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목차
[숨기기]1 개요
Gauge field
간단하게 말하자면 게이지 변환에 불변하는 장을 가리킨다. 현대 물리학에서 중력을 제외한 모든 상호작용들, 즉 전자기력, 약한 상호작용, 강한 상호작용은 모두 이 게이지 장으로 표현이 된다.
왜 하필 '게이지'라는 이름이 쓰였는가는 벡터 퍼텐셜 항목을 참고할 것.
2 전자기장에서의 게이지 변환과 게이지 불변성
전자기학에서는 주로 스칼라 퍼텐셜과 벡터 퍼텐셜인 V,A
3 일반적인 게이지 변환
물리 덕후(...)라면 게이지 변환이 여러 가지가 있다는 것을 알 것이다. 실제로 물리학자들은 다양한 게이지 변환을 주는 방법을 터득하였고 그렇게 해서 얻은 몇 가지 그럴싸한(?) 장들로 표준모형을 만들었다. 이를 달성하기 위해서는 반드시 양자역학이 필요하다.[1] 또한 식을 매끄럽게 전개하기 위해서는 4차원 시공간에서 전자기장을 표현해야 하는데 (즉 로렌츠 불변성이 드러나야(manifest) 하는데), 이에 대한 설명은 상대성 이론에 잘 다뤄져 있으니 참고할 것.
3.1 슈뢰딩거 방정식에서의 게이지 변환
먼저 슈뢰딩거 방정식에서 무슨 일이 벌어지는가를 살펴보자. 그럴려면 먼저 스칼라 퍼텐셜 ϕ다들 해밀토니안은 알고 있죠?[2]
H=12m(p+eA)2−eϕ
여기서 p=mv−eA
이제 늘 하던대로(?) 이 해밀토니안을 가지고 슈뢰딩거 방정식을 써 보자. 그냥 p
iℏ∂∂tψ(x,t)=(12m(−iℏ∇+eA)2−eϕ)ψ(x,t)
이때 주의할 것인 (−iℏ∇+eA)2ψ=−ℏ2∇2ψ−ieℏ∇⋅(Aψ)−ieℏ(A⋅∇)ψ+eA2ψ
이제 게이지 변환을 생각해 보자. 게이지 변환이 ϕ→ϕ′=ϕ−∂Λ/∂t,A→A′=A+∇Λ
- ψ′
- 모든 x,t
사실 둘째 조건으로부터 큰 힌트를 얻을 수 있다. 바로 ψ′(x,t)=exp(iλ(x,t))ψ(x,t)
iℏ∂∂t(eiλψ)=12m(−iℏ∇+eA′)2(eiλψ)−eϕ′(eiλψ)
좌변은 다음과 같이 써질 것이다.
iℏ∂∂t(eiλψ)=eiλiℏ∂∂tψ−eiλℏ∂λ∂tψ
우변에 ϕ′=ϕ+∂Λ/∂t왠지 이건 미친 짓 같다
12m(−iℏ∇+eA′)2(eiλψ)−eϕ′(eiλψ)
=12m(−iℏ∇+eA+e∇Λ)2(eiλψ)−e(ϕ−∂Λ∂t)(eiλψ)
=−ℏ22m∇2(eiλψ)−ieℏ2m∇⋅((A+∇Λ)(eiλψ))−ieℏ2m((A+∇Λ)⋅∇)(eiλψ)
+e22m(A+∇Λ)2(eiλψ)−e(ϕ−∂Λ∂t)(eiλψ)
=eiλ(−ℏ22m∇2ψ−ieℏ2m∇⋅(Aψ)−ieℏ2m(A⋅∇)ψ+e22m|A|2ψ−eϕψ)
+eiλ(−iℏ2m∇λ−ieℏ2m∇Λ−ieℏ2m∇Λ)⋅∇ψ
+eiλ(ℏ22m∇λ⋅∇λ−iℏ22m∇2λ−ieℏ2m∇2Λ+eℏ2m(A+∇Λ)⋅∇λ+eℏ2m(A+∇Λ)⋅∇λ+e22m(2A+∇Λ)⋅∇Λ)ψ
+eiλe∂Λ∂tψ
뭔가 엄청 복잡해 보인다. 하지만 이 우변 식은 신기하게도 λ=−eℏΛ
따라서 슈뢰딩거 방정식에서 게이지 변환은 다음과 같게 된다.
ψ→e−ieℏΛψ
ϕ→ϕ−∂Λ∂t
A→A+∇Λ
이로부터 얻을 수 있는 결론은 파동함수의 게이지 변환이 사실은 위상(phase)의 변화라는 것이다. 그런데 이 위상의 변화는 단순히 상수가 아닌 시간과 위치에 따른 함수로 나타내어진다는 것이 특이하다. 이러한 변환을 가리켜 국소적(local)인 게이지 변환이라고 부른다. 이런 식으로 전자 등의 파동함수에 대한 위상의 국소적인 변환(게이지 변환)은 양자장론에 가서 더더욱 심화된다.
3.2 디랙 방정식에서의 게이지 변환
단순히 λ=−eℏΛ
상대성 이론을 읽었으면 알겠지만 A0=ϕ/c
∂μFμν=jν,
∂μFνλ+∂νFλμ+∂λFμν=0.
여기서 jν
한편, 위에서 썼던 게이지 변환은 다음과 같이 한 줄로 요약된다.
Aμ→Aμ+∂μΛ.
이 변환이 이루어지면 다음을 얻을 수 있다.
Fμν=∂μAν−∂νAμ→∂μ(Aν+∂νΛ)−∂ν(Aμ+∂μΛ)=∂μAν−∂νAμ=Fμν.
즉, 게이지 변환을 해도 Fμν
이제 상대성 이론 아래에서 전하를 가진 입자가 양자역학적으로 어떻게 기술되는가를 살펴 보자. 디랙 장을 ψ
iγμ∂μψ−mψ=0.
여기서 γμ
S=∫ˉψ(iγμ∂μ−m)ψd4x.
여기서 ˉψ=ψ†γ0
상대성 이론에서 거시적인 영역에서의 입자를 다뤘을 때 그 액션이 다음과 같이 쪼개짐을 봤었다.
액션 = (입자 만의 액션) + (입자-전자기장의 커플링 액션) + (전자기장 만의 액션).
위에 적은 디랙 방정식의 액션은 입자 만의 액션에 해당된다. 전자기장 만의 액션은 −14FμνFμν
∫−Aμjμd4x.
이것을 그대로 대입하면 될 것 같다. 관건은 디랙 장에 있어서 jμ
∫−Aμ(eˉψγμψ)d4x.=∫−eˉψγμAμψd4x.
이것을 대입하면 총 액션이 다음과 같음을 알 수 있다.
S=∫ˉψ(iγμ∂μ−m)ψ−eˉψγμAμψ−14FμνFμνd4x.
만약 Dμ=∂μ+ieAμ
S=∫ˉψ(iγμDμ−m)ψ−14FμνFμνd4x.
이 액션이 다름 아닌 양자전기동역학(QED)의 액션이다. 이 액션(과 양자장론의 프레임)을 이용해 거시 세계부터 미시 세계까지 모든 전자기적 현상을 설명할 수 있다![6]
소개가 길었는데, 이제부터 보일 것은 디랙 장의 게이지 변환이 어떻게 일어날 것인가 하는 것이다. 먼저 이 액션으로부터 운동 방정식을 얻어야 한다. ˉψ
iγμDμψ−mψ=iγμ∂μψ−eγμAμψ−mψ=0.
관건은 게이지 변환 Aμ→A′μ=Aμ+∂μΛ
iγμ∂μψ′−eγμA′μψ′−mψ′
=iγμ∂μ(eiλψ)−eγμ(Aμ+∂μΛ)(eiλψ)−m(eiλψ)
=eiλiγμ∂μψ−eiλγμ(∂μλ)ψ−eiλeγμAμψ−eiλγμ(e∂μΛ)ψ−eiλmψ
=eiλ(iγμ∂μψ−eγμAμψ−mψ)−eiλγμ(∂μλ+e∂μΛ)ψ
훨씬 쉽다 뭔 말인지 몰라서 그렇지
게이지 변환에 대하여 방정식이 바뀌지 않으려면 위어서 얻은 결과가 항상 0이어야 한다. 위 마지막 결과에서 첫번째 항은 게이지 변환이 되기 전 운동 방정식에 해당하는 것으로 0이 된다. 따라서 다음이 0이어야 한다는 것을 얻을 수 있다.
∂μλ+e∂μΛ=0
이로부터 다음을 얻는다.
λ=−eΛ.
(ℏ=1
ψ→e−ieΛψ,
Aμ→Aμ+∂μΛ.
3.3 게이지 변환으로부터 전자기장을 얻기
상대성 이론에서 몇 가지 요구사항으로부터 맥스웰 방정식이 튀어 나왔음을 봤었다. 이번에는 다른 방법으로 맥스웰 방정식을 구해 보도록 하겠다. 다른 방법으로 뭐 하러 맥스웰 방정식을 구하나 싶겠지만 이것을 이해하는 것이 일반적인 게이지 변환과 게이지 불변성의 중요성을 이해하는 데 있어서 중요하다. 다음에 이어지는 내용은 Peskin의 An Introduction to Quantum Field Theory에서 참고하였다.
물론 먼저 맥스웰 방정식을 잊어 버린다. 그러면 우리는 Aμ
ψ→ψ′=e−iΛψ
사실 좌표계의 변환에서도 전역 대칭성과 국소 대칭성을 말할 수 있었다. 특수 상대성 이론에서 좌표 변환 행렬 ∂(x′)μ/∂xν
먼저 자유 입자에 대한 디랙 장의 액션을 살펴 보자. 다음과 같았다.
S=∫ˉψiγμ∂μψ−mˉψψd4x.
이 액션은 일단 로렌츠 불변성을 갖는다. 그리고 a
¯ψ′iγμ∂μψ′=ˉψeiΛiγμ∂μ(e−iΛψ)=ˉψeiΛiγμe−iΛ(∂μψ−i(∂μΛ)ψ)=ˉψiγμ∂μψ+ˉψγμ(∂μΛ)ψ.
게이지 불변성, 즉 국소 위상 변환에 대한 불변성이 있으려면 최종 결과가 원래 액션 ˉψiγμ∂μψ
그러고 보면 저 새로운 항은 미분 연산에 의한 것이었다. 즉 미분 연산자가 게이지 불변성에 방해를 끼치는 것이었다. 실제로 문제가 일어날 만 하다는 것을 도함수의 정의로부터 알 수 있다. 임의의 벡터 aμ
aμ∂μψ=limh→01h(ψ(x+ha)−ψ(x)).
그런데 일단 이 꼴부터가 게이지 불변성에 맞지 않는다는 것을 알 수 있다. 디랙 장의 게이지 변환은 각 점에서 각기 다른 위상 차이를 주는 것으로 정의된다는 것을 식으로부터 알 수 있다. 즉, 게이지 변환에 의한 위상 변화는 ψ(x+ha)
aμDμψ=limh→01h(ψ(x+ha)−U(x+ha,x)ψ(x)).
여기서 Dμ
aμDμψ→aμ(e−iΛDμψ).
따라서 액션의 ∂μ
S=∫ˉψiγμDμψ−mˉψψd4x.
과 같이 액션을 바꿔 쓰면 이 액션은 게이지 불변성을 만족한다!
이제 U(y,x)
U(x+ha,x)=1−iehaμAμ+h2(⋯).
여기서 e
aμDμψ=limh→01h(ψ(x+ha)−U(x+ha,x)ψ(x))
=limh→01h[ψ(x+ha)−(1−iehaμAμ+h2(⋯))ψ(x)]=aμ(∂μ+ieAμ)ψ.
따라서 Dμ=∂μ+ieAμ어디서 많이 봤다 한편, U(y,x)
e−iΛ(x+ha)U(x+ha,x)eiΛ(x)=(∞∑r=0hrdrdhr|0e−iΛ(x+ha))(1−iehaμAμ+h2(⋯))eiΛ(x)
=e−iΛ(x)(1−ihaμ∂μΛ(x)+h2(⋯))(1−iehaμAμ+h2(⋯))eiΛ(x)
=(1−iehaμ(Aμ+1e∂μΛ)+h2(⋯))
h
하지만 아직 단정하기는 이르다. 디랙 장이 어떤 벡터 장과 상호작용해야 한다는 것을 얻었지만 이 장의 정체는 아직 불분명하다. 특히 이 장의 동역학을 아직 모른다. 즉, 벡터장 Aμ
상대성 이론의 일반 상대성 이론 파트에서 봤듯이 이런 경우에는 다음이 도움을 준다.
[Dμ,Dν]ψ=(DμDν−DμDν)ψ.
위 식은 딱 봐도 게이저 변환을 하면 [Dμ,Dν]ψ→e−iΛ[Dμ,Dν]ψ
[Dμ,Dν]ψ=ie(∂μAν−∂νAμ)ψ.
따라서 게이지 변환에 대해 변하지 않는 텐서 Fμν=∂μAν−∂νAμ
S=∫ˉψ(iγμDμ−m)ψ−14FμνFμνd4x.
정확하게 QED의 액션이다. 결국 로렌츠 불변성과 게이지 불변성 만으로[10] 양자전기동역학이 얻어진 것이다!
다만 아직 완성이라고 말하기 어려운 게, 사실 위에 쓴 액션은 제일 간단한 액션이다. 무슨 말이냐면 사실 가능한 (로렌츠 불변이면서 게이지 불변인) 스칼라는 무수히 많다. 예를 들어 (ˉψψ)2
이렇게 해서 위상에 대한 전역 대칭성을 국소 대칭성으로 확장시키면 전자기장이 있어야 한다는 것을 이끌어냈다. 맨 위에서 중력과 비교한 내용과 일치하는 내용이다. 더 강력한 대칭성이 우리가 전에 알고 있던 물리학의 근본이 된다는 것은 한편으로는 우아하다고 볼 수 있다(...). 역시 물리학자들은 변태가 맞아[11] 물론 그냥 자연이 그런 거니까 생각하면 이런 작업이 무슨 필요인가 하는 생각도 들지 모른다. 하지만 그것에 그치면 이런 현상을 못 보게 되는 것이다. 최소한의 요구 만으로, 특히 다른 것도 아닌 대칭성을 요구한 것만으로 삼라만상의 근본 원리가 왜 그렇게 되어 있는가를 설명할 수 있는 것이다. 경제적이면서도 대칭성으로부터 나왔다는 것 때문에 우아하기까지 하다. 이런 것 때문에 물리학자들은 자연의 근본 원리가 대칭성이라고 굳게 믿고 있다. 괜히 물리학자들이 대칭성을 강조하는 것이 아닌 것이다. 그리고 다음 항목에서는 대칭성이 이미 알고 있던 법칙의 이유를 설명하는 데에 그치지 않고 우리가 모르고 있던 새로운 법칙[12]을 이끌어낸다는 것을 보게 될 것이다.
참고로 A2=AμAμ
3.4 일반적인 게이지 대칭성, non-Abelian 게이지 장
ψ→e−iΛψ
저걸 어떻게 바꾸나 싶겠지만 변환으로 곱해진 e−iΛ
미친(...) 생각 같아 보이지만[15] 사실 관측에서 이와 관련이 있을 것 같은 현상이 있었다. 바리온들의 대칭성이 그것이었는데, 여러 입자들이 어떤 순서쌍(multiplet)을 이루어 마치 벡터처럼 행동하고 이 벡터에 대한 대칭성이 존재하는 것으로 보였던 것이다. 그래서 디랙 장을 하나만 아니라 여러 개를 묶어서 한꺼번에 다루는 것을 물리학자들은 생각해 냈고 이런 상황에서 여러 개가 뒤섞이는 게이지 변환을 생각하는 것은 어찌 보면 당연했다. 좋은 논문감이다
아무튼 ψ→e−iΛψ행렬을 지수 함수에 넣었어. 뭐지 이게 ㄷㄷ
그런데 일반적으로 행렬 e−iΛ
예를 들어 위에서 다뤘던 n=1
그런데 리 군 대부분은 Abelian이 아니다. 오히려 Abelian인 경우는 매우 특수한 경우에 속한다. 실제로 게이지 장 중에서 Abelian인 경우는 전자기장이 유일하다.[21] 따라서 이제부터 다루게 될 게이지 장은 non-Abelian 게이지 장이 될 것이다. 한편, 여기서부터는 디랙 장이라는 표현 대신 페르미온 장이라는 표현으로 ψ
위에서 그랬듯 페르미온 장이 로렌츠 불변성과 게이지 불변성을 가지는 법칙을 만족하리라고 기대할 것이다. 그러면 위에서 그랬듯이 어떤 벡터 장이 튀어나올 것인데, 이번에도 우리는 그것이 뭔지 모른다고 할 것이다.아니 잠깐, 정말로 모르는 거잖아 모르긴 뭘 몰라
일단 자유 입자에 대한 페르미온 장의 액션부터 써 보자. 다음과 같을 것이다.
S=∫ˉψiγμ∂μψ−mˉψψd4x.
물론 위에서 썼던 것과 다를 이유는 없다(...). 다만 이번에는 예컨대 ˉψ
한편, 게이지 변환을 조금 다르게 쓸 필요가 있다. 이렇게.
ψ→e−iΛataψ.
여기서 ta비슷하긴 한데 축약과는 다르다 축약과는 ta
위에서 그랬듯이 자유 입자의 액션은 로렌츠 변환에 불변이나 도함수가 들어간 항 때문에 게이지 변환에 불변이지 않다. 이걸 해결하기 위해서 물론
aμDμψ=limh→1h(ψ(x+ha)−U(x+ha,x)ψ(x))
로 정의한 다음 ∂μ
U(x+ha,x)=1−ighaμAμ+h2(⋯).
여기서 g
U(x+ha,x)=1−ighaμtaAaμ+h2(⋯).
이 정의대로라면 공변 도함수는 이렇게 써질 것이다.
Dμ=∂μ+igtaAaμ.
그리고 액션의 도함수를 이걸로 교체할 것이다.
이제 이게 진짜로 게이지 불변성을 가지는지 살펴 보자. 그런데... 여기서부터 non-Abelian 성질 때문에 좀 복잡해진다. 게이지 불변성을 알기 위해서는 Aaμ
0=ddh|01=ddh|0(e−iΛ(x+ha)eiΛ(x+ha))=e−iΛ(x)ddh|0eiΛ(x+ha)+(ddh|0e−iΛ(x+ha))eiΛ(x)
=e−iΛ(x)aμ∂μeiΛ(x)+(ddh|0e−iΛ(x+ha))eiΛ(x)
이제 이걸 이용하면 다음을 얻는다.
e−iΛ(x+ha)U(x+ha,x)eiΛ(x)
=(e−itaΛa(x)+hddh|0e−itaΛa(x+ha)+h2(⋯))(1−ighaμtaAaμ+h2(⋯))eitaΛa(x)
=1−ighaμe−itaΛa(x)taAaμe−itaΛa(x)+h(ddh|0e−itaΛa(x+ha))eitaΛa(x)+h2(⋯)
=1−ighaμe−itaΛa(x)taAaμe−itaΛa(x)−he−itaΛa(x)aμ∂μeitaΛa(x)+h2(⋯)
=1−ighaμe−itaΛa(x)(taAaμ−ig∂μ)e−itaΛa(x)+h2(⋯).
따라서 Aaμ
taAaμ→e−itaΛa(taAaμ−ig∂μ)eitaΛa.
만약 ta
ˉψiγμ(∂μ+igtaAaμ)ψ
→ˉψeitaΛaiγμ(∂μ+ige−itaΛa(taAaμ−ig∂μ)eitaΛa)(e−itaΛaψ)
=ˉψeitaΛaiγμ(e−itaΛa∂μψ+(∂μe−itaΛa)ψ+ige−itaΛataAaμψ+e−itaΛa(∂μeitaΛa)e−itaΛaψ)
=ˉψeitaΛaiγμ(e−itaΛa∂μψ+(∂μe−itaΛa)ψ+ige−itaΛataAaμψ+e−itaΛa(−eitaΛa∂μe−itaΛa)ψ)
=ˉψeitaΛaiγμ(e−itaΛa∂μψ+e−itaΛaigtaAaμψ)
=ˉψiγμ(∂μ+igtaAaμ)ψ.
따라서 이렇게 교체되어 얻은 액션이 게이지 불변성을 가진다는 것을 알 수 있다.
마지막으로 벡터장 만의 액션 항을 만들어 보자. 그럴려면 전자기장의 Fμν
[Dμ,Dν]ψ=(DμDν−DνDμ)ψ=Dμ(∂ν+igtaAaν)ψ−Dν(∂μ+igtaAaμ)ψ
=(∂μ+igtaAaμ)(∂ν+igtbAbν)ψ−(∂ν+igtbAbν)(∂μ+igtaAaμ)ψ
=(∂μ∂νψ+∂μ(igtbAbνψ)+igtaAaμ∂νψ−g2tatbAaμAbνψ)
−(∂ν∂μψ+∂ν(igtaAaμψ)+igtbAbν∂μψ−g2tbtaAbνAaμψ)
=(∂μ∂νψ+igtb(∂μAbν)ψ+igtbAbν∂μψ+igtaAaμ∂νψ−g2tatbAaμAbνψ)
−(∂μ∂νψ+igta(∂νAaμ)ψ+igtaAaμ∂νψ+igtbAbν∂μψ−g2tbtaAaμAbνψ)
=ig(tb∂μAbν−ta∂νAaμ+ig(tatb−tbta)AaAb)ψ.
이제 tatb−tbta=[ta,tb]=ifabctc
[Dμ,Dν]ψ=ig(ta∂μAaν−ta∂νAaμ+ig(tbtc−tctb)AbAc)ψ
=ig(ta∂μAaν−ta∂νAaμ+ig(ifbcata)AbAc)ψ
=igta(∂μAaν−∂νAaμ−gfbcaAbAc)ψ
이로부터 다음 정의가 가능하다.
Faμν=∂μAaν−∂νAaμ−gfbcaAbAc.
위에서 보인 것에 따라 다음 게이지 변환이 성립한다.
taFaμν→e−itaΛataFaμνeitaΛa.
이 식은 Faμν
tr(taFaμνtbFbμν)→tr(e−itaΛataFaμνeitaΛae−itaΛatbFbμνeitaΛa)=tr(taFaμνtbFbμν).
이제 (Faμν)2=tr(taFaμνtbFbμν)
S=∫ˉψ(iγμDμ−m)ψ−14(Faμν)2d4x
이렇게 해서 일반적인 게이지 대칭을 만족하는 액션을 찾았다. 즉, 전자기장의 일반화를 찾은 것이다. 여기서 얻어진 새로운 벡터장 Aaμ
한편, 일반적으로 게이지 군으로 가능한 군은 유니타리 조건 때문에 극히 제한되는데, 그 결과로 가능한 게이지 군은 모두 어떤 (컴팩트(compact)한) 단순 리 군(simple Lie group)들과 U(1)
위에서 바리온들의 대칭성을 논했었다. 겔만 등의 물리학자들은 이 대칭이 컴팩트한 단순 리 군인 SU(3)
강력에 대한 설명을 더 해 보자. ta
여담으로, 페르미온 장에 대한 변분을 취하면 전자기장(U(1)
DμFaμν=jν.
그런데 이 식에서 Faμν이공계생들 비명 소리가 여기까지 들린다 그리고 이걸 풀 수 있는 일반적인 방법은 아직 존재하지 않는다. 심지어 어떤 특정한 조건에서 양-밀스 장방정식의 해를 구하는 문제가 다름 아닌 밀레니엄 문제들 중 하나이다! (참고: 양-밀스 질량 간극 가설)
3.5 자발적 대칭성 깨짐, 힉스 매커니즘, 전자기약력
이 대목은 게이지 장 혹은 게이지 대칭성이라는 주요 타이틀을 놓고 봤을 때 다른 항목에서나 다뤄질 법한 이야기이다. 하지만 자연에 드러나는 게이지 대칭성이 어떤 모습으로 나타나는가를 살펴보는 데 있어서 이 주제 또한 중요한 대목이기도 하다.
양-밀스 장으로 기술되는 액션에 AμAμ
그러던 중 만약 게이지 대칭성이 깨진다면 저런 질량항이 생길 수 있다는 아이디어가 제시되었다. 페르미온 장과 같은 게이지 변환을 갖는 어떤 스칼라 장이 존재해 다음과 같은 커플링 항이 있다고 하자.
|Dμϕ|2=|(∂μ+ieAμ)ϕ|2.
편의 상 전자기장의 경우만 살펴 보겠다. 그런데 만약 ϕ(x)→ϕ1(x)+ϕ0
e2|ϕ0|2AμAμ.
위에서 말했던 질량항이 생긴 것이다. 그런데 ϕ(x)→ϕ1(x)+ϕ0
저런 변환이 굳이 일어나리란 법은 없고 사실 그냥 수학적으로 일부러 저렇게 쓴 것과 별 차이가 없을 수도 있다. 하지만 스칼라 장의 퍼텐셜(나머지 항들)이 저런 변환을 강제하면 어떨까? 예를 들어 스칼라 장의 에너지가 최소인 지점이 장의 크기가 0인 지점[28]이 아니고 ϕ=ϕ0
아무튼 이런 식으로 양-밀스 장은 대칭성이 깨지는 대신 질량을 가지게 된다. 와인버그, 글래쇼, 살람은 기존의 게이지 장 이론에 힉스 매커니즘을 도입하여 약력을 설명하려고 했다. 이때 필요한 게이지 군은 SU(2)×U(1)
결국 이러한 전자기약력+힉스 매커니즘은 전자기력과 약력을 제대로 기술하는 이론이 되었고 여기에 따로 놀고 있는 강력까지 붙여서 총 게이지 군이 SU(3)×SU(2)×U(1)
4 한계
게이지 장 자체에는 거의 한계가 없다. 중력은 어차피 텐서장으로 기술되는 것이라서 게이지 장과 상관 없는 것이다. 양자중력이 아직 없는 이유는 중력을 올바르게 기술하기에 양자장론의 프레임이 부족한 것이지 게이지 장과는 별 관계가 없다. 매개 입자의 질량을 설명하지 못했던 한계도 힉스 매커니즘으로 해결이 되었다.
다만 그래도 한 가지 한계를 꼽자면 왜 게이지 군이 그것이어야 하는가일 것이다. 표준모형에 따르면 게이지 군은 SU(3)×SU(2)×U(1)
이를 해결하기 위해 물리학자들은 SU(3)×SU(2)×U(1)
물리학자들은 이제 가장 간단했던 SU(5)그냥 뻥튀기 시킨 거 아녀? 하지만 이 이론이 맞는지는 여전히 오리무중이며 실제로 검증을 위해서는 엄청나게 높은 에너지가 필요하다. 1015∼1017그래도 1019 그거나 그거나
- 이동 ↑ 사실 양자역학까지 필요하진 않다. 아래에 서술할 스피너 장(디랙 장)의 경우 고전적으로도 충분히 기술될 수 있기 때문이다. 실제로 아래에 이어질 서술들 중에서 고전 양자역학(슈뢰딩거 방정식에 의해 기술되는 양자역학)과 재규격화 가능성(renormalizability)을 제외하면 진짜 양자역학이라고 부를 만한 것이 필요하지 않다. 다만 스피너 장 같은 것은 고전 역학 같은 영역에서 나타나지 않고 양자역학(양자장론 등)에서만 다뤄지기에 양자역학이 필요하다고 할 만 하겠다.
- 이동 ↑ 자유 변수 qi에 대한 라그랑지안 L이 주어져 있을 때 해밀토니안은 H=∑ipi˙qi−L로 주어지는데 (˙qi=dqi/dt), 여기서 pi=∂L/∂˙qi로 canonical conjugate(momentum)이다. 한편 전하 −e를 띤 입자의 경우 qi=xi이고 라그랑지안은 (고전적인 극한에서) L=12mv2+eϕ−eA⋅v로 주어진다. 상대성 이론을 참고할 것.
- 이동 ↑ 이런 단위계를 자연 단위계(natural system)이라고 부른다.
- 이동 ↑ 적당한 단위 변환으로 충분히 가능한 일이다. 이렇게 하면 [길이 단위] = [시간 단위] = [질량 단위]^-1(=[에너지 단위]^-1 = [운동량 단위]^-1가 되는데, 질량 단위만 생각하는 게 편하다)가 된다. 나중에 다른 단위계(예를 들어 SI 단위계)에서 값을 구하고 싶으면 그 물리량이 뭔지에 맞춰 c와 ℏ를 살리면 그만이다. 예컨대 시간을 나타내는 물리량 T는 이 단위계에서 길이와 단위가 같은데, 나중에 T/c라고 붙여 시간 단위를 갖게 만들면 SI 단위계에서의 값을 계산할 수 있다.
- 이동 ↑ 상대성 이론에서 물리적으로 의미 있는 양은 스칼라, 벡터, 텐서 뿐이라고 했었다. 그런데 사실 더 있는데, 그것이 바로 스피너이다. 로렌츠 변환을 표현하는 다른 방법을 통해 보면 스칼라, 벡터, 텐서 뿐만 아니라 스피너도 있다는 사실을 알 수 있다. 사실 로렌츠 변환을 표현하는 방법들(representation)은 모두 분류가 되어 있으며 각각 반정수(0, 1/2, 1, 3/2, 2, ...)가 붙어 있는데, 0은 스칼라, 1은 벡터, 정수 n은 인덱스 수가 n개인 텐서에 해당하는 반면 나머지 정수가 아닌 반정수들에는 스피너들이 할당되어 있다. 그리고 이들 각각 물리량으로 표현되는 장들이 존재한다. 정수 번호가 붙은 물리량으로 표현되는 장들은 보존 장이라고 불리우며 정수가 아닌 반정수 번호가 붙은 물리량(스피너)으로 표현되는 장들은 페르미온 장들로 불리운다. 눈치챘겠지만, 이들 번호가 각 장을 양자화하여 얻은 입자들의 스핀에 해당한다. 그리고 상대론적 양자장론에 따르면 (스칼라, 벡터, )텐서로 표현되는 장은 보즈-아인슈타인 통계를 따르며 스피너로 표현되는 장은 페르미-디랙 통계를 따른다는 것도 보일 수 있다.
- 이동 ↑ 물론 다른 장들의 역할이 두드러질 정도로 높은 에너지 영역에서는 이야기가 달라진다. 거기서부턴 표준모형의 영역이다.
- 이동 ↑ 상수 차이는 사실 보통의 위상 변화에 해당하는 것이어서 무시할 수 있다.
- 이동 ↑ 일반 상대성 이론 혹은 미분기하학에서 봤던 그 공변 도함수와 유사하다. 이 사실은 게이지 장이 미분기하학에서 표현될 수 있도록 하는 단초를 마련한다.
- 이동 ↑ 물론 로렌츠 불변성은 기본이다.
- 이동 ↑ 그리고 적당한 디랙 장이 존재한다는 것도.
- 이동 ↑ 물리학자들이 쓴 책들을 보면 '아름답다', '우아하다'라고 말하는 대목들이 많은데, 사실 이런 것 때문이다.
- 이동 ↑ 그 법칙의 지배를 받는 상호작용(강한 상호작용, 약한 상호작용)이야 이미 관측이 되어 그 존재를 알았지만 정확한 매커니즘은 모르고 있었던 것이다. 즉, 전자기장을 설명하는 맥스웰 방정식 같은 게 그 전엔 없었던 것이다.
- 이동 ↑ 참고로 스칼라 장의 액션을 봐도 m2ϕ2가 질량에 해당하는 항임을 알 수 있다.
- 이동 ↑ 사실 스피너는 그 자체로 4개의 성분을 가진다고 볼 수 있다. 하지만 게이지 변환을 생각할 때에는 그러한 4개 성분을 그냥 한 성분으로 묶어서 취급한다. 즉, 앞으로 언급할 행렬들은 그 성분들이 전부 ψ같은 스피너이거나 혹은 여기에 곱해지는 디랙 감마 행렬 같은 것들이 된다.
행렬을 성분으로 갖는 행렬이라니 몰라 뭐야 그거 무서워 - 이동 ↑ 근데 수학자들의 눈에는 그런 게 그냥 보일 수도 있다. 워낙 이런 일들만 하고 살아온 인간들이다 보니.
행렬 연산으로 확장해 보겠습니다. 어때요, 참 쉽죠? - 이동 ↑ 사실 수학에서 말하는 정확한 '리 대수'와는 다르다. 실제로는 eΛ와 같은 식으로 생성할 때를 가리켜 부르는 것이다. 물론 불편하긴 해도 잘 변환하면 수학에서 전개된 리 군, 리 대수 이론을 물리학에서도 잘 써먹을 수 있긴 하지만. 이렇듯 수학에서 쓰이는 용어와 정의와 물리학에서 쓰이는 것은 차이가 조금씩 날 때가 많다.
- 이동 ↑ 로렌츠 변환들을 모은 집합 역시 리 군이 된다. 사실 이미 우리는 리 군을 열심히 써 왔던 것이다. 하지만 게이지 장 이론에서만큼 다양한 리 군이 동원된 적은 없었다.
- 이동 ↑ 여기에 복소수 곱셈을 준 것. 이렇게 연산까지 줘야 군이라고 말할 수 있는 것이다.
- 이동 ↑ '같다'는 것은 '둘 간에 어떤 동형사상(isomorphism)이 존재한다'는 뜻으로 읽어야 한다. 현대 수학의 기본적인 철학(?) 중 하나로, 이인석 교수의 선형대수와 군에서는 isomorphism에 '이름 바꾸기'라는 별명을 달아준다.
- 이동 ↑ 수학자 아벨(Abel)의 이름을 딴 이름이다. 대수학에서 워낙 많이 쓰이는 탓에 책에 따라서는 사람 이름인데도 그냥 abelian이라고 쓰이기도 한다.
- 이동 ↑ 그럴 수 밖에 없는 것이, 나중에 보겠지만 게이지 대칭에 쓰이는 리 군들 중에서 Abelian인 것은 U(1)혹은 U(1)여러 개의 direct product가 전부이다.
- 이동 ↑ 기저를 잘 주면 fabc의 인덱스들이 순환 대칭을 가지도록 할 수 있다. 즉, fabc=fbca가 성립할 수 있다는 것이다. 그리고 보통 양자장론 책에서는 이렇게 놓는 것이 편리함을 줄 때가 많아서 기본적으로 이걸 가정한다. 하지만 여기서는 이 가정을 채택하지 않겠다.
- 이동 ↑ 이건 없어도 되고, 이것만 있어도 된다. 이것만 있는 경우가 바로 전자기장.
- 이동 ↑ 사실 3×3말고도 다양한 크기의 행렬들로 저 군을 표현할 수 있다. SU(3)라서 3×3가 아닌 것이다. 게다가 가능한 방법들은 무한히 많다! 그 중에서 강력을 잘 설명해 주는 것이 따로 있을 뿐인 것이다. 참고로 임의의 단순 리 군을 표현하는 방법(representation)들 역시 모두 분류가 되어 있고, 이 역시 현대 수학의 큰 성과 중 하나이다.
- 이동 ↑ 표현 방법이 정해졌다고 기저가 유일하게 정해지는 것은 아니다. 그래도 기저를 무엇으로 택하는가는 사실 큰 문제가 안 된다. 그럼에도 강력을 다룰 땐 편의 상 보통 기저도 특정한 행렬들로 고정시킨다. 그렇게 고정이 되었을 때 2ta들을 겔만 행렬들(Gell-Mann matrices)이라고 부른다.
- 이동 ↑ 일반적으로 SU(N)의 경우 ta의 개수는 N2−1로 주어진다.
- 이동 ↑ 사실 페르미온 장도 질량을 가지기 어렵다. CP-대칭성 등에 의하여 페르미온 장의 질량항은 위에서 쓴 그 모양을 유지할 수가 없는데, 그렇게 되면 질량항은 게이지 불변이지 않게 된다. 따라서 페르미온들도 질량을 가질 수 없게 된다.
도대체 질량을 갖고 있는 게 뭔데?하지만 실제 페르미온들은 질량을 가지고 있다. 이 문제 역시 힉스 매커니즘을 통해 해결이 가능하다. 괜히 힉스 입자가 질량을 부여하는 입자(정확한 표현은 아니지만, 어쨌든)라는 별칭을 가지게 된 것이 아니다. - 이동 ↑ 이때를 가리켜 가짜 진공이라고 부른다.
- 이동 ↑ 이때를 가리켜 진짜 진공이라고 부른다.
- 이동 ↑ 가짜 진공 상태에 머물 수 있게 되면.
- 이동 ↑ 19가지나 되는 독립된 파라메터들과 중성미자의 질량을 설명하지 못한다는 것이 그 주 원인일 것이다.
- 이동 ↑ 그 거대한 물탱크(...)인 일본의 (슈퍼) 카미오칸데가 양성자 붕괴를 검출하기 위해 지어진 것이다.
- 이동 ↑ 그런데 이 정도 레벨의 에너지를 요구한다는 것이 재밌게도 GUT의 존재에 대한 한 증거로 받아들여지고 있다. 다름 아닌 우주론의 인플레이션(inflation) 이론 때문인데, 물리학자들은 어떤 스칼라 장의 상태가 바뀌면서 (대칭성이 깨지면서) 암흑 에너지에 해당하는 것이 엄청나게 생겨 났을 것이고 이로 인해 엄청난 팽창이 일어났을 것이라고 추측하고 있다. 이 현상의 한 가지 덤은 지금의 물질들이 이러한 대격변 와중에 생겨났다는 것이고. 그런데 이 현상의 원인이 되는 스칼라 장의 대칭성이 깨지는 경계는 에너지가 1015∼1017GeV에 달하는 영역이다. 이것은 전자기약력의 스칼라 장의 경계보다 훨씬 더 높은 에너지이다. 따라서 뭔가 또다른 스칼라 장이 있어 또다른 대칭성이 깨졌어야 하고, 그것이 다름 아닌 강력과 전자기약력이 통합된 게이지 장의 게이지 대칭성이지 않은가 하는 추측을 하는 것이다.
- 이동 ↑ 어차피 오랫동안 검증을 못 할테니까.
위키러들 죽기 전에 되려나 - 이동 ↑ 실제로 로렌츠 불변성과 게이지 불변성을 모두 만족하는 스칼라들이 무수히 많음에도 어떤 특정한 것들만 가능하다는 사실은 게이지 장 이론에서 얻어진 것이 아닌 양자장론의 프레임(재규격화 가능성)에서 얻어진 것이다.