차원

Dimension

1 학문

1.1 수학

차원
0	1	2	3	4	5
점	선(길이)	면(넓이)	입체(부피)	초입체(초부피)

수학에서 말하는 차원은 기저(basis)의 개수를 말한다. 일정한 벡터공간에서 임의의 벡터는 적당한 단위 벡터들의 선형 조합으로 표시할 수 있는데, 이 때 서로 내적이 0이며 그 개수가 가장 적은 단위벡터쌍을 만들 수 있고, 이를 기저라 한다. 이를 시각적으로 표현하면 직교좌표계의 축 개념으로 표현할 수 있다.

시각적으로 0차원은 점으로, 1차원은 직선, 2차원은 평면, 3차원은 공간으로 표현된다.
수학적으로는 3차원이던 4차원이던 n차원이던 본질적인 차이가 없고 심지어 무한 차원도 있으나, 인간의 인지 범위는 3차원이 한계이다. 진화론적으로 지금까지 4차원 이상의 물체를 상상해 볼 일이 없었기에...

우리가 중고등학교 수학 시간에 배우는 기하학을 만든 사람인 유클리드는 0, 1, 2, 3차원에 대해 이렇게 정의했다.

입체의 단면은 면이다. 면의 단면은 선이다. 선의 단면은 점이다.

이 정의는 3->2->1->0차원으로 내려가는 차원의 정의를 사용하고 있다. 이것을 역이용해 프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레는 새로운 차원의 정의를 만들었다.

단면이 0차원(점)이 되는 것을 1차원(선)이라 부른다. 단면이 1차원이 되는 것을 2차원(면)이라 부른다. 단면이 2차원이 되는 것을 3차원(입체)이라 부른다. 단면이 3차원이 되는 것을 4차원(초입체)이라 부른다.

즉 0차원의 도형(점)을 1차원의 방향(선)으로 움직이면 선이 생기고 선을 2차원의 방향으로 생기면 도형이 생기고, 면을 3차원의 방법으로 움직이면 입체가 생긴다. 따라서 3차원의 입체를 4차원의 방향으로 움직이면 4차원의 물체가 생기지 않을까?라고 생각한 것. 월간 뉴튼 2008년 1월호에 여기에 대한 일러스트가 잘 실려 있으니 한번 주위의 도서관에 가서 찾아보자. 이 방법을 사용하면 4차원 이상의 차원을 생각할 수 있고, 기하학에서 사용할 수 있다.

같은 백터 공간을 나타내는 기저의 수는 당연히 같지만, 실제 기저의 꼴은 여러 개가 존재할 수 있다. 대표적으로 3차원은 직교좌표계, 원통좌표계, 구면좌표계 등의 좌표계를 이용해 나타낼 수 있다. 이 외에도 수학이 그렇듯이 필요하다면 만들어낼 수도 있다.

이 외에, 차원의 정의를 약간 비틀어서 상위 블록을 만들기 위해 필요한 하위 블록의 개수로 정의하면 프랙탈에도 차원을 정의할 수 있다. 이 경우 차원은 양의 실수 및 0까지 확대된다. 1.73차원 등이 실제로 존재한다.
그 방법중 하나로 로그를 이용한 방법이 있다. 한편 음수 차원의 경우는 오일러의 공식을 이용해서 정의할 수 있다.복소 차원도

우리가 실제로 살고 있는 물리적 차원은 4차원 시공간이다. 그러나 수학적 차원에서는 3차원 공간에서 살고 있다고 할 수 있다.

1.2 물리학

단위의 차원. 위의 개념에서 확장되었다고 할 수 있는데, 쉽게 말하면 단위. 좀 더 자세히 말하면 단위의 의미. km, cm, 리(里) 등은 셋이 모두 길이의 단위로서 같은 차원이지만 kg, hour, LY(light year, 광년) 등은 셋이 모두 다른 차원이다.

물리학에선 차원이란 단어를 허구언날 쓰기에 위의 수학적 차원의 정의에 익숙해져있다가, 6차원 7차원 N차원등의 단어를 들으면 정신이 해당차원으로 날아가 버린다. 하지만 그냥 단순하게 생각해서 우리가 살고있는 4차원 시공간도 온도, 습도, 등의 물리량을 정의하여 5차원 6차원 등으로 표현하는것이 가능하다. 물론 각각의 물리량이 독립적이지 않기때문에 실제로는 큰 의미가 없지만...

다른 차원끼리의 덧셈은 할 수 없는 것으로 정의되는데, 서로 다른 두 양을 단순히 더한다고 별 의미가 생기진 않는 걸 생각하면 왜 그런지 설명이 되려나...

• [math] 6m + 36kg\ =\ ??? [/math]
• [math] 3m^2 + 5N - 985hPa = ??? [/math]

다만, 곱하는 경우에는 어느 한 양이 다른 양 동안 가해진 총합, 나누는 경우에는 어느 한 양에 대한 다른 양의 변화량으로서 의미를 갖는다. 물론 마구잡이로 곱하거나 나눈다고 해서 말이 되는 건 아니다. 오로지 그것이 물리적으로 의미를 가져야만 가치를 인정 받을 수 있다. m*kg² 같은건 물리적으로 아무런 의미가 없는 잉여의 예.물론 언젠가 의미를 가질지도 모른다.

보통 가장 기본적인 차원과 단위는 m(길이), kg(질량), s(시간)이다. 이는 SI 단위 자체가 과학적으로 사용하는 표준단위이기 때문이다. 하지만 전문분야에서 사용하는 자연 단위계에서는 또 다른 이야기이다.

상대론에선 광속이 매우 큰 수이면서 중요한 상수로 자주 나오기 때문에 계산상 편의를 위해서 빛의 속도가 1이 되도록 길이와 시간의 단위를 조정, E=mc²으로 에너지와 질량 사이의 단위 변환이 자주 필요하기 때문에 질량의 단위를 에너지의 단위로 사용한다. 또한 화학이나 양자역학 등에선 kg이 무의미할 만큼 작은 스케일을 다루기 때문에 탄소 원자의 질량을 12로 놓은 원자단위나, 전자볼트를 사용한다.

2 일상에서 말하는 차원

사고방식이나 정신 세계의 복잡한 정도를 수학에서 말하는 차원에 빗대어 표현한 것. 차원이 많아지면 측정해야 하는 것이 하나 더 늘어나게 되고, 더 다양한 구조를 띨 수 있게 되며, 하위 차원을 볼 수 있으니 꽤 적절한 비유라고 할 수 있다.

수학에서 말하는 차원대로라면 차원이 높을수록 더 많은 것에 대해 고려하고 더 깊은 생각, 더 기발한 생각을 해야겠지만, 어째서인지 차원의 숫자가 3을 넘어가면 그 사람이 얼마나 비현실적이고 황당한 생각을 하는가를 나타내게 된다. 그야 물리적 3차원에서 사는 우리는 4차원의 존재가 보고 듣는걸 알수없으니 우리가 보지도 듣지도 못한것을 바탕으로 내린 결론은 어이없고 황당할수밖에! 그래서 흔히 주변을 보지 못하고 무식하게 앞만 보고 나가는 사람을 1차원적이라고 하지만, 황당한 생각을 자주 하는 사람은 4차원 정신세계를 지녔다고 한다. 4차원 캐릭터보다 더 황당하면 5차원, 그보다 더하면 6차원... 이런식으로 표현하지만, 이미 4차원도 충분히 당황스럽기 때문에 5 이상의 숫자는 잘 등장하지 않는다. 사실 있다고 해도 구분하기 힘들 텐데 뭐

위 같은 용례 외에도 일반인들과는 비교를 불허하는 먼치킨이 있다면 차원이 다르다는 식으로 사용되기도 한다.

3 서브컬쳐에서

1번의 뜻보다는 시공간이 아예 다른 세계라는 뜻으로 쓰인다. 작게는 장르소설에 나오는 요정이 사는 세계나 마계 같은 곳부터 시작해서 좀 더 확장하면 평행세계와 그 변형세계까지 가고 크게는 과학법칙까지 다른 등 아예 딴살림을 차린 세계를 뜻하는 용어로 쓰인다. 여기에 대해서는 플레인 문서 참조.

3.1 마블 코믹스

포켓 디멘션 참조.

3.2 유희왕

이차원 참조.

3.3 네이버 웹툰 쿠베라

차원(쿠베라) 참조.

4 관련 문서

• 차원이동