테일러 급수

Taylor Series

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1 개요

주어진 함수를 정의역의 특정 점의 미분계수들을 계수로 가지는 다항식의 극한(멱급수)으로 표현하는 것을 말한다. 테일러 전개(Taylor Expansion)라고 부르기도 한다.

2 테일러 정리(Taylor's theorem)

어느 구간에 미분가능한 함수를 유한 테일러 다항식과 근접할수록 [math]0[/math]에 가까워지는 오류항(truncation error)의 합으로 표현할 수 있다는 정리로, 우리가 보통 테일러 급수를 통해서 함수를 근사한다고 하는 것은 이 테일러 정리를 가리킨다.

'접선'을 통해 함수를 근사하는 선형 근사(linear approximation)를 일반화한 다항함수 형태라고 생각하면 이해하기 쉬우며, 테일러 급수는 이 테일러 다항식에서 오류항을 없애고 무한차원까지 계속 확장한 것으로 볼 수 있다.

참고로 테일러 정리를 이용해 함수를 근사할 수 있단 점은 무한히 미분가능한(smooth) 실함수의 테일러 급수와 주어진 함수가 같단 것을 의미하진 않는다. 테일러 다항식의 차원을 계속 확장시켜도 다항식의 값은 전혀 생뚱맞은 값을 가지고 오류항이 사라지지않을 수 있다! 대표적인 예로 [math]0\ltx[/math]에서는 [math]e^{-1/x}[/math]로, 나머지에서는 [math]0[/math]으로 정의된 함수를 들 수 있는데, 이 함수를 [math]0[/math]에서 테일러 전개하면 언제나 0이 나온다. 테일러 급수가 그 급수를 만드는데 사용된 함수와 같아지는 함수는 특별히 해석함수(analytic function)이라고 부른다.

한편, 실수와는 다르게 복소수 함수의 경우엔 함수가 무한히 미분가능(holomorphic)하면 테일러 급수로 표현이 가능한 독특한 성질이 있다.

3 사용법

3.1 고등학교 과정에서

고등학교 과정에서는 해석함수가 아닌 무한히 미분가능한 함수가 나오지 않으므로 주어진 함수가 테일러급수로 표현될 수 있다고 가정하고 사용한다. 다만 테일러 급수로 표현하는 것을 성공했다 하더라도 그 급수가 수렴하는지 여부를 잘 따져야한다.

3.1.1 극한에서

이름은 몰라도 많이 사용했을 그 방법

극한에서는 아주 사기적인 무기인 로피탈이 존재하긴 하지만, 이는 제약이 크고 부정형일 경우에만 쓸 수있다는 단점이 있다. 그러나 테일러 급수를 조금만 이용하면 얼마든지 초월함수의 극한을 쉽게 풀수있다.

로피탈 정리와 같이 사용될 수 있으며 이 설명은 아래와 같다.

사실 말로만 거창하지 쉽게말하면 '접곡선 변환' 이라고 생각하자. [math]\sin x[/math] 의 [math]x=0[/math]의 접선이 [math]y=x[/math]임을 이용해서 [math]\sin x=\tan x=x[/math]로 치환 [math]\cos x=1-\frac{x^{2}}{2}[/math] 로 치환, [math]e^{x}=x+1[/math]로 치환, [math]\ln\left(1+x\right)=x[/math] 로 치환하면 정말로 쉽게 풀린다! 로피탈 정리는 조건이 엄격하지만 테일러 급수는 단지 [math]x=0[/math]으로만 가준다면 위처럼 치환해서도 아무런 문제가 없다. 애초에 [math]x=a[/math] 에서의 접선의 정의가 [math]x=a[/math]에서 함숫값과 미분계수가 동일한 직선을 고른 것이기 때문이다. 이를 응용하면 [math]\sin ax \approx ax[/math] 로 치환,[math]\cos ax\approx1-\frac{\left(ax\right)^2}{2}[/math]라는 식으로 '안에있는 변수까지' 쉽게 치환해도 되기 때문에 상관은 없다. 만약 주관식에 쓰고싶다면 cos 함수를 제외하고 '접선이기 때문에~~' 라고 설명해도 아무런 수학적 모순이 없다! 근데 cos 함수는 테일러급수를 알아야 하기때문에... 아래와 같이 2배각 공식으로 묘수(?)를 써야 한다.

[math]\cos x=1-2\sin^2\frac{x}{2}\approx 1-2\left(\frac{x}{2}\right)^2=1-\frac{x^2}{2}[/math]

단, 종종 [math]\sin x[/math]라든가 [math]\tan x[/math]를 그냥 [math]x[/math]로 치환하여 푸는 걸 방지하고자 답이 틀리게 나오도록 만들어진 문제도 있으니 주의해야 한다. 가령 [math] \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{2} [/math] 이지만 [math]\sin x=\tan x=x[/math]로 치환할 경우 답이 제대로 나오지 않는다. 2016년 10월 실시한 교육청 모의고사에서 이런 예가 등장했다!

지금 소개한 테일러급수와 로피탈의 정리의 차이점은 먼저 로피탈의 정리는 '원래 함수 형태를 모르는 함수' 도 미분값만 안다면 얼마든지 정리를 적용할수 있지만, 테일러급수는 그럴수 없다. 그런데 만약 초월함수의 극한을 물어보면 로피탈 정리는 '무한루프'에 빠질수 있는반면 테일러급수는 모든걸 다항함수로 바꿔버리기 때문에 걱정없다. 만약 테일러 급수를 쓰고도 뭔가 이상한 형태이면 로피탈 정리도 써버려서 쉽게 정리하면 되니까 결국 대학공식만 가지고 대부분의 문제를 풀수있을것..... 같았는데 요즘 수능체제 자체가 '극한값 자체는 쉽게 구하는' 대신 '극한식을 구하기가 무척 어렵다.' ..
그러니까 내신에서만 쓰세요. 본격 대학공식으로 수학문제풀기.

하지만 주의해야할 점은 실제 수학실력에는 아무런 도움이 되지 않는다는 것이다. 시험때만 이 기술을 쓰고, 평소에 문제풀때는 '원래 어떤 방법으로 풀어야 하는가' 를 기억하고 공부해야 한다. 그런데 수능에는 그런 개념같은거 말고 모든 수단을 이용햐서 하나라도 더 맞혀야 한다. 그러니까 일단 공식으로 답을 구하고 정식대로 답을 검토하는데 모범이다. 물론 이과라면 검토할 시간조차 남지 않을 수 있으니 그냥 로피탈을 믿고 넘어가라.

3.2 고등학교 과정 이외에서

테일러 급수가 원래 함수보다 다루기 편하기 때문에 다변수나 복소수 환경에서 테일러 급수를 다루는 법을 익히게 된다.

실수에서는 일부가 같다고 다른곳에서도 언제나 같은것은 아니지만, 복소수의 경우 '유계'인 영역에서는 일부만 같아도 정의되는 영역 전부에서 같아진다. 즉, 테일러 전개로 구한 급수도 수렴범위에서는 원래 함수랑 완전히 똑같아 진다는 사실. 테일러 정리를 수식으로 쓰면 다음과 같다.

[math]f[/math]가 [math]n+1[/math]번 미분가능할때 [math]\xi\in\left(x_{0},x\right)[/math]가 존재하여,
[math]\displaystyle f\left(x\right)=P_{n}\left(x\right)+R_{n}\left(x\right)[/math]
[math]\displaystyle P_{n}\left(x\right)= \sum_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(x_{0}\right)}{k!}\left(x-x_{0}\right)^{k}[/math]
[math]\displaystyle R_{n}\left(x\right)= \frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!} {\left(x-x_{0}\right)^{n+1}}[/math]

[math]P_{n}\left(x\right)[/math]는 [math]n[/math]차 테일러 다항식(nth Taylor polynomial)으로 부르며 [math]R_{n}\left(x\right)[/math]는 나머지항(remainder term) 또는 truncation error 로 부른다. [math]n\rightarrow \infty[/math]일 때 [math]P_{n}\left(x\right)[/math]의 극한을 테일러 급수(Taylor series)로 부른다.
공학수학에서는 미분방정식을 풀 때도 사용할 수 있다. 다만 계산의 과정은 노가다라 자세한 설명은 생략한다. 라플라스쓰면 금방인데 테일러급수(정확히는 멱급수)를 쓰면 빙빙 돌아서 머리아프다.
복소함수에서는 이를 일반화한 로랑 급수가 있으며, 테일러 급수는 [math]0[/math]차항(상수항)부터 쭉 더한다면, 로랑 급수는 여기다가 [math]-1[/math]차항부터 밑으로도 쭉 더한 것을 추가한다. 테일러 급수와 같은 방식을 실수가 아닌 임의의 대수적 구조 위에서 전개하기도 한다. (대표적으로 행렬의 지수를 이렇게 표현한다.)

계산기나 각종 수치해석 프로그램에서 삼각함수, 로그함수 등의 복잡한 함수를 계산할 때 쓰이는 방법 중 하나이기도 하다. 컴퓨터의 특징 상 삼각비를 직접 재서 계산하는 등의 짓(...)은 할 수 없기에 사칙연산으로만 이루어졌으면서 충분한 숫자의 항을 더하면 일정 이상의 정확도를 보장하는 테일러 급수로 대체하는 것.

아래의 사용예를 보면 알 수 있겠지만, 인간이 그나마 다루기 편리한 무한급수의 꼴로 exponential, sinusoidal과 같은 초월함수 및 무리수의 영역을 근사적으로 모사할 수 있는 수단을 제공한다는 점에서 테일러 급수의 실용적인 의미는 상당하다 하겠다. 테일러 급수가 없었다면 계산적으로 pi나 exponential의 정밀한 근사값을 얻고, 이를 다른 수치 계산에 마음껏 활용하는 일이 가능했었을까?

4 증명

증명은 2가지로 나눌수 있다. 하나는 적분법, 하나는 미분법이다.보통은 증명의 복잡함 때문에, 변수 하나짜리 함수로 증명하는 경우가 많다.(특히 그 중에서도 매클로린 급수)
적분법은 미적분학 제 2정리와 부분적분을 통해 증명하고, 미분법은 엡실론 델타논법에 의한 부등식에서 출발해서 증명한다.
수식을 작성할수 있는 사람은 추가바람.

4.1 적분법으로 증명

어떤 함수 [math]y=f\left(x\right)[/math]가 있고, 이 함수가 무한번 미분가능이라 하자. 또한 미적분의 기본정리에 의해, [math] \displaystyle f\left(x\right)=f\left(a\right)+\int^x_a f'\left(t\right)dt[/math]가 성립한다. 여기서 부분적분을 시행하는데 1을 적분할 함수, [math]\displaystyle f'\left(t\right) [/math]를 미분할 함수로 설정하자. 이 때, 이 적분에서의 적분변수가 [math] dt [/math]이므로 [math] t [/math]에 대해서 [math] x [/math]는 상수취급 할 수 있다. 따라서 1을 [math] t [/math]에 대해 적분한 형태가 [math] t+C [/math](단, C는 적분상수)가 될텐데, [math] C=-x [/math]라 두면 1의 부정적분을 [math] t-x [/math]로 잡을 수 있다.(이렇게 잡는 것이 무슨 의미가 있냐 싶겠지만 실로 중요한 역할을 한다. 만약 이렇게 하지 않고 1의 부정적분을 [math] t [/math]라고만 두면 나중에 계산하고 나서 결과가 제대로 꼬인 모습을 발견하게 된다.)

1. [math]\displaystyle \int^x_a f'\left(t\right)dt= \left[\left(t-x\right)f'\left(t\right)\right]_{a}^{x}-\int^x_a \left(t-x\right)f''\left(t\right)dt=f'\left(a\right)\left(x-a\right)-\int^x_a \left(t-x\right)f''\left(t\right)dt[/math]

2. [math]\displaystyle \int^x_a \left(t-x\right)f''\left(t\right)dt=-{\left(x-a\right)^2\over 2}f''\left(a\right)-\int^x_a {\left(t-x\right)^2\over 2} f'''\left(t\right)dt[/math]

3. [math]\displaystyle \int^x_a {\left(t-x\right)^2\over 2} f'''\left(t\right)dt={\left(x-a\right)^3\over 6}f'''\left(a\right)-\int^x_a {\left(t-x\right)^3\over 6} f''''\left(t\right)dt[/math]

(...)

n. [math]\displaystyle \int^x_a {\left(t-x\right)^{n-1}\over \left(n-1\right)!} f^{(n)}\left(t\right)dt=\left(-1\right)^{n-1}{\left(x-a\right)^n\over n!}f^{(n)}\left(a\right)-\int^x_a {\left(t-x\right)^n\over n!} f^{(n+1)}\left(t\right)dt[/math]

이와 같이 부분적분이 이루어진다. 이를 정리하면

[math] \displaystyle f\left(x\right)=f\left(a\right)+f'\left(a\right)\left(x-a\right)+{f''\left(a\right)\over 2}\left(x-a\right)^2+\cdots +{f^{(n)}\left(a\right)\over n!}\left(x-a\right)^n+\left(-1\right)^{n}\int^x_a {f^{(n+1)}\left(t\right)\over n!}\left(t-x\right)^n dt[/math]

이것을 시그마를 이용해서 적절히 간단하게 만들면

[math]\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{\left(k\right)}\left(a\right)}{k!}\left(x-a\right)^{k}+\left(-1\right)^{n}\int^x_a {f^{(n+1)}\left(t\right)\over n!}\left(t-x\right)^n dt[/math] (단, [math] f^{\left(n\right)} [/math]은 [math]n[/math]계도함수)

여기서 적분의 평균값 정리를 이용하면

[math]\displaystyle \left(-1\right)^{n}\int^x_a {f^{(n+1)}\left(t\right)\over n!}\left(t-x\right)^n dt=\frac{f^{\left(n+1\right)}\left(\xi\right)}{\left(n+1\right)!} {\left(x-a\right)^{n+1}}[/math] ([math]\xi[/math]는 a와 x 사이의 어떤 실수)

이를 라그랑주의 나머지라 부르고, n이 무한대로 갈 때 라그랑주의 나머지가 0으로 수렴한다면 [math]f\left(x\right)[/math]는 다음과 같이 표현된다.

[math]\displaystyle f\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}\left(a\right)}{n!}\left(x-a\right)^{n}[/math]

이 때, [math] a = 0 [/math]을 대입하면, [math]f\left(x\right)= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}{f^{\left(n\right)}{\left(0\right)} \over n!}x^n[/math]가 유도되는 데, 이를 매클로린 급수라 부르며 보통 테일러 급수를 활용할 때 이 형태로 하게 된다.

5 여담

참고로 구 소련의 수리물리학자 이고르 Y. 탐은 이것 덕분에 목숨을 건진적이 있다고 한다. 이 일화는 일부 대학생들이 "미분은 쓸데도 없는 걸 선생들이 학생들 괴롭히려고 만든 거다."같은 소리를 할때 유용하다고 한다. 2013년 인터넷수능 영어독해B형 마지막 문제에 장문으로도 출제된 유명한 일화로, 러시아 혁명 중 수리물리학자였던 이고르는 반공주의 게릴라에 의해 '우크라이나에 반대하는 공산당 선동가'로 몰려서 잡혀갔다. 두목이 직업을 묻기에 수학자라고 대답했다. 두목은 총알을 세기 시작했다. 게릴라 두목은

테일러급수에서 [math]n[/math]차항까지 근사할때 생기는 오류항을 대라, 해내면 풀어주마. 못 하면 (수학자라는 건 거짓말로 간주하고) 총살하겠다.

라고 했다. 이고르는 다행히 목숨을 보전할 수 있었다는 이야기. 게릴라 두목이 더 대단하다. 출처 근데 미분이 없었으면 저런 문제를 낼 수도 없었을테니 쓸모없는거 맞는거 아닌가? 미분이 없어서 다른 문제 냈는데 못맞추면 죽으니까 쓸모있지