아인슈타인 방정식

Einstein Field Equation

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1 개요

[math]R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}[/math]

[math]R_{\mu\nu}[/math] = 리치 텐서, [math]R[/math] = 스칼라 곡률, [math]g_{\mu\nu}[/math] = 계량 텐서, [math]\Lambda[/math] = 우주 상수, [math]T_{\mu\nu}[/math] = 에너지-스트레스 텐서

알버트 아인슈타인이 1915년에 발표한 방정식으로, 일반 상대론의 근간을 이루는 방정식이다. 방정식의 좌변은 시공간의 기하학적 정보, 즉 시공간이 얼마나 휘어져있나를 나타내고, 우변은 물질(에너지)의 분포를 나타낸다. 즉 직관적으로, 아인슈타인 방정식은 물질(에너지)의 분포가 시공간의 휨에 어떻게, 얼마나 영향을 끼치는가를 나타낸다.

2 유도 과정

상대성 이론/심화 문서 참고. 문서를 읽어보면 알겠지만, 아인슈타인은 등가원리 및 특수상대론의 가정, 일부 기존 이론의 확장 등 몇가지의 순수한 수학, 물리적 고찰만으로 이 방정식을 유도해냈다(!)

3 유명한 해

아인슈타인 방정식을 푼다는 것은, 위 방정식을 열심히 풀어서 [math]g_{\mu\nu}[/math], 즉 시공간에 대한 정보를 얻어내는 것이다. 아인슈타인 방정식 자체는 간단하게 한 줄로 표현되지만, 그 속에는 수많은 아인슈타인 축약과 각종 편미분 등이 들어가있으므로 해석적 해를 구하는 건 불가능에 가깝고, 물리적으로 유의미한 조건들을 줘서 해를 찾아내고, 또 그런 해들이 일부 알려져 있다.

그리고, 여기서 얻어진 방정식의 해(즉, 계량 텐서)의 특징을 분석하면 그 시공간이 어떤 기하학적 구조를 가지고 있는지에 대한 정보를 이끌어낼 수 있다. 대표적인 예로 슈바르츠실트 해는 블랙홀의 특이점 등에 대한 정보를 주고, 역사적으로도 블랙홀의 이론적 예견 및 발견에 큰 영향을 끼쳤다.

3.1 슈바르츠실트 해(Schwarzschild metric)

아인슈타인이 방정식을 발표한 바로 다음 해인 1916년에 발표된 해로, 발견자의 이름을 따 슈바르츠실트 계량이라는 이름이 붙었다. (민코프스키 계량과 같은 자명한 근을 제외하면) 아인슈타인 방정식의 첫 엄밀해라고 알려져 있다. 구대칭 형태의 물질(중력원)이 만들어내는 중력장을 기술하는 해로, 아래에서 설명하겠지만 이런저런 다양한 조건들을 줘서 방정식을 최대한 근사시켜서 얻어낸 결과지만, 블랙홀, 빛의 중력 적색편이, 중력 렌즈, 행성의 근일점의 세차운동 등 기존 뉴턴 중력이론으로 설명할 수 없었던 많은 사실들을 예견하고 검증받아서 역사적으로 굉장히 중요한 해 중 하나이다. 현대에도 (일부 보정항이 들어가긴 하지만) 상대적으로 느리게 회전하는, 그리고 대전되지 않은 천체들의 거동을 파악할 때 유용하게 쓰이고 있다.

3.1.1 슈바르츠실트 해의 유도

우선 진공 조건에서, 아인슈타인 방정식을 최대한 간단히 만들기 위해 다음과 같이 가정한다.

• 시공간은 구형으로 대칭이다. 즉 시공간을 회전하거나, 좌우반전을 해도 변함이 없다.
• 시공간은 시간에 따라 변하지 않는다. 즉, 계량의 모든 성분들이 시간에 의존하지 않는다.
• 진공 상태를 가정한다. 즉, 에너지-스트레스 텐서를 0으로 둔다.
• 우주 상수항은 0으로 가정한다.

아인슈타인 방정식을 이 조건 하에서 다시 쓰면 다음과 같다.

[math]R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 0[/math]

4차원 시공간을 가정하고 있다는 점에 주의하면서([math]g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = \delta^{\mu}_{\mu} = 4[/math]), 축약을 하면

[math]g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = R - 2R = 0 \Rightarrow R = R_{\mu\nu} = 0[/math]

즉, 아인슈타인 방정식은 [math]R_{\mu\nu} = 0[/math]라는 간단한 꼴로 정리된다.

한편, 계량 텐서가 개략적으로 어떤 꼴을 가질지 예측해보자. 시공간은 구형 대칭이라는 걸 가정했으므로, 계량 텐서도 구면 좌표계에서의 좌표꼴 [math](r, \theta, \phi, t)[/math]에 대한 무언가의 함수로 보는 편이 타당하다. 또한, 시공간은 시간 불변이라는 조건에서, 시간 반전 변환[math](r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, \theta, \phi, -t)[/math] 하에서도 계량 텐서는 불변이라는 사실도 알 수 있다. 여기서, 시간 반전 변환 하에서 [math]\frac{\partial x^{i}}{\partial t} (i = 1,2,3)[/math]의 부호가 바뀌지만, 시간 반전 하에서 시공간이 변하지 않으므로(= 계량 텐서가 변하지 않으므로) 이 값은 0이 되어야 함을 알 수 있다. 즉,

[math]g_{\mu 4} = 0, \mu = 1,2,3[/math]

같은 논리를 구형 대칭 조건 하에서 각 변수 [math]r, \theta, \phi[/math]의 반전에 따라 적용하면, 다음과 같은 결론을 얻는다.

[math]g_{\mu\nu} = 0, \mu \neq \nu[/math]

즉, 계량 텐서는 대각선 성분만 가지며, 다음과 같이 쓸 수 있다.

[math]ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 [/math]

여기서, 구면대칭이라는 조건을 생각하면, [math]dr^2, dt^2[/math]항에 관계되는 계량텐서 성분 [math]g_{11}, g_{44}[/math]가 각각 [math]r[/math]만의 함수가 되어야 된다. 즉,

[math]g_{11} = \lambda(r), g_{44} = v(r)[/math]

로 둘 수 있다. 한편, 반경의 길이가 [math]r[/math]인 구면 상에서의 기하는

[math]dl^2 = r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)[/math]

로 나타내어진다는 점에서, [math]g_{22}, g_{33}[/math]의 값이 바로 결정된다. 즉,

[math]g_{22} = r^2, g_{33} = r^2\sin^2 \theta[/math]

여기까지 알아낸 계량 텐서의 개형을 행렬로 나타내면 다음과 같다.

[math]g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda(r) \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v(r) \end{array} \right) [/math]

시공간의 대칭성 조건만으로 이렇게까지 계량 텐서를 특정지을 수가 있었다. 이제 남은 일은 이 계량 텐서를 직접 아인슈타인 방정식에 넣어서 남은 [math]\lambda, v[/math]의 값을 확정짓는 것뿐이다. 우선, 리치 텐서를 계산하기 위해 크리스토펠 기호를 계산한다. 크리스토펠 기호의 정의

[math]\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha})[/math]

에 따라 계량 텐서를 넣어서 정신줄을 놓을 정도로 계산하면, 크리스토펠 기호의 각성분은 다음과 같이 계산된다.

[math]\Gamma^{1}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda'/2\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -r/\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -r\sin^2 \theta/\lambda \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -v'/2\lambda \end{array} \right) [/math]
[math]\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) [/math]
[math]\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) [/math]
[math]\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v'/2v \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ v'/2v \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) [/math]

여기서, 미분기호 '는 [math]r[/math]에 대한 미분이다. 한편으로, 리치 텐서 [math]R_{\mu\nu}[/math]와 크리스토펠 기호 [math]\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}[/math]의 관계는 다음과 같다.

[math]R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} + \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} - \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho}[/math]

아인슈타인 방정식 [math]R_{\mu\nu} = 0[/math]에 위 관계식을 이용하여 아까 계산해뒀던 크리스토펠 기호 성분들을 전부 넣으면 으악 다음과 같은 관계식이 도출된다. 트래픽이 부족하므로 여기서는 자세한 계산과정은 생략한다

[math]4\lambda' v^2 - 2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 = 0 [/math]
[math]r\lambda' v + 2\lambda^2 v - 2\lambda v - r\lambda v' = 0[/math]
[math]-2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 - 4 \lambda v v' = 0[/math]

왠지 막장같아보이는 식이지만, 첫번째 식에서 세번째 식을 빼면 다음과 같은 결과를 얻는다.

[math]4v(\lambda' v + \lambda v') = 0 \Rightarrow \lambda' v + \lambda v' = 0 \Rightarrow \lambda v = const[/math]

여기서 [math]\lambda v = C_{1}[/math]라고 두고, 이 결과를 두번째 식에 대입하면, 놀랍게도 [math]v[/math]를 소거할 수 있다. [math]C_{1}[/math]값을 두번째 식에 계산해서 잘 정리하면,

[math]r\lambda' = \lambda(1-\lambda)[/math]

를 얻는다. 이 미분방정식은 일반해로

[math]\lambda(r) = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1}[/math]

을 갖는다. 여기서 [math]C_{2}[/math]는 임의의 상수이다, 또한, [math]\lambda v = C_{1}[/math]로부터,

[math]v(r) = C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)[/math]

을 얻는다. 여태까지 계산한 결과를 종합하면, 계량 텐서는

[math]ds^2 = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 + C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 [/math]

로 나타낼 수 있다. 여기서 [math]C_{1}, C_{2}[/math]의 구체적인 값은 아인슈타인 방정식 자체로는 구할 수 없고, 고전 이론으로의 근사(뉴턴 중력 이론)를 써서 구할 수밖에 없다.

먼저, 중력원으로부터 충분히 먼 공간, 즉 [math]r \rightarrow \infty[/math]일 때, 시공간은 중력장의 영향을 거의 받지 않아 거의 휘지 않는다고 생각할 수 있다. 즉, 중력원으로부터 충분히 먼 공간에선 이 계량은 '휘지 않은' 민코프스키 계량으로 근사할 수 있다고 말할 수 있다. 즉, [math]r \rightarrow \infty[/math]면 [math]C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 \rightarrow -c^2dt^2[/math]이므로,

[math]C_{1} = -c^2[/math]

이다. 한편으로, 약한 중력장에서 뉴턴 중력이론으로 근사할 때

[math]g_{44} \simeq 1 + \frac{2\Phi}{c^2} = 1 - \frac{2MG}{c^2r}[/math]

이라는 사실을 상기하면,

[math]C_{2} = -\frac{c^2}{2GM}[/math]

라는 사실을 알 수 있다. 즉, 우리가 찾고자 했던 계량 텐서는

[math]ds^2 = \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) dt^2 [/math]

[math]g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \end{array} \right) [/math]

임을 알 수 있고, 이렇게 구한 계량을 슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric)이라고 한다.

여기서 흔히 [math]r_{s} = \frac{2GM}{c^2}[/math]를 정의해서,

[math]ds^2 = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) dt^2 [/math]

라고 표기한다. 이 때의 [math]r_{s}[/math]를 슈바르츠실트 반경(Schwarzschild radius)이라고 하며, 이 값의 의미는 나중에 설명하겠다.

3.1.2 슈바르츠실트 해와 블랙홀

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