- 상위 항목: 논리학 관련 정보
1 개요
복수의 대상이 서로 관련하여 이루는 특성. 현대 한국어에서는 "a, b, c가 관계를 맺는다" 같은 표현이 주로 쓰인다. 예를 들어 '1+1은 2와 같다', '5는 3보다 크다', '철수가 영희에게 사과를 준다' 등이 관계를 나타내는 대표적인 예시다.
세계에는 매우 다양한 관계들이 있는 것 같다. 나무위키에서 다루는 대표적인 관계들은 대국관계일람, 가족관계 같은 항목들에서 확인할 수 있다.
위 예시들에서 나타나듯 자연 언어에서 관계는 동사(품사), 형용사처럼 술어 역할을 하는 어휘에 의해 표현된다. 따라서 수리 논리학에서 관계는 논항이 여럿인 술어, 즉 다항 술어(polyadic predicate)로 나타낸다. 1항 술어가 나타내는 것이 속성이라고 여겨지므로, 형이상학에서는 다항 술어가 나타내는 것인 관계가 속성과 매우 유사한 것 혹은 속성의 일종이라고 분석하는 경우가 일반적이다. 후자인 경우 관계는 1항 속성(monadic property)에 대비하여 "다항 속성", 혹은 "관계적 속성(relational property)"라고 부르고는 한다.
고틀로프 프레게가 관계를 함수로 분석한 이래로 관계는 대개 집합론을 통해 분석된다. 하단 참조. 다만 엄밀히 따지자면 수리 논리학적 관점에서 하단 정의는 관계의 외연(extension)에 대한 정의로 이해된다. 예를 들어 표준적 집합론의 언어에서 2항 술어인 "∈"이 표현하는 관계, 즉 원소-집합 관계는 기초적인 것으로 전제되어야만 하기 때문이다.
2 집합론에서의 정의
어떤 집합 [math]G[/math]가 집합 [math]X_1, X_2,..., X_n [/math]의 곱집합(Cartesian Product) [math] \prod \limits_{i=1}^{n}X_i = X_1 \times X_2 \times... \times X_n = \left\{\left(x_1,x_2,... x_n\right)|x_1\in X_1, x_2\in X_2, ..., x_n\in X_n\right\} [/math]의 부분집합이라고 하자. 즉 [math]G \subset \prod \limits_{i=1}^{n}X_i[/math]이라고 하자. 이때 "[math]X_1, X_2,..., X_n [/math] 위의 관계 [math]R[/math]"은 순서 (n+1)-중체 [math] \left(X_1, X_2,..., X_n, G\right)[/math]로 정의하며, [math]G[/math]은 "관계 [math]R[/math]의 그래프"라고 부른다.
하지만 경우에 따라서는 "[math]X_1, X_2,..., X_n [/math] 위의 관계 [math]R[/math]"은 그냥 [math]R=G[/math]라고 정의되기도 한다. 이 경우 [math]n[/math]항 술어 [math]R[/math]는 단순히 집합 [math]X_1, X_2,..., X_n [/math] 각각의 임의의 원소들로 이루어진 순서 n-중체의 집합으로 정의된다.
위 두 정의 가운데 어떤 것을 취하든, 집합 [math]X_1, X_2,..., X_n [/math] 각각의 어떤 원소 [math]x_1, x_2,..., x_n [/math]에 관해 [math]\left(x_1, x_2,..., x_n\right)\in G[/math]이 성립하는 것을 두고 "[math]Rx_1 x_2... x_n[/math]"라고 정의한다. 이는 일상어에서 ""[math]x_1, x_2,..., x_n[/math]이 관계 [math]R[/math]을 맺는다"라고 말하는 것에 대응한다.
3 2항 관계
2항 관계(Binary Relation)란 위 정의를 따르되 다만 [math]n=2[/math]인 경우에 해당한다. 즉 집합 [math]X, Y[/math]와 사이의 2항 관계 [math]R[/math]는 곱집합 [math]X\times Y=\left\{\left(x, y\right)|x\in X, y\in Y\right\}[/math]의 부분집합 [math]G[/math]에 대해 순서 3중체 [math]\left(X, Y, G\right)[/math]로 정의되거나, 혹은 [math]G[/math]로 정의된다. 후자의 경우 [math]R[/math]은 집합 [math]X, Y[/math] 각각의 원소로 이루어진 순서 2중체, 즉 순서쌍들의 집합으로 정의되는 것이다.
그리고 2항 관계에 한하여 [math]X, Y[/math] 각각의 어떤 원소 [math]x, y[/math]가 [math]\left(x, y\right)\in G[/math]를 만족하는 것을 관례상 "[math]Rxy[/math]" 뿐 아니라 "[math]xRy[/math]"라고 쓰기도 한다.
2항 관계 [math]R[/math]의 정의역(domain), 치역(range), 역(field)은 다음과 같이 정의된다.
- 정의역: ([math]G[/math]의 원소들의 왼쪽 성분의 집합)=[math]\left\{x\in X| \exists y\in Y : xRy\right\}=\text{dom} \,R[/math]
- 치역: ([math]G[/math]의 원소들의 오른쪽 성분의 집합)=[math]\left\{y\in Y| \exists x\in X : xRy\right\}=\text{ran} \,R[/math]
- 역: (정의역과 치역의 합집합)=[math]\text{dom} \,R \cup \text{ran} \,R=\text{fld} \, R[/math]
2항 관계 [math]R[/math]의 역관계 [math]R^{-1}[/math]는 [math]G[/math]의 모든 원소들을 좌우 순서를 바꾼 집합 [math]G'=\left\{\left(y, x\right)| \left(x, y\right)\in G\right\}[/math]에 대하여 순서 3중체 [math]\left(Y, X, G'\right)[/math], 혹은 [math]G'[/math]를 말한다.
[math]X[/math]와 [math]Y[/math] 사이의 2항 관계 [math]R[/math]이 있고, [math]Y[/math]와 [math]Z[/math] 사이의 2항 관계 [math]S[/math]가 있다고 할 때, 합성 이항 관계 [math]S\circ R[/math]는 [math]H=\left\{\left(x, z\right)|\exists y \in Y : xRy \,\ \text{and} \,\ ySz\right\}[/math]에 대하여 순서모음 [math]\left(X, Z, H\right)[/math], 혹은 [math]H'[/math]로 정의된다.
[math]X=Y[/math]인 경우, 즉 출발 집합과 도착 집합이 모두 [math]X[/math]로 같은 이항 관계를 [math]X[/math] 위의 이항 관계라 한다.
3.1 2항 관계의 대표적인 특성들
집합 [math]X[/math] 위의 2항 관계 [math]R[/math]이 띨 수 있는 대표적인 성질들은 다음과 같다:
- 반사성(or 재귀성; reflexivity): [math]\forall x \in X: xRx[/math]
- 대칭성(symmetricity): [math]\forall x,y \in X: xRy \to yRx[/math]
- 비대칭성(asymmetricity): [math]\forall x,y \in X: xRy \to \neg yRx[/math]
- 반대칭성(antisymmetricity): [math]\forall x,y \in X: (xRy \wedge yRx) \to (x=y)[/math]
- 전이성(or 추이성, 이행성; transitivity): [math]\forall x,y,z \in X: (xRy \wedge yRz) \to (xRz)[/math]
- 동치관계: [math]R[/math]이 반사성, 대칭성, 전이성을 모두 만족시키는 경우.