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항등식

1 개요

문자를 포함한 등식에서, 문자의 값과 상관없이 항상 성립하는 등식이라는 뜻이다. 반대로 문자가 특정 값일 때만 성립하는 것은 방정식이라고 한다. 항등식의 부등식 버전으론 절대부등식이 있다. 주의할 점은 방정식처럼 보이는 ax+b=0같은 식도 a=b=0라는 조건이 주어지면 항등식이 된다. 조건을 항상 잘 확인하자.

f(x)=(x에 관한 식) 의 형태로 함수 f(x)를 정의할 때는 등식 f(x)=(x에 관한 식) 을 x에 대한 항등식으로 생각할 수 있다.

2 예시

2.1 삼각함수

  1. sin2θ+cos2θ=1
  2. 1+tan2θ=sec2θ
  3. 1+cot2θ=csc2θ
  4. eix=cosx+isinx (오일러의 공식)

2.2 지수

  1. xa+b=xaxb
  2. xab=xaxb (단, xba0)
  3. (xa)b=xab
  4. (xy)n=xnyn

2.3 로그

  1. logab=loga+logb
  2. logab=logalogb
  3. logan=nloga
  4. logix=2iπlogex

2.4 미적분

  1. ddxc=0 (c는 상수)
  2. ddxxn=nxn1xn=1n+1xn+1+c (c는 상수)
  3. ddxexpx=expx
  4. ddxlnx=x1
  5. baf(x)dx=f(b)f(a)[1]
  6. e11xdx=lneln1=1
  7. ddxsinx=cosx
  8. ddxcosx=sinx
  9. ddxtanx=sec2x
  10. ddxsecx=sectanx
  11. ddxcotx=csc2x
  12. ddxcscx=cscxcotx
  13. ddxsinhx=coshx
  14. ddxcoshx=sinhx
  15. ddxtanhx=sech2x
  16. ddxsechx=sechxtanhx
  17. ddxcothx=csch2x
  18. ddxcschx=cschxcothx

2.5 벡터

이 항목은 삼중곱으로도 들어올 수 있다.
  1. (a×b)×c=(cb)a+(ca)b
  2. a×(b×c)=b(ac)c(ab)
  3. a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0

3 미정계수법

x에 관한 등식 anxn+an1xn1++a1x+a0=0x에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 an=an1==a1=a0=0이다. 비슷하게 anxn+an1xn1++a1x+a0=bnxn+bn1xn1++b1x+b0x에 관한 항등식이 되기 위한 조건은 a0=b0,a1=b1,,an1=bn1,an=bn이다. 이 두 성질을 이용해서 어떤 다항식의 계수를 찾는 방법을 미정계수법이라고 한다. 방법은 크게 2가지가 있다.

  1. 계수비교법: 동류항의 계수는 같아야 하므로 동류항의 계수끼리 비교해 식을 세운뒤 찾는 방법.
  2. 수치대입법: 문자에 그냥 아무 값이나 대입한 뒤[2] 방정식을 푸는 방법.

숫자 대입하는게 어지간히 복잡하지 않는 이상은 수치대입법이 보통 더 빠르다.
생각해보라. (x1)10 같은 식을 누가 일일이 전개해서 볼까? 아마 용자들은 할지도 우리에겐 이항정리가 있다!

4 관련 항목

  1. 이동 단, 함수 f이 닫힌 구간 [a,b]에서 연속이어야 한다. 미적분의 기본정리 참조
  2. 이동 보통 0이나 1을 대입한다.
  3. 이동 의외라고 생각할 수 있는데, 엄연한 항등식이다.