양-밀스 질량 간극 가설

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밀레니엄 문제
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	P-NP 문제
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1 개요

Yang–Mills existence and mass gap

양-밀스 이론의 존재와 질량 간극

임의의 콤팩트하고 단순한 게이지 군(compact simple guage group) G에 대해서, R4 상의 자명하지 않은 양-밀스 이론이 존재하여, Δ > 0 인 질량 간극을 가짐을 증명하여라. 존재의 증명은 적어도 몇몇 논문에 인용한 것만큼 강한 공리적 체계를 구성하는 것을 포함한다.

• 4차원 시공간 ([math]R^4[/math] )에서 '양-밀스 이론'이 실제로 존재함을 증명해야 한다.
• 그 이론은 자명하지 않아야 한다.
• 이론 존재의 증명은 수학적 공리체계 하에 엄밀하게 설계되어야 한다.
• 그 이론 아래서, 질량 간극은 0보다 커야 한다.

1.1 양-밀스 이론

양-밀스 이론이란 중국의 물리학자 양전닝과 미국의 물리학자 로버트 밀스가 만든 양자장론 모델로 강력과 약력을 설명하는데 이용 될 수 있다. 이런 이유로 표준 모형의 일부로 포함된다.

양과 밀스의 논문은 1954년에 나온 것으로, 이는 맥스웰에 의해 성립한 전자기학을 일반화한 것으로 볼 수 있다. 빛이라는 게이지 보존이 전자기적인 상호작용을 매개하듯이, 다른 형태의 상호작용들도 이를 모방하여 이해할 수 있다는 이론적 틀이 만들어지게 되었다. 이 이론은 “국소적 게이지 대칭성으로부터 입자들 사이의 상호작용이 생겨난다”는 슬로건으로 요약된다. 수학적으로는 19세기 초에 근의 공식에 대한 연구로부터 그 체계가 성립한 군론이라 불리는 대칭의 이론과 비유클리드 기하학의 연장선상에서 발전해 온 미분기하학의 주요 개념들이 양-밀스 이론의 전개에 사용된다.

양자 역학에서 언급되는 입자들이 빛의 속도에 가깝게 움직이면, 결국 상대성 이론이 적용되어야 하는데, 이것을 '상대론적 양자 역학'이라고 한다. 그것을 아우르는 이론이 '양자장론'이다.

1.2 질량 간극

Mass Gap
위 이론에서 예측하는 가장 가벼운 입자가 존재할때, 질량 간극이란 그 입자의 질량을 의미한다. 그리고, 그 질량 간극이 0 보다 크다는 것을 보여야 한다. 다시 말해, 이는 질량이 0 인 입자는 존재하지 않는다는 것을 증명하라는 의미이다.

1.3 설명

이 이론을 만든 양전닝, 로버트 밀스 둘다 '이론물리학자'이며, 이 문제는 명백하게 물리학(양자장론)으로부터 시작되는 문제이다. 그런데, 이것에 대한 수학적 토대를 만들라는 것이 때문에, 이 문제는 분명히 수학 문제이다.

쉽게 말해서, 아이작 뉴턴이 자신의 물리학을 설명하기 위해서 미적분이란 걸 만들었는데 이 문제에서도 비슷한 걸 하라는 의미이다.(...)

이 문제에 대한 물리학적인 설명은 게이지 장에 설명되어 있다. 단지 외계어로 써 있을 뿐

2 풀렸는가?

2013년 4월 17일에는 건국대 조용민 교수가 양-밀스 질량 간극 가설 문제를 해결했다는 기사가 나왔다. 그러나, 물리학계에서는 이 문제의 일부분에 도움이 되는 성과가 있었던 것은 사실이나, 아직 문제 전체를 해결하는 수준에 이르지는 못한 것으로 보고 있다.

수학계에서는 이 문제는 해당 분야에 관한 새로운 수학 체계를 쌓아 올릴 것을 요구하기 때문에, 조용민 교수의 연구가 도움이 될 수는 있지만, 수학적으로 엄밀한 해결에 이르기에는 아직 갈 길이 멀다고 보고 있다. 더 정확히 말하면, "수학적으로 엄밀한 해결에 이르는 길"에는 단 한 발짝도 들여놓지 못했다.

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3 약간 관련 있는 내용

불완전성 정리가 적용된 물리학 문제가 발견되었다. 2015년 12월 네이쳐에 기고된 논문에 의하면, 특정 물질의 전자들이 가지는 가장 낮은 에너지 값들 사이의 간격을 계산하는 것이 불가능하다는 사실을 밝혔다. 이 발견을 주도한 런던 대학의 양자물리학자 토비 큐빗은 양-밀스 질량-간극 가설 역시 이와 유사한 방법으로 풀 수 있을지 모른다고 말했다. 네이쳐 기사 번역 및 설명

4 기타

만약 어디에선가 mass gap을 거대한 차이라고 번역했다면, 그것은 찌라시 내지 기레기 확정이다.

일단 mass는 공대개그에 바로 등장하는 단어인데, 이 문제에서 다루는 mass는 액면 그대로의 질량을 의미한다. 그 형용사형인 massive 는 "거대한"이라는 의미를 갖는다. 그런데, mass는 "대량" 과 "군중(대중)"이라는 의미도 있는 명사이므로, mass media(대중매체), mass production(대량생산) 등의 명사구에 자주 등장하며, 이 때문에 mass가 형용사라고 착각하는 사람들이 있고 그 중에는 아예 mass와 massive를 혼동하는 사람들도 있다. 즉 mass가 거대하다는 의미를 가진 형용사인 줄 아는 것이다. 자신이 잘 아는 단어라고 생각하는 단어도 한번씩은 사전을 찾아보는 습관이 이래서 중요한 것이다.

그리고, gap 을 '차이'라고 번역해도 아주 큰 오역은 아니긴 해도, gap 이란 단어는 틈, 공백, 격차, 간격 등의 여러 의미를 가지는 단어이다. 과학에서 어떤 현상이 연속적이 아니라 이산적이어서, 측정값 사이에 일정한 차이값이 발생한다고 할때, 그 차이 값을 보통 gap 이라고 표현한다. 이에 대한 한국어 번역에는 정답은 없는데 일반적으로 '간극' 내지 '틈'을 사용한다. 예를 들어 에너지 물리학에서 나오는 표현인 band gap 은 그냥 '밴드 갭'이라는 표현을 보통 썼는데, 대한민국의 고등학교 교육과정에서는 '띠틈'이라는 번역을 채택했다.