나머지 정리

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Polynomial Remainder Theorem

1 개요

고등학교 수학에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 [math]b[/math]를 [math]a[/math]로 나누었을 때 ([math]b\geq a[/math]), [math]b=aq+r[/math]([math]0\leq r\lta[/math])를 만족하는 정수 [math]q,r[/math]이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.

정식 [math]B\left(x\right)[/math]를 정식 [math]A\left(x\right)[/math]로 나누었을 때 ([math]\deg B\left(x\right)\geq\deg A\left(x\right)[/math]), [math]B\left(x\right)=A\left(x\right)Q\left(x\right)+R\left(x\right),\,\left(0\leq\deg R\left(x\right)\lt\deg A\left(x\right)\right)[/math]를 만족시키는 정식 [math]Q\left(x\right),R\left(x\right)[/math]가 유일하게 존재한다. 이 때, [math]Q\left(x\right)[/math]를 몫, [math]R\left(x\right)[/math]를 나머지라고 한다.

나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.

2 나머지 정리

[math]x[/math]에 대한 다항식 [math]f\left(x\right)[/math]를 일차식 [math]x-a[/math]로 나누었을 때의 나머지는 [math]f\left(a\right)[/math]이다.

증명

다항식의 나눗셈 정리에 의하여, [math]f\left(x\right)=\left(x-a\right)Q\left(x\right)+R[/math]를 만족시키는 다항식 [math]Q\left(x\right)[/math] 와 상수 [math]R[/math]가 유일하게 존재한다. [math]x=a[/math]를 대입하면, [math]f\left(a\right)=R[/math]. 즉, [math]f\left(x\right)[/math]를 [math]x-a[/math]로 나눈 나머지는 [math]f\left(a\right)[/math]이다.

위 정리는 일반적인 일차식 [math]ax+b[/math]에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.

[math]x[/math]에 대한 다항식 [math]f\left(x\right)[/math]를 일차식 [math]ax+b[/math]로 나누었을 때의 나머지는 [math]f\left(-\frac{b}{a}\right)[/math]이다.

증명은 동일하므로 생략한다.

3 활용

나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 [math]a[/math]를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식 [math]f\left(x\right)[/math]는 [math]x-a[/math]를 인수로 가진다. 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 더 자세한 내용은 항목 참조.

4 관련 항목

• 나눗셈 정리
• 인수분해