Division Algorithm
1 개요
처음 나눗셈을 배울 때 몫과 나머지가 당연히 존재한다고 생각하고 나눗셈을 한다. 하지만 소인수분해의 존재성과 마찬가지로 몫과 나머지의 존재성은 당연한 결과가 아니며 수학적인 증명이 필요하다. 나눗셈 정리는 우리가 나눗셈을 통해 몫과 나머지를 자연스럽게 구하게 할 수 있게 만들어 주는 정리이다. 자세한 정리는 아래와 같다.
임의의 양의 정수 [math]a,b[/math]에 대하여, [math]b=aq+r,\,\left(0\leq r\lta\right)[/math]를 만족시키는 정수 [math]q,r[/math]이 유일하게 존재한다.
2 증명
크게 존재성과 유일성, 두 파트로 나뉜다.
2.1 존재성
집합 [math]A=\left\{b-na|n\in Z,\, b-an\geq0\right\}[/math]을 생각하자. 그럼 집합 [math]A[/math]는 공집합이 아니고,[1] [math]A\subset N\cup\left\{0\right\}[/math]이므로 well-ordering 원리에 의해 집합 [math]A[/math]에는 가장 작은 원소가 존재한다. 그 원소를 [math]r[/math]이라 하면 적당한 정수 [math]q[/math]에 대해 [math]r=b-aq[/math]로 표시된다. 즉, [math]b=aq+r[/math]이고 [math]r\geq0[/math]이다. 만약 [math]r\geq a[/math]라 가정하면 [math]b-\left(q+1\right)a=b-aq-a=r-a\geq0[/math]이므로 [math]r-a\in A[/math]이다. 그런데 [math]a\gt0[/math]이므로 [math]r-a\ltr[/math]이고, 이는 곧 [math]r[/math]이 집합 [math]A[/math]의 가장 작은 원소라는 사실에 모순된다. 따라서 [math]r\lta[/math]이다.
2.2 유일성
정수 [math]p,s[/math]가 [math]b=ap+s,\,\left(0\leq s\lta\right)[/math]을 만족시킨다고 하자. 그러면 [math]ap+s=aq+r[/math]로 부터 [math]\left(p-q\right)a=r-s[/math]이다. 여기서 만약 [math]p\neq q[/math]이라고 하면,[2] [math]\left|a\right|\leq\left|p-q\right|\cdot\left|a\right|[/math][3][math]=\left|\left(p-q\right)a\right|=\left|r-s\right|\lt\left|a\right|[/math]가 되어 모순이다. 따라서 [math]p=q[/math]이어야 하고, 이는 곧 [math]r=s[/math]를 의미한다. 즉, 몫과 나머지가 유일하게 존재한다.
3 활용
이 당연해 보이는 성질을 어떻게 활용하냐면, 정수론에서의 유클리드 호제법이나 다항식에서의 나머지 정리 등, 여러 가지로 활용된다. 유클리드 호제법은 이 나눗셈 정리가 없다면 애초에 성립조차 할 수 없으며, 이 나머지 정리의 다항식 버전이 고등학교에서 배우는 나머지 정리가 되기 때문. 또한, 최대공약수의 성질의 증명에서도 활용된다. 즉, 나눗셈 정리는 정수론의 기초 중에 기초라고 할 수 있다.