완전잉여계

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~~완전 잉여~~

Complete Residue System

1 개요

여타 다른 정수론 개념이 그렇듯이, 수학을 전공하거나 KMO등의 수학 경시대회를 준비하지 않는다면 평생 볼 일이 없는 개념. 자세한 정의는 다음과 같다.

1보다 큰 자연수 [math]m[/math]에 대하여, 집합 [math]\left\{a_1,a_2,\cdots,a_m\right\}[/math]이 임의의 정수 [math]a[/math]에 대하여 [math]a\equiv a_i\left(\text{mod}\,m\right)[/math]인 [math]a_i[/math]가 유일하게 존재할 때, 위 집합을 완전 잉여계라 한다. 이것은 [math]m[/math]개의 정수 [math]a_1,a_2,\cdots,a_m[/math]이 다음 조건을 만족하는 것과 동치이다. [math]i\neq j[/math]이면, [math]a_i \neq a_j \left(\text{mod}\,m\right)[/math]^[1]

법 [math]m[/math]에 대한 대표적인 완전잉여계는 [math]\left\{0,1,2,\cdots,m-1\right\}[/math]이 있다.

정수환의 몫환 [math]Z/mZ[/math]이 [math]m[/math]을 법으로 한 완전잉여계와 같다. 동치류들의 모임인 [math]Z/mZ[/math]의 동치류에서 대표원을 하나씩 선택하여 구성한 것이 완전잉여계라는 것을 쉽게 알 수 있다.