그레이엄 수

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Graham's number

1 개요

수의 하나. 램지 이론이라는 조합론의 문제중 하나에서 구해지는 수이다.

간단히 말하자면 다음 조건을 만족하는 수.

n차원 초입방체[1]의 2n개의 꼭지점을 모두 연결한다. 그리고 이 선들을 2가지 색을 사용해 칠한다. 이 때 n이 충분히 크다면 칠하는 방법에 상관없이 동일 평면상에 있는 네 점을 연결한 선이 모두 같은 색인 것이 반드시 존재한다. 그래서 뭐라구요?

여기서 나온 n 값이 바로 그레이엄 수.

2 처음 알려진 그레이엄 수(大그레이엄수)

1977년, 이 수를 수학자 로널드 L. 그레이엄이 그 문제의 답이라는 것을 증명했고 기존에 스큐스 수가 가지고 있던 "수학적인 증명에서 나타나는 가장 큰 수" 타이틀을 뺏어왔다. 게다가 지금 스큐스 수는 계속 줄어들고 있다.

비록 그레이엄이 이 수가 문제의 답임을 구하긴 했지만 그 답이 천문학적이라는 수식어가 왜소할 정도로 큰 수인 관계로 수학자들은 이보다 더 작은 답이 없나 찾고 있었다.

2.1 계산법

[math]3 \uparrow 3[/math] 은 [math]3^3 (= 27)[/math]을 의미한다. ↑ 하나는 일반적인 '거듭제곱'의 계산을 의미한다. 즉 [math]a \uparrow b = a^b[/math]이다.

[math]3 \uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow (3 \uparrow 3)[/math]으로 정의되는 데, 이미 이 단계에서 [math] 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987[/math]. 즉 7조를 넘는다. 이를 테트레이션이라고 하는데, 일반적인 표현은 [math] a \uparrow\uparrow b = a \uparrow a \uparrow a \uparrow ... \uparrow a = a^{a^{a...^a}} [/math](a가 b개)이다.

[math]3 \uparrow\uparrow\uparrow 3[/math] 은 [math]3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987 = 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow 3 \uparrow ... \uparrow 3[/math]인데, 7,625,597,484,987개를 거듭제곱으로 쌓아 올린 것이다. 이는 펜테이션이라고 부른다.

[math]3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3[/math]은 [math]3 \uparrow\uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow\uparrow 3)[/math]인데, 위와 같은 식의 계산을 그만큼 반복한다는 뜻이다. 아래 동영상에선 stupidly big, 즉 무식하게 큰 수라 정의하고 있다.

아래 동영상을 보면 [math]3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3 = g_1[/math]이라 정의한다.

이제, [math]g_1[/math]개의 화살표를 가진 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math]을 만들자. 좀 커 보이는가? 즉, 이 말은 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math]에서 ↑의 갯수가 [math]g_1[/math]개, 다시 말해 [math]3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3[/math]개라는 것이다. 그리고 이 수는 [math]g_2[/math]라 말한다. 영상에선 이 수를 '초 황당하게 큰 수' 라 말하고 있다. 명심하자. [math]3 \uparrow\uparrow 3[/math]만 해도 [math]3 \uparrow (3 \uparrow 3) = 3^{3^3} = 3^{27}[/math], 7조 6천억라는 것을. 아 머리가 블랙홀에 빨려들어가기 시작했어요. g(1)만 계산하려고 했는데 끔살

그러나 이것은 시작에 불과하다. [math]g_2[/math]만큼의 화살표를 갖는 수 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math]을 만들고, 다시 그 숫자만큼의 화살표를 갖는 수 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math]을 만들고... 이 과정을 총 64번 반복(!!!)해야 그레이엄 수가 만들어진다. 상상조차 불가능할 정도의 큰 수라는 건 이럴 때 쓰인다. 즉, 그레이엄 수는 [math]g_{64}[/math]다. [math]g_{64}[/math]는 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math] 안에 화살표 갯수가 [math]g_{63}[/math]개, [math]g_{63}[/math]은 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math] 안에 화살표 갯수가 [math]g_{62}[/math]개, [math]g_{62}[/math]는 [math]3 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3[/math] 안에 화살표 갯수가 [math]g_{61}[/math]개...
파일:7bc945d9799259ad7f8f50c3d3be6655.png
...?
스크롤에 렉이 걸린 것 같다.
자꾸 표기를 생략하는 게 못마땅했던 일본어 백과사전에 따른 정식 표기는 위와 같다.

다행히 콘웨이 화살표 표기법을 이용하면 [math]3 \rightarrow 3 \rightarrow 64 \rightarrow 2[/math]보다 크고 [math]3 \rightarrow 3 \rightarrow 65 \rightarrow 2[/math]보다 작은 수라고 표기할 수 있으며, [math]f(x) = 3 \rightarrow 3 \rightarrow x[/math]라고 두면 f(f(...(총 64번)...f(4)...)) = [math]f^{64}(4)[/math]와 같이 안간단히뭐? 나타낼 수 있다고 한다.

흔히 쓰는 방식으로 개별 숫자를 하나하나 나열하여 그레이엄 수를 나타내려고 했을 때, 숫자 하나가 플랑크 부피(4.22419×10−105 m3)만큼의 공간을 차지한다고 하더라도 관측 가능한 우주에 그레이엄 수의 숫자를 다 담아낼 수 없다. 참고로 수소 원자의 부피가 6.54×10−32 m3 정도 된다. 참고로, 관측 가능한 우주의 부피는 대략 3.4×1080 m3 정도로 추정된다. 지수형식으로 표현하는것이 사실상 불가능하다(...)

참고로 마지막 500자리 숫자는 다음과 같다. 참고 [2]

02425950695064738395657479136519351798334535362521
43003540126026771622672160419810652263169355188780
38814483140652526168785095552646051071172000997092
91249544378887496062882911725063001303622934916080
25459461494578871427832350829242102091825896753560
43086993801689249889268099510169055919951195027887
17830837018340236474548882222161573228010132974509
27344594504343300901096928025352751833289884461508
94042482650181938515625357963996189939679054966380
03222348723967018485186439059104575627262464195387

이보시오 박사양반! 이게 무슨 소리요?
시청해 보자고 했지 이해 된다고 하지는 않았다.

3 새로 알려진 그레이엄 수(小그레이엄수)

많은 수학자들이 이 수의 더 작은 하한을 찾기 위해서 노력하였는데, 어느 수학자에 의해서 이 문제의 답이 [math]2 \uparrow\uparrow\uparrow 6[/math]보다 작다는 논문이 발표되었다. arxiv의 논문 보기 단 arxiv 의 특성상 이 논문에 오류가 없다는 것이 확인된 것은 아니다. 더 많은 수학자에 의해서 검증 받게 된 후에나 인정될 것이다.

[math]2 \uparrow\uparrow\uparrow 6[/math]도 매우 큰 수긴 하나 기존의 그 끝을 알 수 없었던 원래의 수보다 굉장히 작은 수다.은하의 크기에서 태양계 크기까지 줄어들었다.

참고로 저 논문의 내용을 간단히 요약하면 그레이엄 수 [math]Graham(2) \leq TTT(4,2,6) + 1[/math]인것을 증명하였고, 거기에 추가로 [math]TTT(4,2,6) \lt HJ(4,2,6)[/math]으로 바운드되며, [math]HJ(4,2,6) \lt 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8) \lt 2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 9) \lt 2 \uparrow\uparrow\uparrow 6[/math]이라는 것을 계산한 것이다.

3.1 계산법

[math]2 \uparrow\uparrow\uparrow 6[/math] 을 계산하기에는 엄두가 안나니, [math]2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8)[/math] 보다 약간(?) 더 작은 [math]2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 8)[/math]을 계산해 보자.

일단 [math]2 \uparrow\uparrow 8[/math]은 2^2^2^2^2^2^2^2로 정의되는 수이다.

[math]2 \uparrow\uparrow 4[/math] = 2^2^2^2 = 65536
[math]2 \uparrow\uparrow 5[/math] = 2^2^2^2^2 = 265536 ≒ [math]2 \times 10^{19728}[/math]
[math]2 \uparrow\uparrow 6[/math] = 2^2^2^2^2^2 = [math]2^{2^{65536}}[/math] [3]
[math]2 \uparrow\uparrow 7[/math] = 2^2^2^2^2^2^2
[math]2 \uparrow\uparrow 8[/math] = 2^2^2^2^2^2^2^2 ≒ [math]10^{10^{10^{10^{19727.78040560677}}}}[/math] 울프럼알파의 계산결과

[math]2 \uparrow\uparrow 8[/math]만으로도 어찌 표현하기 힘든데, 2를 [math]2 \uparrow\uparrow 8[/math]만큼 쌓아서 만든 수만큼을 다시 2로 쌓으면 [math]2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (2 \uparrow\uparrow 8)[/math]이 된다. [math]2 \uparrow\uparrow 2 \uparrow\uparrow (3 + 2 \uparrow\uparrow 8)[/math]은 이보다 약간(?) 더 크다. 이 수도 결코 작은 수가 아닌데, 원래의 그레이엄 수에 비하면 상상조차 못할 정도의 수는 아니다.

4 참고

  1. ↑ 링크는 4차원으로 되어있지만 사실 그 이상의 차원도 포함한다. 한국어 위키백과에 초입방체에 대한 설명이 있으니 참고하는 것도 좋다.
  2. ↑ [math]3 \uparrow\uparrow\uparrow\uparrow 3[/math]도 이미 답이 없는 상황에 그레이엄 수를 다 계산했을 리는 없다. 저 숫자들은 일부만 계산했을 때 나타나는 법칙을 토대로 구해낸 것.
  3. ↑ 여기서부터는 울프럼알파조차도 어찌 표현을 못한다.