환(대수학)

대수학
이론
기본대상				방정식 ・ 부등식 ・ 산술
수 체계				실수 · 복소수 · 사원수
구조와 관심대상
군(Group)						군의 작용, 실로우 정리
환(Ring)						가환대수학
체(Field)						갈루아 이론
가군(Module)
대수(Algebra)
정리
대수학의 기본정리 · 나머지 정리
다항식 · 유클리드 호제법 · 대수#s-1 · 노름
분야와 관심대상
대수학
	정수론						대수적 정수론 · 해석적 정수론
	선형대수학						벡터 · 행렬 · 선형변환
	대수기하학						스킴 · 모티브 · 사슬 복합체

環 (Ring)
대수학에서 말하는 구조.

1 정의

정수 집합을 추상화한 것으로, 어떤 집합에 두 가지 연산을 아래와 같이 부여한 것이다.

어떤 집합 [math]R[/math]이 있을 때, [math]R[/math] 위에 결합법칙이 성립하는 두 개의 이항 연산 [math]+[/math]와 [math]\cdot[/math]가 잘 정의돼 있고, 다음 세 조건을 만족한다면 [math]\left(R,+,\cdot\right)[/math]는 환(ring)이라고 한다.

1. [math]\left(R,+\right)[/math]는 아벨군. 풀어 쓰면 다음 세 가지를 말한다.
   • (항등원) [math]0\in R[/math]이 존재하여,[math]R[/math]의 임의의 원소 [math]a[/math]에 대해,[math]a+0 = 0+a =a [/math]이다. 항등원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 정수에서의 예에 따라 0으로 적고, 혼동의 여지가 있을 때는 [math]0_{R}[/math]로 적기도 한다.
   • (역원) 임의의 [math]a\in R[/math]에 대해 [math]x\in R[/math]가 존재하여, [math]a+x=0=x+a[/math]을 만족한다. 역원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 정수에서의 예에 따라 [math]-a[/math]로 적는다.
   • (교환법칙) 임의의 두 원소 [math]a, b\in R [/math]에 대해,[math]a+b = b+a [/math]을 만족한다.

2. [math]\left(R,\cdot\right)[/math]는 모노이드이다.

• (항등원 [math]1\in R[/math]이 존재하여,[math]R[/math]의 임의의 원소 [math]a[/math]에 대해 [math]a\cdot 1 = 1\cdot a =a [/math]을 만족한다.)

3. 분배법칙이 성립한다.

• 임의의 [math]a, b, c\in R [/math]에 대해, [math]\left(a+b\right)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c[/math] 와 [math]c\cdot \left(a+b\right)=c\cdot a+c\cdot b[/math] 이 성립한다.

물론 [math]+[/math]는 덧셈으로, [math]\cdot[/math]는 곱셈으로 해석할 예정이며, 이렇게 해석할 수 있는 이유는 궁극적으로 위 3) 분배법칙 때문이다. 따라서 [math]a\cdot b=ab[/math]와 같이 곱셈기호를 생략하는 관습 역시 통용된다. 아예 처음부터 연산을 붙여쓰기(juxtaposition)로 정의하기도 한다.

환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• 정수 전체의 집합 [math] \mathbb{Z} [/math].
• 유리수 전체의 집합 [math] \mathbb{Q} [/math], 실수 전체의 집합 [math] \mathbb{R} [/math], 복소수 전체의 집합 [math] \mathbb{C} [/math]. 이들은 후술하듯 특수한 환인 체에 해당한다.
• 사원수 전체의 집합 [math]\mathbb{H}[/math] .
• [math]n\in \mathbb{Z}[/math]에 대해, [math]\mathbb{Z}[/math]를 [math]n[/math]으로 나눈 나머지 [math] \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} [/math] . 이를 잉여환(quotient ring)이라 한다.
• [math]R[/math] 이 환일 때 [math]R[/math] 위의 polynomial 전체의 집합 [math] R\left[t\right] [/math], [math]R[/math] 위의 [math] n \times n [/math] 정사각행렬 전체의 집합 [math] M_{n}\left(R\right)[/math].

환이 아닌 것의 예로는 자연수 전체의 집합 [math] \mathbb{N} [/math] 등이 있다.

모든 환 [math]R[/math]은 자명한 [math]R[/math]-가군(module) 구조를 가진다. 또, 모든 환은 [math] \mathbb{Z} [/math] -대수(algebra)로 볼 수 있다.

1.1 나누어짐(divisibility)과 원소의 분류

이하에서는, [math]1[/math]을 갖는 가환환에 대해 한해, 이야기한다.

1.1.1 나누어짐(divisibility)

[math]a,b\in R[/math]에 대해, 나누어짐을 다음과 같이 표기하고 정의한다.

TFAE

[math]b\mid a[/math]
[math]\exists c\in R \qquad bc=a[/math]

1.1.2 단원(unit)

단원들의 모임을 다음과 같이 정의한다.

[math]R^{\times} :=\left\{ a\in R:\exists x\in R\quad ax=1\right\} [/math]

즉, 곱셈에 대한 역원이 존재하는 원소들을 말한다. 예를 들어, 정수 집합에서 unit은 1과 -1뿐이다.

1.1.3 기약원(irreducible element)

[math]0\neq i\in R[/math]가 기약원이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

[math]\forall x\mid i \left[x\in R^{\times} \text{or} \left[\exists u\in R^{\times} xu=i\right]\right] [/math]

쉽게 풀어쓰자면, unit을 제외한 약수가 없는 윈소를 말한다.

1.1.4 소원(prime element)

[math]0\neq p\in R[/math]가 소원이라 함은 다음을 만족하는 것이다.

[math]\forall a,b\in R\left[p\mid ab\rightarrow \left[\left[p\mid a\right]\text{or}\left[p\mid b\right]\right]\right] [/math]

prime이면 irreducible이다. 역은 일반적으로 성립하지 않는다.

1.1.5 인수분해(factorization)

[math]x\neq0[/math]를 [math]x=u\prod {i_{k}}^{e_{k}}[/math]([math]i_{k}[/math]는 서로 다른 기약원, [math]e_{k}\gt0[/math], [math]u[/math]는 단원)꼴로 나타내는 일을 말한다.

2 종류

‘곱셈’에 관해서는(ring이라는 이름에서 느껴지는 것과는 달리) 결합법칙 외에 아무 조건이 없는 점에 유의하여야 한다. 여기에 이런저런 조건이 붙을 때마다 다음과 같은 여러 가지 이름으로 불린다.

2.1 가환환

• 곱셈에 관해 교환법칙(commutativity)이 성립하는 것을 가환환(commutative ring)이라 하고, 그렇지 않은 것을 비가환환(non-commutative ring)이라 한다.
  • 가환환의 예: [math]\mathbb{Z}[/math], [math]\mathbb{Q}[/math], [math]\mathbb{R}[/math], [math]\mathbb{C}[/math]
  • 비가환환의 예:[math]\mathbb{H}[/math], [math]M_{n}\left( R \right)[/math]

2.2 단위원을 갖는 환(ring with unity), 유사환(pseudo-ring)

• 만약 환의 정의에서 '곱셈에 대한 항등원(1)이 존재한다'는 조건을 뺄 경우, 특별히 곱셈에 관해 0이 아닌 항등원(identity element)을 갖는 것을 단위원을 갖는 환(ring with unity), 1을 갖는 환(ring with 1) 또는 unital ring이라 한다. 1을 갖는 가환환(Commutative ring with 1) 위의 선형대수는 그 내용이 매우 풍부하다. 항등원은 존재하면 유일하므로 이 원소를 정수에서의 예에 따라 1로 적고, 혼동의 여지가 있을 때는 [math]1_{R}[/math]로 적기도 한다. 심지어 [math]2=1_{R}+1_{R}[/math] 등의 표기도 사용한다.
• 반대로 환의 정의에서 '곱셈에 대한 항등원이 존재한다'는 조건을 넣을 경우, 곱셈에 대한 항등원을 갖지 않는 환을 유사환(pseudo-ring 또는 rng)이라고 부른다.
  • 유사환의 예: [math]2\mathbb{Z}[/math]

2.3 나눗셈의 성질에 따른 분류

2.3.1 나눗셈 환(division ring)

1을 갖는 환 [math]R[/math]이 나눗셈환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

[math]R^{\times}=R-\left\{ 0\right\} [/math]

• 1을 갖는 환에서 [math]0[/math] 외의 모든 원소가 곱셈에 관한 역원(inverse element)을 가지면 나눗셈이 가능하므로 나눗셈환(division ring)이라 한다. 나눗셈환이 가환이면 체(field)라고 하고, 비가환이면 비가환체(skew-field)라 한다.

2.3.1.1 체(field)

가환나눗셈환(commutative division ring)을 일컫는다.

• 예: 유리수체 [math] \mathbb{Q}[/math], 실수체 [math]\mathbb{R}[/math], 복소수체 [math]\mathbb{C}[/math] 등

2.3.1.2 꼬인 체(skew field)

비가환 나눗셈환을 일컫는다. 즉, 체가 아닌 모든 나눗셈환을 일컫는다.

• 예: [math]\mathbb{H}[/math]

2.3.2 정역((integral) domain)

정수에서는 [math]ab=0[/math]이면 [math]a=0[/math] 또는 [math]b=0[/math]임이 당연했지만, 예를 들어 행렬환에서는 그렇지 않음을(그것이 행렬문제를 더럽게 만드는 주범임을) 우리는 잘 알고 있다.
[math]a\in R[/math]에 대해, [math]ax=0[/math]을 만족하는 0 아닌 [math]x\in R[/math]이 있으면 [math]a[/math]를 좌영인자(left zero divisor)라 하고, [math]ya=0[/math]을 만족하는 0 아닌 [math]y\in R[/math]이 있으면 [math]a[/math]를 우영인자(right zero divisor)라 하며, 그냥 영인자(zero divisor)라 하면 좌영인자이거나 우영인자인 원소를 가리킨다. 다행히(?) 가환환에서는 이들을 구분할 필요가 없다. 한편 좌영인자이면서 우영인자인 원소는 양쪽 영인자(two-sided zero divisor)라고 한다.
영인자는 소거법칙(cancellation law)와 연관된다. [math]R[/math]이 좌영인자를 갖지 않는다는 것은 우소거(right cancellation)가 가능하다는 것과 동치이다. 즉 [math]R[/math]이 좌영인자를 갖지 않으면, [math]R[/math] 위에서 [math]ac=bc[/math]일 때 [math]c\neq 0[/math]이면 [math]c[/math]를 소거하여 [math]a=b[/math]를 얻을 수 있고, 역도 성립한다. 반대로 [math]R[/math]이 우영인자를 갖지 않는다는 것은 좌소거가 가능하다는 것과 동치이다.

• 1을 갖는 가환환이 [math]0[/math] 외의 영인자가 없다면 정역(integral domain) 혹은 (줄여서) 그냥 domain이라 한다. 정역의 대표 주자는 정수이다. 애초에 정수를 추상화 시킨게 정역이니까. 명칭인 정역(integral domain) 자체에 정수(integer)가 들어있다.

모든 체가 정역인 것은 자명한데, 전술했듯 영인자가 없는 것과 소거가 가능한 것은 동치인데 나눗셈은 소거를 함의하기 때문이다. 이는 역으로 나눗셈이 불가능한 정역에서도 소거법칙을 활용해서 상당히 많은 이야기를 할 수 있다는 뜻이 된다. 한편 1을 갖는 가환환일 것을 요구하지 않고 소거법칙이 성립하는 환을 소거환?(cancellation ring?)이라고 부를 수도 있겠으나, 많이 쓰이는 용어는 아니다.

• 정역의 예: 모든 체, 정수환 [math]Z[/math]
• 정역이 아닌 예: [math]n\gt1[/math]에서 [math]M_{n}\left(\mathbb{R}\right)[/math]

2.4 국소화(localization)

환 [math]R[/math]를 "체처럼" 작동하도록 만드는 일이다.
[math]D[/math]가 곱셈적(multiplicative)이라 하자. 그리고 [math]D^{-1}R=\left\{r/d: r\in R, d\in D\right\}[/math]라 정의하면, [math]D^{-1}R[/math]는 국소환이 된다. [math]r/d[/math]는 흔히 생각하는 유리수와 같이 작동한다. 이 정의를 언급하지 않고 얼버무렸지만, 동치류를 이용하여 명확히 정의할 수 있다. [math]0\in D[/math]이면, [math]D^{-1}R=0[/math]이 되어버려 재미가 없다. 따라서, 정역 조건에서 다루는 것이 일반적이다. 정역 조건에서 다음과 같은 줄임표현들이 있다.

• [math]0\neq d[/math]에 대해, [math]D:=\left\{d^{i}:i\geq 0\right\}[/math]이라 할 때, [math]R_{d}:=D^{-1}R[/math]
• (정역이 아니더라도) 소이데알 [math]P[/math]에 대해, [math]D:=R-P[/math]이라 할 때, [math]R_{P}:=D^{-1}R[/math]
• 정역이므로, [math]\left(0\right)[/math]도 소이데알이다. 따라서,[math]R_{\left(0\right)}[/math]라 쓸 수 있다. 이는 체로서, 또한 [math]R[/math]이 묻히는(Embedded) 최소한의 체이다.

2.5 이데알의 성질에 따른 분류

이하에서, 환 [math]R[/math]에 대해, [math]\text{ideal}\left(R \right)[/math]은 이데알들의 모임을 뜻한다.

2.5.1 주이데알환(principal ideal ring)

환 [math]R[/math]이 주이데알환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

[math]\forall I\in\text{ideal}\left(R\right)\exists a\in R \left(a\right)=I[/math]

예: 정수환 [math]\mathbb{Z}[/math], 가우스 정수환 [math]\mathbb{Z}\left[i\right][/math]

2.6 뇌터환(Noetherian ring)

환 [math]R[/math]이 뇌터환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

[math]\forall I\in\text{ideal}\left(R\right)\exists a_{1}, ..., a_{n}\in R \left(a_{1}, ..., a_{n}\right)=I[/math]

예: 정수환 [math]\mathbb{Z}[/math], 정수환의 다항식환[math]\mathbb{Z}\left[x\right][/math]

2.7 국소환(local ring)

환 [math]R[/math]이 국소환이라 함은 [math]R[/math]의 극대 이데알이 유일한 것이다.
예: 모든 체, [math]\mathbb{Q}[/math], [math]2[/math]의 거듭제곱들을 분모로 갖는 유리수 모임.

2.7.1 관련된 정리

• 오름사슬조건(ascending chain condition; ACC)
  

환 [math]R[/math]에 대해, 다음은 모두 동치이다.

• [math]R[/math]가 뇌터환이다.
• [math]\forall I_{i}\in\text{ideal}\left(R\right)\left[\left[\forall i\in \mathbb{N}\qquad I_{i}\subset I_{i+1}\right]\rightarrow\exists n\in N\forall n\ltmI_{n}=I_{m}\right][/math]

• Hilbert's basis theorem
  

[math]R[/math]이 뇌터환이면, [math]R\left[x\right][/math]도 뇌터환이다.

2.8 기타 분류

2.8.1 유클리드 환(Euclidean ring)

환 [math]R[/math]이 유클리드환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

[math]\left|\cdot\right|:R-\left\{ 0\right\} \rightarrow \mathbb{Z}_{\geq 0}[/math]

[math]\forall a,\, b\in R-\left\{ 0\right\} \exists q,\, r\in R\qquad a=bq+r\&\left[r=0\vee\left|r\right|\lt\left|a\right|\right][/math]

2.8.2 유일인수분해 환(unique factorization ring)

환 [math]R[/math]이 유클리드환이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

모든 [math]0\neq a\in R[/math]은 유일한 인수분해를 갖는다.

2.8.2.1 관련된 정리들

[math]R[/math]와 [math]R\left[x\right][/math]가 UFD임은 동치이다.

2.9 포함 관계

[math]\text{ED}\varsubsetneq\text{PID}\varsubsetneq\text{UFD}\varsubsetneq\text{domain}[/math]

[math]\text{PID}\varsubsetneq\text{Notherian domain}[/math]

여기서, [math]\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right]\in\text{PID}-\text{ED}[/math], [math]\mathbb{Z}\left[x,y\right]\in\text{UFD}-\text{PID}[/math], [math]\mathbb{Z}\left[\sqrt {-5}\right]\in\text{domain}-\text{UFD}[/math], [math]\mathbb{Z}\left[x,y\right]\in\text{Notherian domain}-\text{PID}[/math]

3 곱환(product ring)

[math]R[/math], [math]S[/math]가 환일 때 [math]R\times S[/math]에 연산을 좌표별(componentwise)로 정의하면 [math]R\times S[/math] 역시 환이 되는데, 이런 식의 대수적 구조를 direct product라고 하므로 이런 환을 곱환이라 할 수 있다.

4 부분환(subring)

[math]R[/math]이 환일 때, [math]R[/math]의 부분집합 [math]S[/math]가 [math]R[/math]로부터 물려받은 연산에 관해 그 자신이 환이 되면 [math]S[/math]를 [math]R[/math]의 부분환(subring)이라 하고, 반대의 관계를 확장환(extension ring)이라 한다. [math]S \leq R[/math], [math]R/S[/math] 로 적는다.
이렇게만 정의해도 군의 성질에 의해 [math]0_{S}=0_{R}[/math]을 쉽게 보일 수 있는데(사실 [math]\mathbb{Z}[/math] -가군으로 보면 더 쉽다), 문제는 곱셈의 항등원 [math]1[/math]이다. 벡터공간이나 군에서는 없던 다음과 같은 극악한 문제가 있다.

[math]\mathbb{Z} \times 0\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \times 2\mathbb{Z} \leq \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} [/math]

[math]\mathbb{Z} \times 0\mathbb{Z}[/math] 은 [math]\left(1,0\right)[/math] 곱셈의 항등원으로 갖고, [math]\mathbb{Z}\times 2\mathbb{Z}[/math] 은 [math]1[/math]이 없고, [math]\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}[/math]은 [math]\left(1,1\right)[/math]을 곱셈의 항등원으로 갖는다. 즉, [math]1[/math]을 갖는 환의 부분환이 [math]1[/math]이 없을 수도 있고, [math]1[/math]이 없는 환의 부분환이 [math]1[/math]을 가질 수도 있고, [math]1[/math]을 갖는 환의 부분환이 [math]1[/math]을 갖는데 그게 원래 환의 [math]1[/math]과 다를 수도 있다!

환론에서는 [math]1[/math]을 갖는 환만을 주된 연구의 대상으로 삼기도 하는데, 그 경우 이러한 복잡한 상황을 피하기 위해 [math]S[/math]가 곱셈 항등원으로 [math]1_{R}[/math]을 갖도록 제한해 버리기도 한다. 다만 이렇게 하면 이데알(ideal)은 부분환의 일종이 아니고 전혀 별개의 개념이 된다. 한편, 이 문제는 [math]R[/math]이 [math]1[/math]을 갖는 환일 경우 [math]R[/math]-가군 [math]M[/math]을 정의할 때 왜 [math]1\cdot x=x[/math]라는 조건이 필수적인지 설명해 준다([math]R[/math]-가군 [math]M[/math]의 [math]R[/math]-스칼라배 구조와 아벨군 [math]M[/math]의 [math]\mathbb{Z}[/math] -스칼라배 구조가 충돌하지 않기 위해서이다).

그나마 다행인 점은 [math]R[/math]이 정역이면 [math]1_{S}=1_{R}[/math]이 성립한다는 것이다. 이 또한 궁극적으로 소거법칙의 결과이다.

부분환의 예로는 다음과 같은 것이 있다.

• [math] 0\lt2\mathbb{Z}\lt\mathbb{Z}\lt\mathbb{Q}\lt\mathbb{R}\lt\mathbb{C}\lt\mathbb{H} [/math] 가 있다.
  • 한편 잉여환 [math]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/math]는 [math]\mathbb{Z}[/math] 의 준동형상(homomorphic image)이지, 부분환이 아니다.
• 환 [math]R[/math], [math]S[/math], [math]T[/math]에 대해, [math]S\ltR[/math], [math]T\ltS[/math]이면 [math]T\ltR[/math]이다. 즉, 부분환 관계는 추이적(transitive)이다.(정의에 의해 자명하다).

또 다음이 성립한다.

임의의 [math]\alpha\in I[/math]에 대해, [math]S_{\alpha}\ltR[/math]이라 하자. [math]{\displaystyle \bigcap_{\alpha}}S_{\alpha}\ltR[/math]이다.

부분환의 정의는 다음과 동치이다.

1. [math]\left( S,+\right)[/math]는 [math]\left(R,+\right)[/math]의 부분군(subgroup)

2. [math]\left(S,\cdot\right)[/math]는 [math]\left(R,\cdot\right)[/math]의 부분반군(subsemigroup)

와 동치이다.

4.1 부분환의 생성원

[math]X\subset R[/math]에 대해, [math]X[/math]를 포함하는 [math]R[/math]의 가장 작은(smallest) 부분환을 [math]X[/math]가 생성하는 부분환(subring generated by [math]X[/math])이라 하고, [math] \langle X \rangle [/math] 로 적는다. 이 때, [math]X[/math]는 [math]\langle X \rangle[/math]의 생성원이라 한다.smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 [math] \langle X \rangle [/math]의 존재성과 유일성은 [math]\langle X \rangle = \bigcap_{X \subseteq S \leq R} S [/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다.
실제로 [math]\langle X \rangle[/math] 를 계산하려면 \langle X \rangle = $ {X의 모든 원소의 비가환다항식(non-commutative polynomial)}임을 증명하여야 한다. 이는 [math] X \subset S \leq R[/math]일 때마다 [math]S[/math]에는 [math]X[/math]의 모든 원소의 비가환다항식이 다 포함되어야 함을 증명하면 충분한데, 앞서의 부분환 정의의 동치 정리를 생각하면 거의 자명하다.

부분환 [math]S\leq R[/math]이 [math]1_{R}[/math]을 포함하도록 정의하는 경우에는, 위 동치 정리의 (ii)를 [math]\left(S,\cdot,1_{R}\right)[/math]는 [math]\left(R,\cdot,1_{R}\right)[/math]의 부분모노이드(submonoid)인 것”으로 바꾸고, [math]X[/math]가 생성하는 부분환에서는 증명의 모든 [math]X[/math] 대신 [math]X\cup\left\{1_{R}\right\}[/math]을 생각하면 되고, 나머지는 똑같다.

5 이데알(ideal)

이데알은 부분환의 일종이지만, 부분환에 한 가지 조건이 더 추가된다. 부분환과 이데알의 이런 관계는, 군론에서의 부분군과 정규부분군의 관계와도 닮았다. 실제로, 군을 정규부분군으로 잘라 군을 만들 듯이, 환을 이데알로 잘라 환을 얻는다. 하지만, 부분군과 부분환으로는 그것이 불가능하다.

5.1 정의

부분환 [math]I\subset R[/math]이 이데알이라 함은,

모든[math]a\in R[/math]에 대해,

• (좌 이데알(left ideal)) [math]aI\subset I[/math]
• (우 이데알(right ideal)) [math]Ia\subset I[/math]

좌 이데알인 동시에, 우 이데알이면 양쪽 이데알(two side ideal)이라 부른다.

다음이 성립한다.

• 임의의 [math]\alpha\in A[/math]에 대해, [math]I_{\alpha}[/math]가 [math]R[/math]의 이데알이라 하자. [math]{\displaystyle \bigcap_{\alpha}}I_{\alpha}[/math]도 [math]R[/math]의 이데알이다.

== 이데알의 생성원 ==

[math]X\subset R[/math]에 대해, [math]X[/math]를 포함하는 [math]R[/math]의 가장 작은(smallest) 이데알을 [math]X[/math]가 생성하는 이데알(ideal generated by [math]X[/math])이라 하고, [math] \left( X \right) [/math] 로 적는다. [math]X[/math]는 [math] \left( X \right) [/math]의 생성원이라 한다. smallest가 아니고 minimal로 정의하기도 하는데, smallest로 정의하면 존재성이, minimal로 정의하면 유일성이 문제되나……
이러한 부분환 [math] \left( X \right) [/math]의 존재성과 유일성은 [math]\left( X \right) = \bigcap_{X \subset I \leq R} I [/math]를 증명하면 보일 수 있다. 증명은 부분환의 교집합이 다시 부분환인 것만 보이면 충분한데, 앞에서 이미 보였다. 이하 과정은 부분환의 그것과 동문이다.

5.2 특별한 이데알들

이하에서, 환 [math]R[/math]은 가환이고, 단위원 [math]1[/math]을 갖는다고 가정한다.

5.2.1 소 이데알(prime ideal)

5.2.1.1 정의

[math]R[/math]의 이데알 [math]P[/math]가 [math]R[/math]의 소 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 [math]a,b\in R[/math]에 대해, [math]ab\in P[/math]이면, [math]a\in P[/math] 또는 [math]b\in P[/math]이다.

5.2.1.2 관련된 정리들

• Eisenstein's criterion
  

[math]R[/math]이 정역, [math]P[/math]가 [math]R[/math]의 소 이데알이라 하자. [math]f=\sum a_{i}x^{i}[/math]에 대해,

• [math]\forall i\ltn a_{i}\in P[/math]
• [math]a_{n}\notin P[/math]
• [math]a_{0}\notin P^{2}[/math]

이면, [math]f[/math]는 irreducible이다.

• 소원의 이데알은 소 이데알이다.

5.2.2 으뜸 이데알(primary ideal)

으뜸 이데알은 소이데알의 조건을 약화시킨 것이다.

5.2.2.1 정의

[math]R[/math]의 이데알 [math]Q[/math]가 [math]R[/math]의 으뜸 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 [math]a,b\in R[/math]에 대해, [math]ab\in P[/math]이면, [math]a\in P[/math] 또는 [math]\exists n\geq 1,\,b^{n}\in P[/math]이다.

5.2.3 극대 이데알(maximal ideal)

[math]R[/math]의 이데알 [math]M[/math]가 [math]R[/math]의 극대 이데알이라 함은 다음이 성립하는 것이다.

임의의 이데알 [math]M \subset I \subset R[/math]에 대해, [math]I=R[/math]또는, [math]I=M[/math]이다.

일반적으로 Maximal은 더 이상 큰 것이 없다는 뜻이지만, 이데알에서 이런 식으로 정의하면 그냥 원래 환 [math]R[/math]이 되어버려 아무 의미가 없어지기 때문에 [math]R[/math]은 빼놓고 생각하는 것이다.

5.2.4 관련된 정리들

• 극대 이데알의 몫환은 체이다
• (비가환 환에서도) 모든 이데알은 극대 이데알의 부분집합이다.
• (비가환 환에서도) 극대 이데알을 갖는다.
• PID 위에서, 기약원의 이데알은 극대 이데알이다.

6 몫환(factor ring)

환 [math]R[/math]과 그것의 이데알 [math]I[/math]를 생각하자. [math]R/I:=\left\{a+I:a\in R\right\}[/math]에 대해 연산을 다음과 같이 정의할 때, [math]R/I[/math]는 다시 환을 이룬다.

(덧셈)[math]\left(a+I\right)+\left(b+I\right)=\left(a+b\right)+I[/math]

(곱셈)[math]\left(a+I\right)\cdot\left(b+I\right)=\left(a\cdot b\right)+I[/math]

여기서 합동식 [math]\text{mod} I[/math]를 [math]a\equiv b \left(\text{mod} I\right)[/math](간단히 쓰자면, [math]a\equiv b \left(I\right)[/math])를 [math]a+I=b+I[/math]로 정의할 수 있다.

6.1 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem; CRT)

단위원을 갖는 가환환 [math]R[/math]과 그것의 이데알 [math]I_{1},\ldots,\, I_{n}[/math]을 생각하자. [math]\left\{I_{i}:i=1,\ldots,\,n\right\}[/math]이 comaximal하다고 하자. 그러면, [math]R/\left({\displaystyle \bigcap_{i}}I_{i}\right)\cong{\displaystyle \prod_{i}}\left(R/I_{i}\right)[/math]이다.

이를 와닿게 표현하자면, 임의의 [math]a_{i}\in R[/math]에 대해 합동 연립방정식 [math]x\equiv a_{i}\left(I_{i}\right)[/math]의 해가 존재함을 의미한다. 이는 정수환 [math]\mathbb{Z}[/math]에 대해, [math]\left\{ \begin{array}{c}x\equiv2\left(6\right)\\x\equiv1\left(4\right)\end{array}\right.[/math]의 해가 없는 것과 대조적이다.