Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

상대론적 도플러 효과


1 개요

Relativistic Doppler effect.
파원이나 관측자가 광속에 가까운 속도로 움직이는 상황에서 나타나는 도플러 효과. 주로 우주를 배경으로 빛의 도플러 효과를 다루므로 본 문서에서도 빛을 중심으로 서술한다. 빛은 매질이 없으며, 역학적 파동과는 달리 광원/관측자의 운동을 결정하는 뚜렷한 좌표계가 없다.[1]

2 정량적인 접근

우선 고전역학에서는 파원, 관측자 모두 시간이 똑같이 흐른다. 이 전제 하에서 도플러 효과에서 이끌어낸 관계식은 아래와 같다.
f=(cv2cv1)f
여기서 f, f은 원래 진동수와 관측된 진동수, v1, v2는 각각 광원과 관측자가 움직이는 속도다. 오른쪽으로 움직일 때 (+), 왼쪽으로 움직일 때 (-) 부호로 잡는다.(빛은 오른쪽으로 진행한다고 가정)

상대론적인 상황에서는 시간 지연 효과를 고려하여 시간이 다르게 흐름을 유의해야 한다. N, N은 각각 좌표계 기준으로 Δt만큼 흘렀을 때 각각 파원이 내는 파장 수와 관측자가 받는 파장 수다.
N=(1β21β1)N,β=vc(*)

2.1 평행 도플러 효과

도플러 효과 문서와 같이 1차원 상에서 다루는 상황이다.
γ1Δt1=γ2Δt2=Δt,γ=(1β2)12
여기서 Δt1,Δt2는 좌표계 기준으로 Δt만큼 흐를 때 광원과 관측자의 고유 시간이다. 이 시간동안 파원이 내는 파장 수는 N=fΔt1=γ1fΔt. 관측자가 받는 파장 수는 N=fΔt2=γ1fΔt. 따라서 (*) 표시된 식에 대입하면 다음 결과가 나온다.
f=(1+β1)(1β2)(1β1)(1+β2)f=c+vcvf
여기서 v=cβ=cβ1β21β1β2로, 광원과 관측자 사이의 상대론적 상대속도이다.[2] 이 상대속도의 부호는 서로 가까워질 때 (+), 멀어질 때 (-)이다.

알 수 있는 사실: 빛의 도플러 효과는 오로지 광원과 관측자 사이의 상대적인 운동만으로 결정된다. 또한 이는 빛의 매질은 없다를 암시한다.[3]

2.2 수직 도플러 효과

광원과 관측자 사이의 거리가 변하지 않고 서로 수직한 방향으로 운동하는 상황이다. 고전적인 모형에서는 이 경우 진동수가 변화하지 않아야 한다. 하지만 시간 지연으로 인해 실제로 관측하는 진동수는 달라진다.
f=γ1f=1β2f=1v2c2f
따라서 진동수는 미세하게 작아진다. 이를 검증한 실험이 바로 이베스-스틸웰 실험.

2.3 일반식

위 두 식을 통합하여 시선 방향에 대해 임의의 각도 θ로 이동하는 광원에 대한 도플러 공식을 나타낼 수 있다.
f=fγ(1+βcosθ)

3 적색편이와 청색편이

일반적으로 둘 사이가 가까워지면 청색편이, 멀어지면 적색편이가 나타난다. 이 현상을 이용하여 특정 천체가 태양계로 접근하는 속도(혹은 후퇴한 속도)를 계산할 수 있다.

청색편이의 대표적인 예로 바너드가 있다. 적색편이는 멀리 떨어진 은하에서 많이 볼 수 있다. 청색편이를 보이는 은하안드로메다 은하가 거의 유일한데 허블의 법칙을 안드로메다 은하에 적용시키면 거리가 마이너스가 나온다. 워낙 가까운 은하라 허블의 법칙을 쓸 필요는 없지만..

우리 은하의 막대 구조를 발견하는 데에 역시 청색편이와 적색편이가 이용 되었으며, 우리 은하 내부 구조 중 하나인 페르미 거품의 팽창 속도를 계산하는 데도 이용되었다.
  1. 이동 역학적 파동은 일반적으로 매질을 기준 좌표로 한다.
  2. 이동 이 관계식은 로런츠 변환으로 도출할 수 있다.
  3. 이동 사실 빛의 매질 에테르가 부정된 이후 상대성 이론이 생겨났으며 여기에서 상대론적 역학/전자기학이 나왔다. 어떻게 보면 빛의 매질은 없기 때문에 도플러 효과는 광원-관측자 간의 상대속도로만 결정된다고 이야기하는 것이 좀 더 적절하다.