Polynomial Remainder Theorem
1 개요
고등학교 수학에서 항등식의 개념 뒤에 나오는 내용. 한국의 수학 교육과정에서는 다루지 않고 당연하게 받아들이는 나눗셈 정리가 기본 바탕으로 깔려있는 정리이다. 나눗셈 정리를 간단하게 설명하자면, 자연수 b를 a로 나누었을 때 (b≥a), b=aq+r(0≤r\lta)를 만족하는 정수 q,r이 유일하게 존재한다는 내용. 이 나눗셈 정리는 다항식에 대해 확장 할 수 있으며, 다항식 버전의 정리는 아래와 같다.
정식 B(x)를 정식 A(x)로 나누었을 때 (degB(x)≥degA(x)), B(x)=A(x)Q(x)+R(x),(0≤degR(x)<degA(x))를 만족시키는 정식 Q(x),R(x)가 유일하게 존재한다. 이 때, Q(x)를 몫, R(x)를 나머지라고 한다.
나머지 정리는 위 나눗셈 정리의 특별한 경우에 대한 따름정리이다.
2 나머지 정리
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 x−a로 나누었을 때의 나머지는 f(a)이다.
증명
다항식의 나눗셈 정리에 의하여, f(x)=(x−a)Q(x)+R를 만족시키는 다항식 Q(x) 와 상수 R가 유일하게 존재한다.[1] x=a를 대입하면, f(a)=R. 즉, f(x)를 x−a로 나눈 나머지는 f(a)이다.
위 정리는 일반적인 일차식 ax+b에 대해 일반화가 가능하며, 그 내용은 아래와 같다.
x에 대한 다항식 f(x)를 일차식 ax+b로 나누었을 때의 나머지는 f(−ba)이다.
증명은 동일하므로 생략한다.
3 활용
나머지 정리는 고차식의 인수분해를 하는데 쓸 수 있다. 만약 어떤 수 a를 대입했는데 값이 0이라면, 원 다항식 f(x)는 x−a를 인수로 가진다. 이 과정을 빠르게 할 수 있는 것이 바로 조립제법이며, 조립제법에 더 자세한 내용은 항목 참조.
4 관련 항목
- 이동 ↑ R이 상수인 이유는 나누는 다항식의 차수가 1이기 때문이다.