테트레이션

• 수학 관련 정보

1 수학에서의 tetration

연산 중 하나. 거듭제곱을 거듭하여 만들어지는 연산이다. 덧셈을 1차 연산, 덧셈의 거듭으로 만들어진 곱셈을 2차 연산, 곱셈의 거듭으로 만들어진 거듭제곱을 3차 연산이라고 하면, 거듭제곱을 거듭하여 얻어지는 테트레이션은 4차 연산이라고 할 수 있다. tetration의 tetr(a)-는 4를 의미하는 접두사이다.
일반적으로 부호는 ↑(크누스의 윗화살표 표기법)을 사용하여 $$a \uparrow \uparrow b$$ 로 쓰거나, b를 a의 왼쪽 위에 작게 앞지수로 붙여 표현( $$^b a$$ 의 꼴)하기도 한다. 이외에도 여러 표기법이 있긴 한데 수학자들 각자의 독자연구에 가까운지라 통일된 표기법은 없는 상태다.
$$a^a = a \uparrow \uparrow 2, a^{a^a} = a \uparrow \uparrow 3, ... , a^{a^{.^{.^{a^a}}}}$$ (a가 n개) $$= a \uparrow \uparrow n$$ 으로 정의한다.
이를 일반화하면 n차 연산을 정의하는 것도 가능하다. 크누스의 윗화살표 표기법을 이용하면 5차 연산(pentation)은 $$a \uparrow \uparrow \uparrow 2 = a \uparrow \uparrow a, a \uparrow \uparrow \uparrow 3 = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow a), ... , a \uparrow \uparrow \uparrow n = a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow (a \uparrow \uparrow ... (a \uparrow \uparrow a) ... ))$$ (a가 n개)로 정의할 수 있다. 그리고 화살표를 줄여서 $$a \uparrow \uparrow \uparrow n$$ 을 $$a \uparrow ^3 n$$ 으로 줄여쓸 수 있다. 같은 원리로 6차 연산(hexation) $$\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow(\uparrow ^4)$$ 도 정의 가능하고, n차 연산(hyperoperation) $$\uparrow \uparrow ... \uparrow$$ (↑가 n-2개) $$(\uparrow ^{n-2})$$ 도 정의 가능하다.
자연상수 한정으로 $$e$$ ↑↑ $$n$$ = $$\exp^{n-1} e$$ 꼴로 바꿀 수 있다. 여기서 $$n-1$$ 은 동일 함수를 합성한 횟수.
이외에도 다음과 같은 성질이 있다.

• n ≤ 0일 경우 ⁿa = log_a(⁽ⁿ⁺¹⁾a) 가 성립한다.
• 임의의 복소수 a에 대해서 ⁰a = 1 이다.
• 임의의 복소수 a에 대해서 ^-1a = 0 이다.
• 임의의 복소수 a에 대해서 ^-2a 의 값은 정의되지 않는다(불능).

일상 생활에서는 거의 쓰일 일이 없는 연산이지만(일반적인 교육과정에서는 아예 언급도 않는다), 그레이엄 수나 모우저처럼 거듭제곱으로는 나타낼 수 없는 끔찍하게 큰 수를 나타낼 때 유용하게 쓰이는 연산이라 수학자들이 계속 연구하고 있다.
거듭제곱에 대응되는 제곱근과 로그가 있는 것처럼 테트레이션에도 대응되는 초제곱근(super-root)과 초로그(Super-logarithm, slog)가 존재한다.
x↑↑n = a 가 성립할 때, x는 a의 n초제곱근이며, n√as로 표기한다.
n↑↑x = a 가 성립할 때, x는 n을 밑으로 하는 a의 초로그이며, slogna로 표기한다.

더 자세한 건 영문 위키백과의 Tetration 항목 참고.

2 카사네 테토의 오리지널 곡

テトレーション↑↑. 1에서 모티브를 따왔기 때문에 뒤에 화살표 2개를 붙이고 있다.