제외되는 것은 현재까지도 잘 지켜지는 전통이지만 가끔씩 눈가리고 아웅 식의 문제가 출제되는 것이 아니냐 하는 의견도 있다. 예를 들면 적당히 큰 n에 대하여 등의 문구는 고등학교 범위의 수학에서는 매우 생소한 표현이지만 이따금씩...
  5. ↑ 각 문제의 난이도와 예술성을 평가한다.
  6. ↑ 각 나라 단장이 모두 똑같이 1표씩 행사하는 시스템. IMO의 규모가 거대해짐에 따라 모든 나라가 동일한 권리를 행사하는 이 시스템이 정말 좋은 문제를 걸러내지 못하는 것이 아니냐는 비판도 존재한다. 아울러 문제 유출을 막기 위해 단장은 학생들과 격리된다. 필요하다면 단장은 이때 확정된 문제를 공식 언어에서 자국 학생들이 읽을 수 있는 언어로 번역한다. 따라서 공식 언어가 아닌 것 중 두 나라 이상에서 쓰이는 것은 두 가지 이상의 번역판이 있을 수 있다.
  7. ↑ 실제로 협상능력에 따라 학생의 답안지의 점수가 정말 달라지는 것이 아니냐는 견해도 있다. 기본적으로 학생들이 자국어로 답안지를 작성하니까.
  8. ↑ 코디네이터 측에서 영어로 답안지를 번역할 것을 요구하기도 하고 그냥 그 자리에서 구두로 이뤄지기도 한다.
  9. ↑ 이 과정에서 그 나라가 사용하는 언어에 따라 의역이 개입할 여지가 있기도 한데 이 여부가 점수에 미치는 영향은 미미하다.
  10. ↑ 한 나라에서 최대 6명이 참가할 수 있다(잠시 4명, 8명였던 적도 있었다). 따라서 사정상 6명 미만이 참가한 나라는 순위가 떨어진다.