- 상위 항목: 상대성 이론
- 관련 문서: 도플러 효과, 시간 지연, 청색편이, 적색편이
1 개요
Relativistic Doppler effect.
파원이나 관측자가 광속에 가까운 속도로 움직이는 상황에서 나타나는 도플러 효과. 주로 우주를 배경으로 빛의 도플러 효과를 다루므로 본 문서에서도 빛을 중심으로 서술한다. 빛은 매질이 없으며, 역학적 파동과는 달리 광원/관측자의 운동을 결정하는 뚜렷한 좌표계가 없다.[1]
2 정량적인 접근
우선 고전역학에서는 파원, 관측자 모두 시간이 똑같이 흐른다. 이 전제 하에서 도플러 효과에서 이끌어낸 관계식은 아래와 같다.
[math]\displaystyle f'= \left( \frac{c-v_2}{c-v_1} \right) f[/math]
여기서 [math]f,\ f'[/math]은 원래 진동수와 관측된 진동수, [math]v_1,\ v_2[/math]는 각각 광원과 관측자가 움직이는 속도다. 오른쪽으로 움직일 때 (+), 왼쪽으로 움직일 때 (-) 부호로 잡는다.(빛은 오른쪽으로 진행한다고 가정)
상대론적인 상황에서는 시간 지연 효과를 고려하여 시간이 다르게 흐름을 유의해야 한다. [math]N,\ N'[/math]은 각각 좌표계 기준으로 [math]\Delta t[/math]만큼 흘렀을 때 각각 파원이 내는 파장 수와 관측자가 받는 파장 수다.
[math]\displaystyle N'= \left( \frac{1-\beta_2}{1-\beta_1} \right) N, \beta=\frac{v}{c}[/math](*)
2.1 평행 도플러 효과
도플러 효과 문서와 같이 1차원 상에서 다루는 상황이다.
[math]\gamma_1 \Delta t_1 = \gamma_2 \Delta t_2 = \Delta t, \gamma = \left(1-\beta^2 \right)^{-\frac{1}{2}} [/math]
여기서 [math]\Delta t_1, \Delta t_2[/math]는 좌표계 기준으로 [math]\Delta t[/math]만큼 흐를 때 광원과 관측자의 고유 시간이다. 이 시간동안 파원이 내는 파장 수는 [math]N=f\Delta t_1 = \gamma^{-1}f\Delta t[/math]. 관측자가 받는 파장 수는 [math]N'=f'\Delta t_2 = \gamma^{-1}f'\Delta t[/math]. 따라서 (*) 표시된 식에 대입하면 다음 결과가 나온다.
[math]\displaystyle f'=\sqrt{\frac{(1+\beta_1)(1-\beta_2)}{(1-\beta_1)(1+\beta_2)}}f=\sqrt{\frac{c+v}{c-v}}f[/math]
여기서 [math]\displaystyle v=c\beta = c\cdot \frac{\beta_1-\beta_2}{1-\beta_1\beta_2}[/math]로, 광원과 관측자 사이의 상대론적 상대속도이다.[2] 이 상대속도의 부호는 서로 가까워질 때 (+), 멀어질 때 (-)이다.
알 수 있는 사실: 빛의 도플러 효과는 오로지 광원과 관측자 사이의 상대적인 운동만으로 결정된다. 또한 이는 빛의 매질은 없다를 암시한다.[3]
2.2 수직 도플러 효과
- 같이 보기: 이베스-스틸웰 실험
광원과 관측자 사이의 거리가 변하지 않고 서로 수직한 방향으로 운동하는 상황이다. 고전적인 모형에서는 이 경우 진동수가 변화하지 않아야 한다. 하지만 시간 지연으로 인해 실제로 관측하는 진동수는 달라진다.
[math]\displaystyle f'=\gamma^{-1}f = \sqrt{1-\beta^2}f = \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}f[/math]
따라서 진동수는 미세하게 작아진다. 이를 검증한 실험이 바로 이베스-스틸웰 실험.
2.3 일반식
위 두 식을 통합하여 시선 방향에 대해 임의의 각도 [math]\displaystyle \theta [/math]로 이동하는 광원에 대한 도플러 공식을 나타낼 수 있다.
[math]\displaystyle f'=\frac{f}{\gamma(1+\beta cos\theta)} [/math]
3 적색편이와 청색편이
일반적으로 둘 사이가 가까워지면 청색편이, 멀어지면 적색편이가 나타난다. 이 현상을 이용하여 특정 천체가 태양계로 접근하는 속도(혹은 후퇴한 속도)를 계산할 수 있다.
청색편이의 대표적인 예로 바너드가 있다. 적색편이는 멀리 떨어진 은하에서 많이 볼 수 있다. 청색편이를 보이는 은하는 안드로메다 은하가 거의 유일한데 허블의 법칙을 안드로메다 은하에 적용시키면 거리가 마이너스가 나온다. 워낙 가까운 은하라 허블의 법칙을 쓸 필요는 없지만..
우리 은하의 막대 구조를 발견하는 데에 역시 청색편이와 적색편이가 이용 되었으며, 우리 은하 내부 구조 중 하나인 페르미 거품의 팽창 속도를 계산하는 데도 이용되었다.