경우의 수

境遇의 數, number of cases

1 개요

한국축구의 영원한 친구

확률과 통계의 가장 기본적인 개념. 1회의 시행에서 미래에 일어날 수 있는 사건의 가짓수가 n개라고 할 때, 그 사건의 경우의 수를 n이라고 한다.

대한민국 교육과정에서는 초등학교 수학 확률 단원에서 처음으로 배우게 되며, 중학교에서 보다 제대로 배운다. 고등학교 때 순열과 조합을 배우게 되면 훨씬 편하게 구할 수 있다.

2 법칙

여러 개의 사건이 일어날 때 경우의 수를 따지는 방법.

사건 A 또는 B가 일어나는 경우의 수를 구할 때에는 합의 법칙이 이용된다. (예:주사위 2개를 던져서 나온 눈의 수의 합이 7 또는 8인 경우의 수) 반면에 사건 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수를 구할 때에는 곱의 법칙이 이용된다. (예:동전 3개를 동시에 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수) 이 부분에서 많이 햇갈리게 되는데, 간단히 말해 사건과 사건이 이전의 결과에 영향을 받거나 관계가 서로 엮여있을 때 곱의 법칙을 사용하고, 영향을 받지 않는 독립적인 사건이라면 합의법칙을 사용하면 된다. '동시성'이라는 단어가 애매한 것이, 예를 들어 3개의 갈림길을 지나 다시 2개의 갈림길중 하나를 선택하는 문제라면, 분명 동시에 일어나는 사건은 아니지만 곱의 법칙을 사용해야 한다. 정 모르겠다면 문제에서 숫자를 줄여서 상상해보자. 이런 연습을 여러번 거치다 보면 자유자재로 두 법칙을 사용하게 될것이다.

2.1 합의 법칙

경우의 수를 구해야 할 여러 사건들이 동시에 일어나는 것이 아니라면, 경우의 수를 합쳐서 계산하게 된다.

두 사건 A, B의 경우의 수를 따진다면, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수는 n가지라면 A와 B 어느 쪽이 일어나는 경우의 수는 m+n 가지이다.

2.2 곱의 법칙

경우의 수를 구해야 할 여러 사건들이 서로 영향을 주지 않는다면, 경우의 수를 곱해서 계산하게 된다.

두 사건 A, B의 경우의 수를 따진다면, 사건 A가 일어나는 경우의 수가 m가지, 사건 B가 일어나는 경우의 수는 n가지라면 A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m*n 가지이다.

3 실생활에서의 경우의 수

  • 동전 던지기 : 앞면, 뒷면 2가지 가운데 하나가 나올 수 있으므로 경우의 수는 2이다. 단, 동전이 빨딱 서면 니가 내 부하
  • 가위 바위 보
    • 가위, 바위, 보 가운데 1가지가 나오게 된다. 경우의 수는 3이다.
    • 2명이 가위 바위 보를 한다면, 곱의 법칙이 적용되어 3 * 3 = 9 가지의 경우의 수가 나오게 된다.
  • 윷놀이 : 단순히 생각해 도, 개, 걸, 윷, 모 5가지 가운데 1가지가 나올 수 있으므로 경우의 수는 5이라고 생각할 수 있으나, 실제로는 4개의 윷가락을 사용하고 각각의 윷가락은 앞/뒤가 존재하기 때문에 2^4 = 16가지의 경우의 수가 존재한다. 도/개/걸/윷/모가 나올 수 있는 확률은 다음과 같다. (단, 윷가락이 뒤집어질 확률과 엎어질 확률은 1:1로 같다고 가정)
도, 걸1/4
도(뒷도 제외)3/16
개3/8
윷, 모, 뒷도(빽도)1/16

그러나 실제 윷가락은 곡면이 아래로 오기 힘드므로 모→백도→윷 으로 갈수록 확률이 낮아진다고 보면 된다.

3.1 축구에서 경우의 수

FIFA 월드컵이나 AFC 아시안컵 등, 국제대회가 벌어지면 언론에서 "대한민국이 16강을 갈 수 있는 경우의 수는?"을 자주 따지게 된다.

4팀이 벌이는 예선에서 2경기를 남겨놓고 경우의 수를 따지게 되는 일이 많다. 특히 마지막 2경기는 승부조작이나 죽은 경기가 되는 걸 방지하기 위해 동시에 진행하기 때문에 경기가 진행되는 순간에도 경우의 수가 확확 바뀐다.

예선전에서 승부 결과는 승리, 패배, 무승부 3가지가 나올 수 있으므로 경우의 수는 3가지가 되며, 마지막 2경기는 동시에 치루어지는 것이 관례이므로 3 * 3으로 9가지 상황의 "경우의 수"로 16강 진출 확률을 따지게 되는 것이다.

어지간해서는 경우의 수를 따지지 않는 경우는 드물다. 2승이나 2패를 하지 않는 한 바로 진출이나 탈락이 확정되는 경우는 없고(골득실 차이가 심하면 사실상 결정된거나 다름없기도 하지만) 설령 2승, 2패를 한 팀도 다음 경기의 결과에 따라 1승 2패로 진출하거나, 2승 1패로 탈락할 수 있는 가능성이 있기 때문이다. 2승 1패로 탈락하는 경우, 이게 어찌보면 1승 2무로 조별리그에서 무패 탈락하는 경우보다 더 억울할 수도 있다.

왜냐하면 (1승을 승점 3점, 1무를 승점 1점으로 계산할 때) 2승 1패는 승점 6점이고 1승 2무는 승점 5점으로 2승 1패가 승점이 더 높기 때문이다. 대한민국도 2001년 컨페더레이션스컵 당시에 2승 1패 탈락을 겪어보지 않았나? 그러니 맨날 경우의 수 따진다고 뭐라고 할 일이 아니다. 그게 훨씬 자연스러운 일이다. 반면 운이 좋으면 2무 1패 승점 2점으로도 조 2위로 16강에 갈 수 도 있다.

따지기 귀찮고 머리 아픈 사람들을 위해서는... 그냥 다 필요없고 이기면 된다.(...) 하지만 그만한 실력이 안 된다.(...) 아니 아무리 실력이 되어도 불운이 겹쳐서 한끝차로 탈락하는 경우들이 상당히 있기 때문에 이 팀을 뺀 나머지 거의 모든 팀들은 실력도 실력이지만 결국은 따질 필요가 생긴다.

만일 자력 진출이 무산되었을 경우라면 이보다 훨씬 복잡해진다. 자체의 경우의 수 뿐만 아니라 타 경기의 경우의 수까지 고려해야 하기 때문이다. 대표적인 사례가 도하의 기적.[1]

승점이 같을 경우 골 득실을 따져 골 득실이 높은 팀에게 우선권이 주어지며, 골 득실이 같을 경우 득점이 더 많은 팀에게 우선권이 주어진다(다득점). 만일 득점도 같을 경우 해당 팀들간의 전적에서 승리한 팀에게 우선권이 주어지며(승자승),[2] 무승부일 경우 해당 팀들을 제외한 나머지 팀들과의 전적에서 골 득실과 다득점을 따진다. 만일 여기까지 왔음에도 여전히 동률이라면 홈 앤드 어웨이 방식일 경우 원정 다득점 원칙을 적용하며, 홈 앤드 어웨이 방식이 아니거나 위의 경우에도 여전히 동률일 경우 중립구장 경기를 치르게 된다. 한편 중립구장 경기를 치를 수 없는 상황일 경우 승부차기로 진출 탈락 여부를 가리게 된다[3].

3.2 야구에서 경우의 수

포스트시즌 진출 여부를 가리기 위해 따진다.

본디 한국 야구에선 국제대회에선 이 경우의 수와는 거리가 멀어보였지만 웬 국내대회용 감독이 시원하게 말아먹으면서 생겨버렸다.그 국내대회용 감독외엔 아시아시리즈 우승감독이 국내에 없다는게 함정

3.3 NFL에서 경우의 수

축구나 야구의 경우의 수 따위는 명함도 못 내미는 경우의 수의 본좌. 역시 플레이오프 진출 여부와 시드를 가리기 위해 따진다.

1년에 고작 16경기만 치르는 리그의 특성, 플레이오프에서 차지하는 시드의 중요성, 그리고 소속지구를 가리지 않고 성적을 비교해야 하는 와일드카드 자리의 존재가 NFL에서 경우의 수를 복잡하게 만드는 요인이다. NFL에서는 적은 경기수로 인해 매해 성적이 동률이 되는 팀이 쏟아져 나오기 때문에 굉장히 복잡한 타이브레이커 룰이 존재한다. 또한 플레이오프에서 몇번 시드를 차지하느냐가 홈필드 어드밴티지 등 플레이오프에서의 향배를 크게 좌우하기 때문에 이 경우의 수를 계산하는 것이 각 팀의 행보에 매우 중요하다. 이 계산되는 경우의 수에 따라 각 팀이 그 주의 경기를 정말 사생결단의 각오로 임해야 할지 아니면 조금 느긋하게 여유를 가지고 할 수 있는지, 다른 팀을 신경써야 할지 아니면 자신들의 경기에만 집중해도 되는지가 결정된다. 그래서 매년 시즌 막판 한달 전 쯤 되면 각 스포츠 사이트에 NFL이 규정한 타이브레이커의 룰에 따라 플레이오프 진출 가능성이 있는 각 팀의 지구 우승, 시드 및 와일드 카드 획득 여부를 결정하는 조건을 매주마다 업데이트 할 정도이다. 보통 특정팀의 플레이오프에서의 시드 획득 여부를 해당 팀이 이기거나 질 경우 어떤어떤 팀이 비기거나 져야 되는가 식으로 표현하게 된다.[4]

이러한 경우의 수는 최악의 경우 시즌 마지막 주까지 16팀으로 이루어진 각 컨퍼런스의 절반이 넘는 팀이 얽혀들어가기 때문에[5] 이 복잡한 타이브레이커 룰을 복수의 팀에 동시에 적용하면서 플레이오프의 대진표의 경우의 수를 따지는 것은 개인적으로 엄청난 시간낭비이기 때문에 그냥 자기가 응원하는 팀의 플레이오프 및 시드 조건을 각 스포츠 사이트에서 확인하는 것이 속 편하다.

4 관련 항목

  1. ↑ 당시 대한민국 대표팀은 이란과의 첫 경기에서 승리했지만, 사우디, 이라크와 무승부를 이루고, 일본에 패하며 자력 진출이 불가능해졌다. 대한민국 대표팀이 1994 미국 월드컵 본선 진출 티켓을 따내려면 마지막 경기인 북한전에서 최소 2골 차 이상으로 이기고, 이란과 이라크가 각각 사우디와 일본에 최소 무승부 이상을 거두어야 했다.
  2. ↑ 단 유럽 축구 연맹(UEFA) 주관 대회에서는 승자승이 다득점에 우선한다.
  3. ↑ 이러한 사례는 2010년 광저우 아시안 게임 여자 축구에서 한국과 중국의 경기에서 있었다. 다만 이 경우는 조 1,2위를 가리는 경기였다.
  4. ↑ 일례로 2015년 시즌 인디애나폴리스 콜츠는 지구 우승을 놓고 휴스턴 텍산스와 경쟁을 했다. 정규시즌 마지막 경기를 남겨두고 콜츠가 진출하는 경우의 수는 딱 한 가지였는데 17주차에 자신들의 승리+휴스턴 텍산스 패+뉴올리언스 세인츠 패+신시내티 벵갈스 패+뉴욕 제츠 패+애틀랜타 팰컨스 승+마이애미 돌핀스 승+덴버 브롱코스 승+피츠버그 스틸러스 승(...)이었다. 즉, 이 중 한 경기만 어긋나도 텍산스가 플레이오프 올라가고, 콜츠가 플레이오프에서 탈락한다는 얘기이다. 반면 경쟁상대인 휴스턴의 경우에는 플레이오프 진출 조건이 (1)자신들이 이기거나 (2) 뉴올리언스 세인츠, 신시내티 벵갈스, 뉴욕 제츠, 캔자스시티 칩스 중 한 팀이라도 승리 (3) 혹은 인디애나폴리스 콜츠, 마이애미 돌핀스, 덴버 브롱코스, 피츠버그 스틸러스 중 한 팀이라도 패배로 이상 열거한 조건 중에서 하나만이라도 충족되면 휴스턴이 인디애나폴리스를 누르고 플레이오프에 진출하게 된다는 얘기이다. 이 조건을 받아든 콜츠팬들은 당연히 절망할 수 밖에 없다. 그리고 휴스턴 텍산스의 승리로 2015년 AFC 남부지구의 패권은 휴스턴이 차지하게 된다.
  5. ↑ 2002년 시즌의 경우 AFC 소속 16개 팀 중에서 시즌 마지막 주까지 무려 12개 팀이 경우의 수가 계산되어 나왔다.