낙타 나누기

• 상위 항목 : 수학, 널리 알려진 퀴즈

1 개요

여러 마리의 낙타를 놓고 세 사람이 일정한 비율로 나눠 갖는 문제로 그 전문은 아래와 같다.

2 문제

아버지가 세상을 떠나기 전 세 아들에게 유언을 남겼다.

내가 17마리의 낙타를 물려 줄 터이니 맏이는 절반을 갖고 둘째는 1/3을 갖고 막내는 1/9을 갖거라.

(단, 산 채로 나누어 주어야 하며, 낙타고기로 나누거나 팔아서 돈으로 나누는 것은 허용하지 않는다.)

삼형제는 심히 난감한 상황에 처했는데 17은 2로 나누어 떨어지지 않고 3이나 9로 나누어 떨어지지도 않는 수이기 때문에 유언에 따라 낙타를 나눈다는 것이 불가능했다.

그렇게 며칠 밤낮을 고민하던 차에 지혜 있는 사람이 그들을 찾아와 해법을 알려 준 덕분에 삼형제는 아버지의 유언대로 낙타를 잘 나눠 가질 수 있게 되었다.

3 해답

먼저 다른 사람에게 낙타를 한 마리 빌려 오면 낙타는 18마리가 되어 딱 떨어지게 나눌 수 있게 된다.

그 다음 유언대로 나누면 삼형제에게 돌아오는 낙타는 각각 9,6,2마리이며(9→3→1) 남은 1마리는 낙타를 빌려 준 사람에게 돌려준다.
이는 1/2 + 1/3 + 1/9 = 9/18 + 6/18 + 2/18 = 17/18 , 즉 합이 1이 되지 않음을 이용한 문제이다.

사실 이 문제를 푸는 방법으로는 몇 가지 더 있다.

• (첫째가 가져야 할 낙타의 수) : (둘째가 가져야 할 낙타의 수) : (셋째가 가져야 할 낙타의 수) = 1/2 : 1/3 : 1/9 = 9 : 6 : 2 (18을 곱함) 이므로 9마리, 6마리, 2마리를 가지면 된다는 것
• 무한급수를 이용하는 것

사실 정말 엄밀하게 따지면 정확한 답은 아닌 게 근본적으로 이 수치들은 정확한 값이 아니라서 자식들은 아버지의 유언을 제대로 따르지 못했지만 이렇게 되면 낙타를 잡아서 물리적으로 나누는 것밖에 방법이 없을테고(...) 그래도 지혜롭다면 낙타를 판 돈으로 분배를 할 수도 있겠지만 아버지가 트롤링을 한 게 아닌 이상 문제를 낸 의도도 그게 아닐 것이 뻔하다.

아버지가 일부러 이런 유언을 낸 진짜 이유는 일부러 낙타를 나눌 수 없게 하여 형제들끼리 함께 낙타를 키우며 싸우지 말고 살아가게 하기 위함일지도 모른다는 추측이 있다. 만약 이게 사실이라면 해법대로 낙타를 나누는 모습을 보고 돌아가신 아버지는 무슨 생각을 할지... 반면 아들들의 지혜를 시험하기 위해 이런 문제를 내놨더니 그냥 17마리를 함께 키운다는 것도 좀 난감한 상황이긴 하다. 아니면 그냥 아버지가 바보일지도 모른다.

아니면 낙타 한 마리가 새끼를 낳을 때까지 기다린 다음 18마리 중 17마리를 갈라주고 남은 1마리는 알아서 처분한다면 답이 성립한다.

4 유사 문제

위 문제에서 부자지간이 사제지간으로, 또는 낙타가 소나 다른 물건들로 치환되기도 하며 해법을 알려준 사람은 지나가던 나그네이거나 그들의 새로운 스승 등 다양한 사람으로 정의된다. 수학도둑 1권에서 사비트라마 장군이 도도에게 내는 문제이다.

바리에이션으로 11마리의 낙타를 1/2, 1/3, 1/12로 나누거나, 19마리의 낙타를 1/2, 1/4, 1/5로, 23마리의 낙타를 1/2, 1/3, 1/8로 나누는 버전도 존재하며 해답은 위와 같은 방식으로 하면 된다. 단, 첫 번째의 경우 막내는 낙타 한마리만 가지는 꽤나 안습한 상황이 발생한다(...).

1/2 + 1/3 + 1/12 = 6/12 + 4/12 + 1/12 = 11/12

1/2 + 1/4 + 1/5 = 10/20 + 5/20 + 4/20 = 19/20
1/2 + 1/3 + 1/8 = 12/24 + 8/24 + 3/24 = 23/24

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