Binomial Theorem
1 개요
이항정리는 보통 조합을 배운 뒤 바로 배우는 내용으로서, (a+b)n의[1] 일반항을 계산할 때 쓰이는 정리이다. 예를 들어, (a+b)3의 전개식에서 ab2의 계수를 찾고 싶다고 하자. (a+b)3는 (a+b)(a+b)(a+b)로 쓸 수 있고, 여기서 ab2의 계수는 전개시 각 항에서 순서에 상관 없이 a를 한번, b를 두 번 뽑은 경우의 수와 같다. 즉, 구하고자 하는 계수는 \binom{3}{1}=3.[2] 일반적인 경우는 다음과 같다.
n이 양의 정수일 때, \left(a+b\right)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n이다. 여기서 \binom{n}{r}a^{n-r}b^r를 일반항, \binom{n}{r}를 이항계수라 한다.
일반항을 써서 간단히 정리하면, \left(a+b\right)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{n-r}b^r.
위 a,b에 다른 항을 넣어 치환해도 식은 성립하므로 이항정리를 사용해 차수가 큰 식의 전개를 빠르게 할 수 있다.
2 성질
\left(1+x\right)^n를 이항정리를 사용해 전개하면, \left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n이고, 이는 항등식이므로 x에 아무 값을 넣어도 성립한다. 아래 성질은 여기서 유도된다.
먼저 x에 1을 넣으면,
- 2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}
x에 -1을 넣으면,
- 0=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+\left(-1\right)^n\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}
위 두 식을 더한 뒤 2로 나누면,
- 2^{n-1}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots (홀수 번째 계수의 합)
처음 두 식을 뺀뒤 2로 나누면,
- 2^{n-1}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots (짝수 번째 계수의 합)
또한, \left(1+x\right)^{2n}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)^n이고, 양변의 x^n의 계수를 비교하면, \binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{1}+\binom{n}{n}\binom{n}{0}이다. 그런데 \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}이므로,
- \binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2
한편, 파스칼의 정리[3]에서도 여러 성질이 유도된다.
먼저, \binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}에서, \binom{0}{r+1}=0이므로, 이를 제일 왼쪽에 더해주면, \binom{0}{r+1}+\binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{1}{r+1}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{2}{r+1}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\cdots=\binom{n+1}{r+1}. 정리하면,
- \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}
비슷한 방법으로, \binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}에서 \binom{n}{0}=\binom{n+1}{0}이므로, \binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+2}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+3}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+r+1}{r}. 정리하면,
- \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r}
마지막으로, \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n라 하면, F_0, F_1, \cdots은 피보나치 수열을 이룬다. 명백히 F_0=1, F_1=1이고, 점화식 F_n=F_{n-1}+F_{n-2}는 파스칼의 정리를 사용하면 된다.
마지막으로 미분을 사용하여 몇가지 등식을 유도할 수도 있다.
\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n의 양변을 x에 관해 미분하면, n\left(1+x\right)^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}x+3\binom{n}{3}x^2+\cdots+n\binom{n}{n}x^{n-1}이고, x=1을 대입하면, n2^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n}이다. 정리하면,
- \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1}[4]
\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n의 양변을 x에 관해 두번 미분하면 아래 등식을 얻을 수 있다.
- \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}[5]
위 성질들을 간단히 표로 나타내면 다음과 같다. [6]
1. \sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n
1. \sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}=0
1. \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1} (홀수 번째 계수의 합)
1. \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1} (짝수 번째 계수의 합)
1. \binom{2n}{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}^2
1. \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}
1. \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r}
1. \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n는 피보나치 수열을 이룬다.
1. \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1}
1. \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}
3 다항정리
이항정리는 항이 2개 일 때 쓴다면, 다항정리는 항이 2개보다 많을 때 쓴다. 정리는 아래와 같다.
\left(x_1+x_2+\cdots+x_r\right)^n=\sum\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_r}{x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}\cdots{x_r}^{n_r}
여기서 \binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_r}는 r개의 물체 중 첫번째 것을 n_1, 두번째 것을 n_2, ..., r번째 것을 n_r개 뽑는 가짓 수를 말한다 (n_1+n_2+\cdots+n_r=n). 증명은 다음과 같다.
r=3인 경우만 증명한다. 일반적인 경우도 동일한 방법으로 증명할 수 있다.[7] \left(x+y+z\right)^n는 인수 \left(x+y+z\right)를 n번 곱한 것이다. 이 곱을 전개하면 총 3^n개의 항이 나오며, 각 항은 x^{n_1}y^{n_2}z^{n_3}, \, \left(n_1+n_2+n_3=n\right)의 꼴이다. 저 항을 얻기 위해선 n개의 인수 중에서 x를 n_1번, y를 n_2번, z를 n_3번 뽑아야 한다. 즉 계수는 \binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}=\binom{n}{n_1,n_2,n_3}이다. 따라서 \left(x+y+z\right)^n=\sum\binom{n}{n_1,n_2,n_3}x^{n_1}y^{n_2}z^{n_3}이다.
고등학교에선 어려워봤자 항이 3개이며, \left(x+y+z\right)^n의 전개식에서 x^ay^bz^c, \, \left(a+b+c=n\right)의 계수는 \frac{n!}{a!b!c!}임을 알기만 하면 된다.
4 관련 항목
- 이동 ↑ 항이 두개이다. 이름이 괜히 이항정리인게 아니다.
- 이동 ↑ _3C_1=3 이라는 뜻. 행렬이 아니다.
- 이동 ↑ \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}
- 이동 ↑ r\binom{n}{r}=n\binom{n-1}{r-1}임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.
- 이동 ↑ r\left(r-1\right)\binom{n}{r}=n\left(n-1\right)\binom{n-2}{r-2}임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.
- 이동 ↑ 당연하지만 외우려들지 말고 유도 과정을 아는 것이 더 중요하다.
- 이동 ↑ 수학적 귀납법을 사용하여 엄밀하게 증명할 수도 있다.