유리수

수 체계
사원수
복소수
실수허수
유리수무리수
정수정수가
아닌
유리수
음의
정수		0자연수

한자 : 琉璃數 有理數[1]
일본어: ゆうりすう(有理数)
영어: glass number rational number

1 정의

두 정수 m, n의 몫 [math]\displaystyle {m \over n} [/math] 으로 나타낼 수 있는 수. 유리수의 집합은 몫을 뜻하는 Quotient에서 [math]\mathbb{Q}[/math]로 나타낸다. 유리수는 (0으로 나누는 것을 제외한) 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈)에 대해 닫혀있는 '최소의' 집합이기도 하다. 그래서 체 중에 가장 작은 체라고 소체(prime field)라고 한다.[2] 지수 연산에 대해서는 닫혀 있지 않다. 예를 들면, [math]\displaystyle \left(1 \over 2\right)^{1 \over 2} = {1 \over \sqrt{2}} \notin \mathbb Q [/math] , [math]\displaystyle \left( - {2 \over 3} \right) ^{1 \over 2} = i \sqrt{{2 \over 3}} \notin \mathbb Q [/math]

임의의 정수는 [math]\displaystyle {n \over 1}[/math]로 나타낼 수 있으므로 유리수이고, 정수가 아닌 유리수는 소수 표현의 형태로 구분할 수 있다.

다시 정리하면 모든 정수는 유리수이고,정수가 아닌 유리수는 분수로 나타내거나 소수로 나타낼 수 있다.

2 유리수의 소수표현

정수가 아닌 유리수 [math] x = {m \over n} [/math] 을 나눗셈을 통해 소수로 표현하면 유한한 자리에서 나눗셈이 끝나거나(유한소수) / 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되거나(순환하는 무한소수) 의 둘로 구분된다. 역으로, 유한소수나 순환하는 무한소수로 나타나는 소수는 유리수가 된다.

  • 유한소수

자리수가 유한한 소수는 분모가 10의 거듭제곱꼴인 분수로 나타낼 수 있다. 예를 들어 [math] 0.125 = {125 \over 1000} [/math] 이런 식. 역으로 어떤 분수의 분모를 통분해서 10의 거듭제곱꼴로 나타낼 수 있다면[3], 그 분수는 [math] {1 \over 8} = {125 \over 1000} = 0.125 [/math] 와 같은 식으로 유한소수로 나타낼 수 있다.

  • 순환하는 무한소수

순환하는 무한소수의 경우 반복되는 최소단위를 순환마디라 한다. 위에서 예로 든 [math] {1 \over 7} \approx 0.1428571... [/math] 의 경우 순환마디는 142857, [math] {1 \over 6} \approx 0.16666... [/math] 의 경우는 6이 된다. 순환마디가 소수점 아래부터 바로 시작하는 [math] {1 \over 7} [/math] 와 같이 순환하는 무한소수를 '순(純)순환소수', 그렇지 않은 [math] {1 \over 6} [/math] 같이 순환하는 무한소수를 '혼(混)순환소수'라 한다. 기약분수로 나타냈을 때 분모가 10과 서로소이면 순순환소수이고, 그렇지 않으면 혼순환소수가 된다.

주의할 점이라면 0.101001000100001... 같은 수는 순환소수가 아니라는 점이다. 순환소수가 되려면 일정한 폭의 순환마디를 가지고 있어야 하는데 이건 그렇지 못하기 때문. 아래의 '순환하지 않는 무한소수'임은 물론, 대수적인 수[4]도 아닌 초월수에 속한다.

나눗셈 [math]x = \frac{m}{n}[/math]이 유한자리에서 끝나지 않는다면, 일정 자리 이후로 특정 패턴이 반복되어야 한다. 우리가 흔히 소수의 나눗셈을 하는 방식에 따르면, 나눠지는 수(피제수)의 소숫점 아래자리에서 나누는 수의 배수만큼을 덜어내고, 그 나머지를 다시 나누게 된다. 하지만 나누는 수가 n이면 나머지는 0부터 n-1까지 n개만이 가능하고, 같은 나머지가 나오면 그 뒤로의 나눗셈의 과정은 똑같기 때문에 반복되는 패턴이 생기는 것. [5] 역으로 순환하는 소수는 반드시 분수로 나타낼 수 있다. [6]

유리수가 반드시 순환소수로 표현된다는 위의 설명이 불충분하게 느껴진다면 다음과 같은 더 강력한 방법을 쓸 수도 있다. 임의의 정수 [math]m[/math]와 (0이 아닌) 자연수 [math]n[/math]에 대해 [math]\frac{m}{n}[/math]이 순환소수임을 표현하고 싶다면 사실 어떤 정수 [math]a[/math]와 자연수 [math]r, s[/math]가 존재하여 [math]\frac{a}{10^s ( 10^r - 1 )}[/math]와 같은 꼴로 써짐을 보이는 것과 동일하다.[7] 왜냐하면 [math]\frac{1}{10^r - 1} = 1/10^r + 1/10^{2r} + 1/10^{3r} + \cdots[/math]가 되기에 다음과 같은 표현이 되기 때문이다.

[math]\frac{m}{n} = \frac{c}{10^s} + \frac{1}{10^s} \left( \frac{d}{10^r} + \frac{d}{10^{2r}} + \frac{d}{10^{3r}} + \cdots \right)[/math].

여기서 [math]c, d[/math]는 각각 [math]a[/math]를 [math]10^r - 1[/math]로 나눠서 얻은 몫과 나머지이다. 이때 [math]d[/math]가 바로 순환구간에 해당한다는 것을 알 수 있다. 예를 들어 [math]1/7 = 0.142857142857142857\cdots[/math] 같은 경우 [math]r = 6, s = 0, c = 0, d = 142857[/math]이고 [math]67/55 = 1.2181818\cdots[/math] 같은 경우 욕 아니다 [math]r = 2, s = 1, c = 12, d = 18[/math]이다.

한편, 여기서 [math]s = 0, c = 0[/math]인 경우만 다뤄도 충분하다. 어차피 순환소수에 10의 거듭제곱을 곱하는 것과 정수를 더해 봐야 순환소수가 나오고 [math]r[/math]와 [math]d[/math]는 바뀌지 않기 때문에, 즉 순환구간의 길이와 내용이 바뀌지 않기 때문에 그렇다. 즉, 어차피 모든 혼순환소수는 어떤 순순환소수에 10의 거듭제곱을 곱한 것과 적당한 정수를 더한 것과 같기에 순순환소수만 다뤄도 충분하기 때문인 것이다. 물론 [math]m[/math]이 양의 정수이어도 상관없다. 또한 [math]n[/math]가 2와 5에 대해 서로소인 경우만 다뤄도 충분하다. 만약 그렇지 않다면 분자와 분모에 적당한 2와 5의 거듭제곱을 곱해 줘 [math]2^k 5^l n = 10^q n'[/math]이고 [math]n'[/math]이 2, 5와 서로소인 자연수 [math]q, n'[/math]를 찾을 수 있는데, 이는 [math]s = q[/math]인 경우가 되어 혼순환소수이기 때문이다. 위의 67/55의 경우가 한 예이겠다. 그리고 당연히 [math]n' = 1[/math]인 경우는 고려하지 않아도 된다. 따라서 주어진 문제는 [math]n[/math]이 2와 5에 대해 서로소이면서 1보다 큰 자연수이고 [math]m[/math]이 0보다 크고 [math]n[/math]보다 작은 자연수인 경우로 좁혀진다. 이렇게 정리하면 우리의 목표는 결국 [math]\frac{m}{n} = \frac{a}{10^r - 1}[/math]인 자연수 [math]a, r[/math]를 찾는 것으로 좁혀진다.

이걸 확실하게 풀기 위해선 페르마의 소정리에 대한 오일러의 일반화가 필요하다. 이 명제는 다음과 같이 주어진다.

서로소인 두 자연수 [math]a, n[/math]에 대해 [math]a^{\varphi(n)}[/math] ([math]\varphi(n)[/math]는 오일러의 [math]\varphi[/math]-함수[8])를 [math]n[/math]으로 나눈 나머지는 1이다.

이 정리에서 [math]a = 10[/math]로 놓으면 이걸 알 수 있다. 앞서 놓은 가정에 의하여 [math]n[/math]는 10과 서로소인데, 따라서 적당한 자연수 [math]r[/math]이 존재하여[9] [math]10^r -1[/math]는 [math]n[/math]의 배수이다. 이를 다르게 쓰자면 어떤 자연수 [math]r, q[/math]가 존재하여 [math]nq = 10^r - 1[/math]와 같다는 것이다. 따라서 다음이 성립한다.

[math]\frac{m}{n} = \frac{mq}{nq} = \frac{mq}{10^r - 1}[/math].

이것은 정확히 우리가 원하던 꼴이다. 결국 모든 유리수는 순환소수라는 것을 증명하였다.

  • 순환하지 않는 무한소수?

유리수는 오로지 유한소수이거나 순환하는 무한소수 뿐이므로, 여기에 해당하는 수는 유리수가 아님을 알 수 있다. 자세한 것은 무리수 참조.

3 조밀성과 완비성

임의의 두 유리수 a < b 사이에는 항상 다른 유리수 c가 있다. 수직선 위에서 a와 b의 중점 [math]c = {a+b \over 2}[/math]도 유리수가 되기 때문이다. 따라서 수직선에서 유리수는 아무리 작은 선분에도 항상 존재하는데, 이를 유리수의 조밀성이라 한다. 하지만 유리수가 이렇게 조밀하게 있는데도, 유리수가 아닌 무리수들도 조밀성을 만족한다. 즉 수직선 위의 유리수는 빽빽하게 들어차 있는데도 빈틈투성이인 이상한 세계인 것이다.

수직선이 빈틈을 허용하지 않는다는 성질은 '완비성(completeness)'이라 부르는데, 이 완비성의 정의는 꽤나 복잡하다. 수 체계 항목 참고.
  1. ↑ 일본 수학계에서 유리수의 rational을 '합리적인'으로 번역한 有理數라는 명칭은 번역의 오류이므로 유비수(有比數)라는 용어를 써야 한다는 주장이 있다. 자세한 것은 무리수 항목 참조.
  2. ↑ 그런데 더 작은 소체도 있다. 임의의 소수 p에 대해 0, 1, 2, ..., p - 1을 모은 집합에 덧셈과 곱셈을 정수에서의 연산과 같게 하되, p로 나눈 나머지만 갖도록 하면 나누기도 잘 정의된다. 또한 이렇게 해서 정의된 체는 같은 수를 p번 연거푸 더했을 때 0이 되는 모든 체가 포함하는 체(이런 체를 가리켜 characteristic이 p인 체라고 부른다)이기에 {0, 1, 2, ..., p - 1} 역시 소체가 된다. 이 세계는 유리수 같은 것과 관련이 있는 체들과 제법 다른 세계이다. 수 체계 참고.
  3. ↑ 즉 기약분수꼴의 분모가 2나 5만을 소인수로 가지면
  4. ↑ 유한개의 항으로 나타낼 수 있는 방정식이 있는 수
  5. ↑ 말은 어렵게 했지만, 직접 나눗셈을 해 보면 바로 이해할 수 있다!
  6. ↑ 엄밀한 증명을 위해서는 무한등비급수의 합(극한)을 생각해야 하지만, 보통 수준에서는 10^(순환마디길이)^ 을 곱해 비교하는 중3 교과서의 설명으로 충분하다.
  7. ↑ 사실 우변과 이어지는 내용들에 쓰인 10들을 1보다 큰 다른 자연수로 바꿔 써도 아래에 기술된 내용들은 변하는 게 없다. 단지 2와 5에 대해 서로소인 것을 말할 때 쓴 2와 5를 새로운 자연수의 약수가 되는 소수들로 바꾸기만 하면 된다. 그래도 논리는 그대로 유지된다. 이로부터 얻을 수 있는 게 뭐냐면 10진법이 아닌 다른 진법에서도 모든 유리수는 순환소수로 표현된다는 것이다.
  8. ↑ 그냥 뭔가 자연수인가보다라고 넘어가도 무방하다. 사실 이 함수의 값은 0과 [math]n[/math] 사이의 자연수들 중에서 [math]n[/math]과 서로소인 자연수들의 개수로 정의된다, 구체적으로 [math]n = p_1^{r_1} p_2^{r_2} \cdots p_s^{r_s}[/math]과 같이 소인수분해가 되었을 때 [math]\varphi(n) = (p_1 - 1)(p_2 - 1) \cdots (p_s - 1) p_1^{r_1 - 1} p_2^{r_2 - 1} \cdots p_s^{r_s - 1}[/math]으로 쓸 수 있다.
  9. ↑ 이때 [math]r[/math]은 최소한 [math]\varphi(n)[/math] 한 가지 정도는 될 수 있다는 것이다.