파스칼의 삼각형

1 개요


이항계수를 삼각형 모양으로 나열한 것. 블레즈 파스칼13살 때 발견하여 이항계수를 구할 때 써먹었다. 다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같다.

[math]n,r[/math]가 음이 아닌 정수이고, [math]1\leq r\leq n-1[/math]일 때, [math]\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}[/math][1]

2 증명

2.1 조합론적 증명

[math]n[/math]개의 물체에서 [math]r[/math]개를 고른다하자. 먼저 [math]n[/math]개중 1개를 고정시킨다. 그럼 구하고자하는 경우의 수는 그 1개가 있을 경우와 없을 경우의 2가지 뿐이다. 전자의 경우 [math]n-1[/math]개 중 [math]r-1[/math]개를 고르면 되므로 가짓 수는 [math]\binom{n-1}{r-1}[/math]. 후자의 경우 [math]n-1[/math]개 중 [math]r[/math]개를 고르면 되므로 가짓 수는 [math]\binom{n-1}{r}[/math]. 합의 법칙에 의해, [math]\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}[/math].

2.2 대수적 증명

[math]\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(r-1\right)!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{r!\left(n-r-1\right)!}=\frac{\left(n-1\right)!r}{r!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\left(n-r\right)}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\binom{n}{r}[/math]

3 여러가지 성질

  1. 일단 대칭이다.
  2. 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다[2].
  3. 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다 (하키스틱 모양처럼 생겨서 실제로 하키 스틱 패턴이라고 부른다).
  4. 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다. (이를 쉽게 보기 위해서는 칸이 참조 링크의 것처럼 칸이 육각형으로 되어있어야 편하다)
  5. n번째 줄의 수들의 합은 2^(n-1)의 합과 같다.
  6. (a±b)^n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.

그 외에도 적극적인 추가바람.

참조

4 파스칼이 처음 발견했는가

파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘(?1238~?1298)가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸(1270~1330)이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다. 파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것이다.

5 관련 항목

  1. 행렬이랑 헷갈릴 수 있는데, 세계적으로는 조합을 표현할 때 괄호를 더 많이 쓴다.
  2. 사실 이게 파스칼의 삼각형의 정의이다.