ZFC 공리계

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1 개요

공리계 중 하나로, 어떤 것이 집합이며 집합이 어떻게 구성되는지를 공리로써 설명하는 공리적 집합론이다. 20세기 초에 러셀의 역설 이후 기존에 있던 집합론이 완전히 무너지고, '모든 것의 집합' 등은 있을 수 없다는 것이 밝혀졌다. 따라서 어떤 것이 집합이고 어떤 것이 집합이 아닌 지를 구분해야할 필요가 생겼고, 이러한 배경 속에서 탄생한 것이 체르멜로(Zermelo) 공리계이다. 후에 프렝켈(Fraenkel)이 정칙성공리와 치환공리꼴을 추가한 것이 ZF 공리계이고, 이에 선택공리(Axiom of Choice)를 추가한 것이 ZFC 공리계이다. 이 ZFC 공리계에서는 모든 오브젝트가 집합이며, 공리들을 만족하는 것들만이 집합이 될 수 있다. 즉, 아무렇게나 정의한다고 다 집합이 되는 것이 아니다. 예를 들어 '모든 서수의 집합'같은 것도 너무 크기 때문에 존재할 수 없다. 이 공리들로부터 자연수부터 실수 등 수 체계가 적절하게 정의되는 것을 비롯하여 수학의 거의 모든 이론이 구성될 수 있기 때문에 현대 수학의 표준적인 공리계로 사용된다.

2 공리

다음 10개의 공리로 이루어져 있으나, 몇몇 공리가 다른 공리들로부터 유도되기 때문에 몇 개를 빼기도 한다. 일반적으로 존재 공리를 뺀 9개라고 하는 편.
엄격하게는, 아래의 치환 공리꼴 때문에 무한히 많은 문장으로 이루어진 공리계가 된다.

2.1 존재 공리(Axiom of Existence) 또는 공집합 공리(Axiom of Empty set)

공집합이 존재한다.

[math] \exists X \forall a \left(a\notin X\right) [/math]

간단히, 공집합이 존재한다는 명제이다. 아래의 명제들은 대부분 현재 있는 집합들에서 새로운 집합들을 만들어내는 명제이기 때문에, 이 공리가 없으면 집합을 만들 수가 없다. 즉, 집합이 '적어도 하나는' 존재함을 보장하는 것. 단, 이 공리는 무한 공리에 포함되는 명제로 보고 빼기도 한다. 무한 공리 또한 특정 조건을 만족하는 집합이 적어도 하나 존재한다는 것을 보장하는데, 이 집합에서 공집합을 만들 수 있기 때문.

2.2 외연 공리(Axiom of Extensionality)

두 집합에 대하여 한 집합의 원소가 다른 집합의 원소가 되고 그 역도 성립할 때, 두 집합을 같다고 정의한다.

[math] \forall X \forall Y \left(\forall a \left( a \in X \Leftrightarrow a \in Y\right) \Leftrightarrow X=Y\right) [/math]

두 집합의 모든 원소가 같다면 두 집합은 같다는 것이다. 이로부터, 공집합과 아래에 나오는 많은 집합(합집합, 멱집합 등등...)의 유일성을 보이고, 거기에 이름을 붙일 수 있다.
Extension은 확장이 아니라 외연(반대개념은 내포)을 뜻한다. 즉 집합은 그 집합이 가지는 성질(내포)에 의해서가 아니라 집합의 원소(외연)에 의해서 구별된다는 것이다.

2.3 정칙성 공리(Axiom of Regularity) 또는 기초 공리(Axiom of Foundation)

공집합이 아닌 모든 집합은 자신과 서로소인 원소를 가진다.

[math] \forall X \left(\exists a\left(a \in X\right) \Rightarrow \left(\exists b \left(b \in X \,\ \& \,\ \lnot \exists c \left(c \in b \,\ \& \,\ c \in X\right)\right)\right)\right) [/math]

집합이 원소를 하나라도 가진다면 자신과 서로소인(교집합이 공집합인) 원소를 가진다는 공리이다. 처음 볼 때는 이 공리가 왜 필요한지, 무슨 의미인지 파악하기 어려울 수 있지만, 많은 유용한 결과들을 함의한다. 이 공리에 따라 자기 자신을 포함하는 집합이나 재귀적인 집합(즉, [math]A=\left\{A\right\}[/math], 또는 [math]A=\left\{B\right\}[/math], [math]B=\left\{A\right\}[/math] 따위)은 존재할 수가 없다.
또한 모든 집합은 공집합의 멱집합 , 공집합의 멱집합의 멱집합, 공집합의 멱집합의 멱집합의 멱집합...과 같은 식으로 만들어진 집합(이러한 집합들을 모두 모아놓은 것을 폰 노이만 우주라고 한다)들 중 하나에 속한다는 것을 보일 수 있다. 쉽게 말하면 아무 집합이나 가져다 놔도 그것의 원소, 원소의 원소...이런 식으로 양파 껍질 까듯이(...) 쭉 내려가면 공집합이 나온다는 것. 역으로 모든 집합들은 다시 공집합에 양파 껍질을 씌우듯이(...) 만들 수 있으며, 따라서 모든 집합들의 모임이 폰 노이만 우주와 같다는 것을 보일 수 있다. 실제로 자연수, 실수, 함수 등등 집합론에서 나오는 모든 오브젝트들이 다 이러한 꼴이다. 이 공리에 따르면 초등학교 교과서에 나오는 {의자, 책상} 같은 건 사실 집합이 아니다

2.4 분류 공리꼴(Axiom schema of Specification 또는 Axiom schema of Seperation)

임의의 집합에 대해, 그 집합에 포함되며 특정 성질을 만족하는 원소들의 집합이 존재한다.

[math] P\left(a\right)[/math]가 [math] a[/math] 의 성질이라 할 때, [math] \forall X \exists Y \forall a \left(a\in Y \Leftrightarrow \left(a\in X \& P\left(a\right)\right)\right) [/math]

집합이 주어져있으면, 거기서 특정 성질을 만족하는 원소들만 모아놓은 집합이 존재한다는 것. 쉽게 말하자면 [math] Z=\left\{\cdots,-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,\cdots\right\} [/math]에서 [math] \left\{ x\in Z | x\gt0 \right\} = \left\{1, 2, 3, 4, \cdots \right\} [/math]를 만들듯이 부분집합을 만들 수 있다는 것이다. 외연 공리에 따라 이러한 부분집합은 유일하게 존재한다. 또한 이 공리로부터 교집합도 만들 수 있다. ([math] A\cap B = \left\{x\in A | x\in B \right\} [/math])
여기서 특정 성질을 만족하는 원소들을 모아놓은 집합이 그냥 존재하는 것이 아니라, 굳이 이미 존재하는 집합의 부분집합으로 한정하는 이유는 러셀의 역설 때문이다. [math] A= \left\{x | x \notin x \right\} [/math]와 같이 정의해버리면 러셀의 역설과 같은 일이 발생하기 때문이다. 자세한 것은 해당 항목 참조.

공리(Axiom)가 아니라 공리꼴(Axiom schema)인 이유는 서로 다른 성질 [math] P\left(x\right) [/math]마다 공리가 다르다고 할 수 있기 때문이다. ZFC는 1차 술어논리학 위에서 기술되는데, 1차 논리는 2차 논리와 달리 성질 [math] P [/math] 에 양화사를 적용할 수 없다.

2.5 짝 공리(Axiom of Pairing)

임의의 두 집합에 대해, 그 두 집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다.

[math] \forall a \forall b \exists X \left(a\in X \,\ \& \,\ b\in X\right) [/math]

집합 [math] A, B [/math] 가 있으면 그 둘을 원소로 가지는 집합 [math] \left\{A, B\right\} [/math] 등이 존재한다는 공리이다. 이 때 집합이 꼭 [math] \left\{A, B\right\}[/math] 가 아니라 [math] \left\{A, B, C, D,\cdots\right\}[/math]같은 것일 수도 있지만, 위의 분류 공리꼴로 [math] \left\{A, B\right\}[/math]도 집합임을 보일 수 있으니 상관 없다.

2.6 합집합 공리(Axiom of Union)

임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들의 원소들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.

[math] \forall X \exists U \forall a\left(\exists b\left(b\in X \,\ \& \,\ a\in b\right) \Rightarrow a\in U\right)[/math]

합집합에 관한 공리이지만, 흔히 생각하는 합집합([math] A\cup B[/math] 같은)과는 다르다. 여기서 말하는 [math] A [/math]의 합집합으로서의 [math] U [/math]는, [math] A [/math]의 원소들의 원소들을 다 모아놓은 집합이다. 즉, [math] A = \left\{A_1, A_2, A_3,\cdots\right\} [/math]라 하면, [math] U = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots[/math] 가 되는 셈. 이렇게 만들어진 집합 [math] U [/math]를 [math] \bigcup A [/math] 라 쓴다.
이 합집합 공리와 짝 공리를 통해 우리가 알고 있는 합집합([math] A\cup B[/math])이 집합임을 알 수 있다.

2.7 멱집합 공리(Axiom of Power set)

임의의 집합에 대해, 그 집합의 부분집합들을 원소로 가지는 집합이 존재한다.

[math] \forall X \exists P \forall Y\left(\forall a\left(a\in Y \Rightarrow a\in X\right) \Rightarrow Y\in P\right) [/math]

임의의 집합 [math] X [/math]에 대해, [math] X [/math]의 부분집합들을 다 모아놓은 집합인 [math] P [/math] 가 존재한다는 공리이다. 예컨대 [math] X = \left\{0, 2\right\} [/math]라면 [math] P = \left\{\emptyset, \left\{0\right\}, \left\{2\right\}, \left\{0, 2\right\}\right\} [/math]가 된다.

2.8 무한 공리(Axiom of Infinity)

공리에 앞서 정의가 하나 필요하다.

임의의 집합 [math] x [/math] 에 대해, [math] S\left(x\right) [/math] 를 [math] x \cup \left\{x\right\} [/math] 라고 정의한다.

즉, [math] S\left(\left\{1, 2\right\}\right) = \left\{1, 2\right\} \cup \left\{\left\{1, 2\right\}\right\} = \left\{1, 2, \left\{1, 2\right\}\right\}, S\left(\emptyset\right) = \left\{ \emptyset \right\}, S\left(\left\{ \emptyset \right\} \right) = \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \cdots[/math]와 같다.

공집합을 원소로 가지고, [math]x[/math]를 원소로 가진다면 [math]S\left(x\right)[/math]도 항상 원소로 가지는 집합이 존재한다.

[math]\exists I \left(\phi \in I \& \left(\forall x\left(x\in I \Rightarrow S\left(x\right)\in I\right)\right)\right) [/math]

공집합과, 공집합의 successor, 공집합의 successor의 successor, ....과 같이 만들어지는 모든 집합을 원소로 가지는 집합이 존재한다는 공리이다. 따라서 이러한 집합은 무한 개의 원소를 갖게 된다. 지금까지의 공리로는 아무리 만들어봤자 유한 개의 원소를 가지는 집합밖에 만들 수 없었으니, 자연수나 실수 같은 체계를 만들려면 이 공리가 필요한 셈.
그런데 자연수항목의 '자연수 구성하기' 단락을 보면 알겠지만 공집합을 0으로 정의하고, [math]0[/math]의 successor를 [math]1[/math], [math]1[/math]의 successor를 [math]2[/math], [math]2[/math]의 successor를 [math]3[/math]....과 같이 정의한다. 즉, 이 집합은 결국 [math]0[/math], [math]1[/math], [math]2[/math], [math]3[/math]....을 원소로 가지는 것이므로, 이 공리는 결국 자연수 집합의 존재성을 보장하는 셈이 된다. 실제로 자연수의 집합 [math] N [/math]은, 이러한 성질을 만족하는 집합들 중 가장 크기가 작은 집합으로 정의된다. 수학적 귀납법의 타당성도 이러한 자연수 집합의 정의로부터 바로 유도된다.

2.9 치환 공리꼴(Axiom schema of Replacement)

임의의 [math] x [/math]에 대해, 성질 [math] P\left(x, y\right) [/math]를 만족시키는 [math] y[/math]가 유일하게 존재하면,

임의의 집합에 대해, 그 집합의 [math] P\left(x, y\right) [/math]에 의한 상을 포함하는 집합이 존재한다.
[math]\forall x \exists !y P\left(x, y\right) \Rightarrow \forall X \exists Y\left(x\in X \Rightarrow \exists y\left(y\in Y \,\ \& \,\ P\left(x,y\right)\right)\right) [/math]

이 공리의 전건부는 [math] P\left(x, y\right) [/math]가 각 [math] x[/math]에 대해 [math] y[/math]를 정확히 하나씩 대응시켜준다는 것을 뜻한다. 후건부는 [math] X [/math]의 원소들에 대응되는 원소들의 집합 [math]Y[/math]가 존재한다는 것이다. 이 때 [math] X[/math]와 [math] Y[/math] 사이에는 일대일 대응이 존재하게 되므로 크기가 같게 된다.
즉, 쉽게 말하자면 임의의 집합에 대해, 그 집합과 '같은 크기'의 모임은 집합이 될 수 있다는 것이다. 러셀의 역설 등에서 모순을 발생시키는 집합은 모두 크기가 너무 커서 문제를 일으키는 것이었으므로, 이 공리는 어떤 집합이 집합이 될 수 있을 정도로 크기가 '충분히 작다'면, 그 집합과 크기가 같은 모임도 집합이 될 수 있을 정도로 '충분히 작다'는 것을 말해준다.
이 공리를 이용하여, 모든 '정렬가능 집합'에 대해 그 집합과 크기가 같은 서수가 유일하게 존재한다는 것을 증명할 수 있다.

2.10 선택 공리(Axiom of Choice)

공집합을 포함하지 않는 임의의 집합에 대해, 그 집합의 원소들로부터 원소를 하나씩 고를 수 있다.

[math] \forall S \,\ \left[\left(\emptyset \notin S\right) \Rightarrow \left(\exists f \in \left(\bigcup S\right)^S \, \forall A \in S \, \left(f\left(A\right) \in A\right)\right)\right][/math]

자세한 것은 해당 항목 참조.

선택 공리는 Zorn's Lemma, 정렬 가능성 정리와 동치이다. 정렬 가능성 정리는 '모든 집합은 정렬 가능하다'라는 내용이므로, 위의 치환 공리꼴의 결과와 함께 '모든 집합에 대해 그 집합과 크기가 같은 서수가 유일하게 존재한다'를 증명할 수 있다. 즉, 집합의 크기를 정의할 수 있다. 초한기수 항목 참조.