1 개요
이항계수를 삼각형 모양으로 나열한 것. 블레즈 파스칼이 13살 때 발견하여 이항계수를 구할 때 써먹었다. 다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같다.
[math]n,r[/math]가 음이 아닌 정수이고, [math]1\leq r\leq n-1[/math]일 때, [math]\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}[/math][1]
2 증명
2.1 조합론적 증명
[math]n[/math]개의 물체에서 [math]r[/math]개를 고른다하자. 먼저 [math]n[/math]개중 1개를 고정시킨다. 그럼 구하고자하는 경우의 수는 그 1개가 있을 경우와 없을 경우의 2가지 뿐이다. 전자의 경우 [math]n-1[/math]개 중 [math]r-1[/math]개를 고르면 되므로 가짓 수는 [math]\binom{n-1}{r-1}[/math]. 후자의 경우 [math]n-1[/math]개 중 [math]r[/math]개를 고르면 되므로 가짓 수는 [math]\binom{n-1}{r}[/math]. 합의 법칙에 의해, [math]\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}[/math].
2.2 대수적 증명
[math]\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(r-1\right)!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{r!\left(n-r-1\right)!}=\frac{\left(n-1\right)!r}{r!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\left(n-r\right)}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\binom{n}{r}[/math]
3 여러가지 성질
- 일단 대칭이다.
- 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다[2].
- 모서리의 1부터 대각선방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은방향 숫자 옆에 있다 (하키스틱 모양처럼 생겨서 실제로 하키 스틱 패턴이라고 부른다).
- 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다. (이를 쉽게 보기 위해서는 칸이 참조 링크의 것처럼 칸이 육각형으로 되어있어야 편하다)
- n번째 줄의 수들의 합은 2^(n-1)의 합과 같다.
- (a±b)^n을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.
그 외에도 적극적인 추가바람.
4 파스칼이 처음 발견했는가
파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘(?1238~?1298)가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸(1270~1330)이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다. 파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것이다.