스큐스 수

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Skewes' number

1 개요

남아프리카 공화국의 수학자 스탠리 스큐스가 제안한 수. [math]\pi(x) \gt li(x)[/math]를 만족하는 가장 작은 자연수를 의미한다.

[math]\pi(x)[/math]는 소수 계량 함수로 해당하는 1부터 x까지 존재하는 소수들의 총 개수를 의미하며(π(1)=0, π(2)=1, π(3)=2, π(4)=2, π(5)=3...), [math]li(x)[/math]는 로그 적분 함수로 [math]\displaystyle \int_0^x \displaystyle \frac{1}{\ln t} dt[/math]이다.

[math]li(x)[/math]가 많이 복잡해 보이지만, 어쨌거나 이 함수들은 일상적인 수 범위 내에서는 [math]\pi(x) \lt li(x)[/math], 즉 로그 적분 함수가 소수 계량 함수보다 더 큰 것처럼 보인다. 참고 그렇지만 1914년, 스큐스의 스승인 존 에든스너 리틀우드는 [math]x[/math]가 엄청나게 커지면 [math]\pi(x)[/math]와 [math]li(x)[/math]의 대소 관계가 역전될 수 있으며, 심지어 [math]x[/math]를 무한히 증가시키면 그에 따라 [math]\pi(x)[/math]와 [math]li(x)[/math]의 대소 관계도 무한히 역전을 거듭한다는 걸 증명했다.

1933년, 스큐스는 리만 가설이 참일 때 [math]\pi(x) \gt li(x)[/math]를 만족시키는 최초의 [math]x[/math]의 상한선은 e[math] ^{e^{e^{79}}}[/math], 대략 [math]10^{10^{10^{34}}}[/math] 정도라고 예측했다. 10×10×10×...을 1000...0번(0이 10³⁴개, 즉 100구 개) 반복해야 얻어지는, 미치도록 큰 수다. 구골플렉스도 [math]10^{10^{10^2}}[/math]인데... 거기에 1955년에는 리만 가설이 거짓일 경우 상한선은 [math]10^{10^{10^{963}}}[/math]까지 올라간다고 예측했다. [math]10^{10^{10^{100}}}[/math]을 가볍게 능가하는 수준.

이후 스큐스 수는 급격히 줄어들었다. 컴퓨터의 발달로 리만 가설의 핵심인 리만 제타 함수의 해에 대해 더 자세히 연구될 수 있었기 때문. 2010년에는 e^727.95 정도까지 떨어졌다. 대략 317자리 정도 되는 수다.

이러한 결과가 수학학(메타수학)적으로 상징적 의미를 가지는 것은 증명의 필요성과 강력함을 다시 일깨워 줬기 때문. 다른 분야와 다르게 수학은 특별하게 공리를 제외하곤 거의 모든 것을 연역법으로 뽑아내야 하는데, 어찌보면 우직하고 아둔해 보이는 방법이지만 위의 추측을 증명하는 데 흔히 쓰이는 귀납법을 사용하다간 무조건적으로 틀릴 수 밖에 없는 거대한 수가 결과로 나왔기 때문. (소수 계량 함수는 18세기 후반 가우스 시절까지 거슬러 올라가는데, 100여년이 넘는 시간동안 많은 수학자들이 막연히 [math]\pi(x) \lt li(x)[/math]라는 가정이 옳다고 믿어 왔다는 것을 생각해 볼 필요가 있다. 그럴 것이 스큐스 수 자체가 어처구니 없이 큰 수이고, 일반적으로 당시까지 다루는 수한도내에서는 언제나 [math]\pi(x) \lt li(x)[/math]였기 때문)

원래는 '수학 논문에 등장하는 가장 큰 수' 타이틀을 가지고 있었지만 스큐스 수 자체가 계속 줄어들었고, 1977년 그레이엄 수라는 넘사벽이 등장하면서 타이틀을 뺏겼다. 지못미

2 참고 항목

• 그레이엄 수
• 큰 수