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1 證明
proof
증명이란 수학자가 앞에 두고 스스로를 고문하는 우상이다. - 아서 에딩턴
간단히 말해, 어떤 것이 참인지를 보여주는 것. 수학의 기호의 정의(定義)등은 약속이기 때문에, 증명할 수도 없고, 그것을 증명한다는 것 자체가 어폐가 있으므로 주의.
특정한 공리들을 가정하고, 그 가정 하에서 어떤 명제가 참이라는 것을 보여주는 것을 가리킨다.(특정한 공리는 별다른 언급이 없으면 체르멜로-프랭켈-선택공리계로 가정한다.) 참고로, 현대수학에서는 증명이란 것 자체도 수학적으로 정의가 되어있고, 그렇기때문에 수나 도형처럼 수학적 대상으로 만들어 연구가 가능하다.
과학에서는 어지간해선 증명이란 말을 쓰지 않는다. 과학적 방법론에서 가설이 맞는지 확인하는 작업은 보통 "입증" 이라고 한다. 만약 입증이 된다면 이론으로 레벨 업한다.
일상에서도, 어떤 사람의 발언을 잘못 믿고 의아(疑訝)해 할때, 그 사람을 설득시키기 위해서나, 자신의 주장을 강하게 보여주기 위해서 쓰기도 한다. 너무 많이 쓰면 사람을 못 믿어하는 것 같은 인상을 보일 수 있으니 조심하자.
1.1 증명 기법
- 직접 증명법
- 귀류법 : 배리법 혹은 간접 증명법이라고도 불린다.
- 수학적 귀납법
- 예제를 통한 증명 : 간단히 '한 수를 두번 곱하거나 두번 더해도 같은 결과가 나오는 어떤 수가 있다'라는 명제가 있는데 찾아보니 그 수가 2
또는 0더라라고 해서 명제가 참이라고 증명(...)[1] 듣기엔 그래도 실제로 꽤 요긴하게 쓰는 방법이다. 이런 종류의 명제는, '어떤'이라는 말이 들어가서 예시를 하나만 찾으면 되기 때문이다. 물론 명제가 거짓임을 보일때도 이용된다. 전설이 된 'M(67)가 합성수임을 증명하는 것'도 이 수가 두 소수로 나눠 떨어짐을 칠판에 적기만 했을 뿐이었다. - 매거적 귀납법 [2]: 증명을 여러 경우의 수로 나누어 경우별로 증명하는 방법.
1.2 컴퓨터를 이용한 증명
- 4색정리 - 컴퓨터를 이용한 증명이 인정받은 최초의 경우이다.
- 골드바흐의 약한 추측 - 수학자 엘드고프가 10^30 보다 큰 수에서 골드바흐의 약한 추측이 성립함을 증명하고, 10^30 보다 작은 수는 모두 컴퓨터를 돌려서 성립함을 확인하였다. 이로써 '골드바흐의 약한 추측'이 참임을 증명하였다.