조합

Combination
組合せ/組み合わせ(くみあわせ)[1]

조합의 본래 뜻은 말 그대로 뭔가를 섞거나 합친다는 것이다.수학과 관련 없음

1 개요

서로 다른 n
개의 원소에서 중복을 허락하지 않고, 또 순서에 상관없이 r
개를 뽑을 때, 이를 n
개에서 r
개를 택하는 조합이라고 한다.

기호로는 nCr,C(n,r),(nr)

등이 있다. 한국의 고등학교 과정에서는 nCr
이 쓰이지만 세계적으로는 (nr)
이 많이 쓰인다.

순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자 - 3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 3가지 이지만 순열을 쓴다면 3P2=3×2=6

이므로 순열과는 다른 공식이 필요함을 알 수 있다. 실제 구하는 방법은 같은 것이 있는 경우의 수열과 비슷하게, 2명의 대표가 같으므로 2!으로 나눠주면 된다. 곧, 3C2=3P22!
임을 알 수 있다. 일반적인 경우는 다음과 같다.

nCr=nPrr!=n!(nr)!r!

다만 위 정의에서 한가지 문제가 생기는데, 바로 nC0

. 상식적으로 생각해 봤을 때, n개중 0개를 뽑는 가짓수는 1가지 밖에 없다. 하지만 조합을 계산하는 가정에 순열이 들어가는데, n부터 시작해서 1씩 줄여나가며 0개를 곱하는 것이 상상이 되는가[2].

2 중복 조합

조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 ((nr))

을 쓰며, 한국에서는 nHr
도 통한다[3].

중복조합의 가짓 수를 실제로 구하려고 해보면 순열이나 위의 조합과는 다르게 훨씬 복잡함을 알 수 있다. 계산공식을 유도하는 과정은 보통 "원"과 "막대기"를[4] 사용해서 설명한다. 예로, 숫자 1, 2, 3중 중복을 허락하여 5개를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 일단 5개를 뽑으므로 원 5개를 나란히 그린다. 이제 이 5개의 원 사이에 막대기를 집어넣어 3그룹으로 나눈다. 3그룹으로 나누기 위해 필요한 막대기의 수는 (3-1) = 2개이고, 나눠진 각 그룹에 있는 원의 수를 각각 숫자 1, 2, 3을 뽑는 개수라고하면 구하고자 하는 값이 나온다. 즉 총 가짓 수는 5개의 원과 2개의 막대기를 나열하는 가짓 수와 같고, 이는 7개의 칸중 원을 그릴 5개의 칸을 정하는 것과 동일하다. 즉, 5+31C5=7C5

가 답. 일반적인 경우는 다음과 같다.

nHr=n+r1Cr

3 조합의 성질

  1. nCr=nCnr
    : n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
  2. n1Cr1+n1Cr=nCr
    : n개중 한개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓 수는 n1Cr1,n1Cr
    이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
  3. 이항정리 참조.

4 예시

조합

남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수: 남자 3명을 뽑는 수는 5C3=10

, 여자 2명을 뽑는 수는 5C2=10
. 곱의 법칙에 의해 전체 가짓 수는 10×10=100
. 이 5명을 원탁에 앉히므로, 원순열에 의해 100×(51)!=2400

중복조합

음이 아닌 정수 x,y,z

에 대해, x+y+z3
를 만족시키는 순서쌍 (x,y,z)
의 수: x+y+z=n
를 만족시키는 순서쌍 (x,y,z)
의 수는 3개중 중복을 허락하여 n개를 뽑는 가짓 수와 동일하다. 즉, 구하고자 하는 답은 3H0+3H1+3H2+3H3=2C0+3C1+4C2+5C3=1+3+6+10=20
.

5 관련 항목

  1. 이동 집단의 일종은 組合라고 쓰고 くみあい라고 읽는다.
  2. 이동 하지만 nP0
    이 이미 정의 되어있기 때문에 실제로 큰 문제는 아니다.
  3. 이동 중복순열의 Π 기호와 마찬가지로, 출처 불명의 기호이다. homogenous에서 h를 딴 것이라고 한다.
  4. 이동 혹은 비슷한 다른 무언가