Combination
組合せ/組み合わせ(くみあわせ)[1]
조합의 본래 뜻은 말 그대로 뭔가를 섞거나 합친다는 것이다.수학과 관련 없음
1 개요
서로 다른 n개의 원소에서 중복을 허락하지 않고, 또 순서에 상관없이 r개를 뽑을 때, 이를 n개에서 r개를 택하는 조합이라고 한다.
기호로는 nCr,C(n,r),(nr)
순열과 마찬가지로 뭔가 거창한 정의가 붙었지만 실상은 초등학교에서부터 풀어온 경우의 수를 좀 더 수학적으로 나타낸 것 뿐이다. 다만 계산하는 것은 조금 더 까다로워 졌다. 계산하는 공식을 예시를 통해 유도해보자 - 3명중 대표 2명을 뽑는 가짓 수를 생각하자. 실제 가짓 수는 3가지 이지만 순열을 쓴다면 3P2=3×2=6
nCr=nPrr!=n!(n−r)!r!
다만 위 정의에서 한가지 문제가 생기는데, 바로 nC0
2 중복 조합
조합과 마찬가지로 n개의 원소에서 r개를 순서에 상관없이 뽑는데, 중복을 허락할 때의 가짓 수. 기호로는 ((nr))
중복조합의 가짓 수를 실제로 구하려고 해보면 순열이나 위의 조합과는 다르게 훨씬 복잡함을 알 수 있다. 계산공식을 유도하는 과정은 보통 "원"과 "막대기"를[4] 사용해서 설명한다. 예로, 숫자 1, 2, 3중 중복을 허락하여 5개를 뽑는 경우의 수를 생각해보자. 일단 5개를 뽑으므로 원 5개를 나란히 그린다. 이제 이 5개의 원 사이에 막대기를 집어넣어 3그룹으로 나눈다. 3그룹으로 나누기 위해 필요한 막대기의 수는 (3-1) = 2개이고, 나눠진 각 그룹에 있는 원의 수를 각각 숫자 1, 2, 3을 뽑는 개수라고하면 구하고자 하는 값이 나온다. 즉 총 가짓 수는 5개의 원과 2개의 막대기를 나열하는 가짓 수와 같고, 이는 7개의 칸중 원을 그릴 5개의 칸을 정하는 것과 동일하다. 즉, 5+3−1C5=7C5
nHr=n+r−1Cr
3 조합의 성질
- nCr=nCn−r: n개중 r개를 뽑는 것은 n개중 n-r개의 뽑지 않을 것을 뽑는 것과 가짓수가 같다. 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- n−1Cr−1+n−1Cr=nCr: n개중 한개를 고정한다. 이제 n개중 r개를 뽑는 가짓수는 그 한개가 있는 경우와 없는 경우 2가지로 나눠지고, 각각의 가짓 수는 n−1Cr−1,n−1Cr이다. 역시 직접 전개하여 증명할 수도 있다.
- 이항정리 참조.
4 예시
조합
남녀 각각 5명 중에서 남자 3명, 여자 2명을 뽑아 원탁에 앉히는 가짓 수: 남자 3명을 뽑는 수는 5C3=10
중복조합
음이 아닌 정수 x,y,z