이항정리

Binomial Theorem

1 개요

이항정리는 보통 조합을 배운 뒤 바로 배우는 내용으로서, [math]\left(a+b\right)^n[/math]의[1] 일반항을 계산할 때 쓰이는 정리이다. 예를 들어, [math]\left(a+b\right)^3[/math]의 전개식에서 [math]ab^2[/math]의 계수를 찾고 싶다고 하자. [math]\left(a+b\right)^3[/math]는 [math]\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)[/math]로 쓸 수 있고, 여기서 [math]ab^2[/math]의 계수는 전개시 각 항에서 순서에 상관 없이 [math]a[/math]를 한번, [math]b[/math]를 두 번 뽑은 경우의 수와 같다. 즉, 구하고자 하는 계수는 [math]\binom{3}{1}=3[/math].[2] 일반적인 경우는 다음과 같다.

[math]n[/math]이 양의 정수일 때, [math]\left(a+b\right)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n[/math]이다. 여기서 [math]\binom{n}{r}a^{n-r}b^r[/math]를 일반항, [math]\binom{n}{r}[/math]를 이항계수라 한다.
일반항을 써서 간단히 정리하면, [math]\left(a+b\right)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{n-r}b^r[/math].

위 [math]a,b[/math]에 다른 항을 넣어 치환해도 식은 성립하므로 이항정리를 사용해 차수가 큰 식의 전개를 빠르게 할 수 있다.

2 성질

[math]\left(1+x\right)^n[/math]를 이항정리를 사용해 전개하면, [math]\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n[/math]이고, 이는 항등식이므로 [math]x[/math]에 아무 값을 넣어도 성립한다. 아래 성질은 여기서 유도된다.

먼저 [math]x[/math]에 1을 넣으면,

  • [math]2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}[/math]

[math]x[/math]에 -1을 넣으면,

  • [math]0=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+\left(-1\right)^n\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}[/math]

위 두 식을 더한 뒤 2로 나누면,

  • [math]2^{n-1}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots[/math] (홀수 번째 계수의 합)

처음 두 식을 뺀뒤 2로 나누면,

  • [math]2^{n-1}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots[/math] (짝수 번째 계수의 합)

또한, [math]\left(1+x\right)^{2n}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)^n[/math]이고, 양변의 [math]x^n[/math]의 계수를 비교하면, [math]\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{1}+\binom{n}{n}\binom{n}{0}[/math]이다. 그런데 [math]\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}[/math]이므로,

  • [math]\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2[/math]

한편, 파스칼의 정리[3]에서도 여러 성질이 유도된다.

먼저, [math]\binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}[/math]에서, [math]\binom{0}{r+1}=0[/math]이므로, 이를 제일 왼쪽에 더해주면, [math]\binom{0}{r+1}+\binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{1}{r+1}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{2}{r+1}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\cdots=\binom{n+1}{r+1}[/math]. 정리하면,

  • [math]\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}[/math]

비슷한 방법으로, [math]\binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}[/math]에서 [math]\binom{n}{0}=\binom{n+1}{0}[/math]이므로, [math]\binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+2}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+3}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+r+1}{r}[/math]. 정리하면,

  • [math]\sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r}[/math]

마지막으로, [math]\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n[/math]라 하면, [math]F_0, F_1, \cdots[/math]은 피보나치 수열을 이룬다. 명백히 [math]F_0=1, F_1=1[/math]이고, 점화식 [math]F_n=F_{n-1}+F_{n-2}[/math]는 파스칼의 정리를 사용하면 된다.

마지막으로 미분을 사용하여 몇가지 등식을 유도할 수도 있다.

[math]\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n[/math]의 양변을 [math]x[/math]에 관해 미분하면, [math]n\left(1+x\right)^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}x+3\binom{n}{3}x^2+\cdots+n\binom{n}{n}x^{n-1}[/math]이고, [math]x=1[/math]을 대입하면, [math]n2^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n}[/math]이다. 정리하면,

  • [math]\sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1}[/math][4]

[math]\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n[/math]의 양변을 [math]x[/math]에 관해 두번 미분하면 아래 등식을 얻을 수 있다.

  • [math]\sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}[/math][5]

위 성질들을 간단히 표로 나타내면 다음과 같다. [6]

 1. [math]\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n[/math]
 1. [math]\sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}=0[/math]
 1. [math]\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1}[/math] (홀수 번째 계수의 합)
 1. [math]\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1}[/math] (짝수 번째 계수의 합)
 1. [math]\binom{2n}{n}=\sum_{r=0}^{n}\binom{n}{r}^2[/math]
 1. [math]\sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1}[/math]
 1. [math]\sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r}[/math]
 1. [math]\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n[/math]는 피보나치 수열을 이룬다.
 1. [math]\sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1}[/math]
 1. [math]\sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}[/math]

3 다항정리

이항정리는 항이 2개 일 때 쓴다면, 다항정리는 항이 2개보다 많을 때 쓴다. 정리는 아래와 같다.

[math]\left(x_1+x_2+\cdots+x_r\right)^n=\sum\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_r}{x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}\cdots{x_r}^{n_r}[/math]

여기서 [math]\binom{n}{n_1,n_2,\cdots,n_r}[/math]는 [math]r[/math]개의 물체 중 첫번째 것을 [math]n_1[/math], 두번째 것을 [math]n_2[/math], ..., [math]r[/math]번째 것을 [math]n_r[/math]개 뽑는 가짓 수를 말한다 ([math]n_1+n_2+\cdots+n_r=n[/math]). 증명은 다음과 같다.

[math]r=3[/math]인 경우만 증명한다. 일반적인 경우도 동일한 방법으로 증명할 수 있다.[7] [math]\left(x+y+z\right)^n[/math]는 인수 [math]\left(x+y+z\right)[/math]를 [math]n[/math]번 곱한 것이다. 이 곱을 전개하면 총 [math]3^n[/math]개의 항이 나오며, 각 항은 [math]x^{n_1}y^{n_2}z^{n_3}, \, \left(n_1+n_2+n_3=n\right)[/math]의 꼴이다. 저 항을 얻기 위해선 [math]n[/math]개의 인수 중에서 [math]x[/math]를 [math]n_1[/math]번, [math]y[/math]를 [math]n_2[/math]번, [math]z[/math]를 [math]n_3[/math]번 뽑아야 한다. 즉 계수는 [math]\binom{n}{n_1}\binom{n-n_1}{n_2}\binom{n-n_1-n_2}{n_3}=\binom{n}{n_1,n_2,n_3}[/math]이다. 따라서 [math]\left(x+y+z\right)^n=\sum\binom{n}{n_1,n_2,n_3}x^{n_1}y^{n_2}z^{n_3}[/math]이다.

고등학교에선 어려워봤자 항이 3개이며, [math]\left(x+y+z\right)^n[/math]의 전개식에서 [math]x^ay^bz^c, \, \left(a+b+c=n\right)[/math]의 계수는 [math]\frac{n!}{a!b!c!}[/math]임을 알기만 하면 된다.

4 관련 항목

  1. ↑ 항이 두개이다. 이름이 괜히 이항정리인게 아니다.
  2. ↑ [math]_3C_1=3[/math] 이라는 뜻. 행렬이 아니다.
  3. ↑ [math]\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}[/math]
  4. ↑ [math]r\binom{n}{r}=n\binom{n-1}{r-1}[/math]임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.
  5. ↑ [math]r\left(r-1\right)\binom{n}{r}=n\left(n-1\right)\binom{n-2}{r-2}[/math]임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.
  6. ↑ 당연하지만 외우려들지 말고 유도 과정을 아는 것이 더 중요하다.
  7. ↑ 수학적 귀납법을 사용하여 엄밀하게 증명할 수도 있다.