1 개요
해석학을 배울 때 반드시 배우게 되는 부등식. 야곱 베르누이 (Jacob Bernoulli)가 1689년에 처음 발표하였다. 이 부등식은 [math]\left(1+x\right)^r[/math]를 일차함수로 근사할 때 사용하며, 수학의 정석에도 나와있을 정도로 유명하다. 자세한 정리는 아래와 같다.
[math]\left(1+x\right)^r\geq1+rx[/math], 단 [math]x\geq-1[/math]인 실수, [math]r\geq0[/math]인 정수.
만약 조건을 조금 더 강화시켜 등호를 없앤다면 다음과 같다.
[math]\left(1+x\right)^r\gt1+rx[/math], 단 [math]x\geq-1,\,x\neq0[/math]인 실수, [math]r\geq2[/math]인 정수.
증명은 수학적 귀납법을 사용하는 것이 일반적이다.
2 증명
- 수학적 귀납법
- 1) [math]r=0[/math]일 때, [math]\left(1+x\right)^0\geq1+0\cdot x \Leftrightarrow 1\geq1[/math]이므로 성립.
- 2) [math]r=k[/math]일 때 성립한다 가정하자. 그럼, [math]\left(1+x\right)^k\geq1+kx[/math]. 한편, [math]\left(1+x\right)^{k+1}=\left(1+x\right)^k\cdot\left(1+x\right)\geq\left(1+kx\right)\left(1+x\right)=1+kx+x+kx^2=1+\left(k+1\right)x+kx^2\geq1+\left(k+1\right)x[/math]이므로 [math]r=k+1[/math]일 때도 성립.
1), 2)에 의하여 [math]r\geq0[/math]인 모든 정수 [math]r[/math]에 대해 부등식이 성립한다.
3 확장
위 부등식으로는 [math]\left(1+x\right)^r[/math]를 근사하는게 가능하나, 원래 식보다 작은값으로 밖에 추정을 못한다. 원래 식보다 큰값으로 추정을 하기 위해선 자연상수를 활용한다. 곧,
[math]\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}[/math]
이다. 증명은 [math]\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\lte[/math]임을 이용하여 간단하게 증명이 가능하다. 이제 이 부등식과 원래 부등식을 합치면,
| [math]1+rx\leq\left(1+x\right)^r\leq e^{rx}[/math] |
가 되고, 이는 [math]\left(1+x\right)^r[/math]의 근사값을 아주 간단하게 추정할 수 있게 만들어 준다.
그런데 만약 [math]r[/math]이 정수가 아니라 실수라면? 이 때도 같은 부등식이 성립하나 [math]r[/math]의 범위에 따라 부등호의 방향이 달라진다.
[math]x\geq-1[/math]일 때, [math]\begin{cases} \left(1+x\right)^r\geq1+rx\quad & \text{ if }r\geq1,\,r\leq0 \\ \left(1+x\right)^r\leq1+rx\quad & \text{ if }0\leq r\leq1\end{cases}[/math]
증명은 미분을 이용하여 간단하게 할 수 있으니 직접 해보자.
4 관련 항목
- ↑ 이건 r이 정수일 때나 통하지 정수 아니면 일반적으로 이항전개는 안 먹히므로 위의 방법이 조금은 더 실용적이다.