황금비

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나무위키수학상수
01iπe√2√3√5φγB2, B4Gδ, α

黃金比/Golden Ratio, Golden Section



1 개요

[math]\displaystyle \varphi = \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } [/math]

황금비율/황금분할이라고도 하는, 길이를 가장 이상적으로 나누는 비율이라고 알려졌던 특정한 비율. 보통 그리스 문자 [math] \varphi [/math](phi)로 표기하며, 이 문자는 '피' 또는 '파이(/faɪː/)'라고 발음한다.[1] 관련된 수학식으로는 정오각형의 한 변의 길이와 대각선의 길이의 비, 피보나치 수열 등이 있다.

정확히는 길이를 나눠 두 부분으로 만들었을 때, 전체와 긴 부분의 비율이 긴 부분과 짧은 부분의 비율과 같은 비율을 말한다. 긴 부분을 A, 짧은 부분을 B라고 치면 [math] A + B : A = A : B [/math] 이라는 비례식이 만들어진다. 이 비례식으로부터 A에 대한 이차방정식 [math] A^2 - AB - B^2 = 0 [/math]을 얻을 수 있는데, 이 때 [math]\displaystyle \frac{ A }{ B } = \frac{ 1 + \sqrt{ 5 } }{ 2 } [/math]인 것이다. 소수로 표현하면 대략 1.618033….

전체 길이가 [math]\varphi+1[/math]이고, 긴 부분 A의 길이가 [math]\varphi[/math], 짧은 부분 B의 길이가 1이면 A와 B는 황금비를 이루고 있는 것이다. 이 황금비율의 성질을 이용해 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.

[math]\displaystyle \frac{\varphi}{1}=\frac{\varphi+1}{\varphi}[/math] (긴 부분과 짧은 부분의 비는 전체와 긴 부분의 비와 같으므로)

양 변에 [math]\varphi[/math]를 곱하면 [math]\varphi^2=\varphi+1[/math]

[math]\varphi[/math]를 제곱하면 [math]\varphi[/math]에 1을 더한 것과 같다.

처음의 식 [math]\displaystyle \frac{\varphi}{1}=\frac{\varphi+1}{\varphi}[/math]을 변형하면 [math]\displaystyle \frac{\varphi}{1}=1+\frac{1}{\varphi}[/math]

양 변에 1을 빼고 간단히 하면 [math]\displaystyle \frac{1}{\varphi}=\varphi-1[/math]

[math]\varphi[/math]에 역수를 취하면 [math]\varphi[/math]에 1을 뺀 것과 같다.

원의 각도인 360도에 [math]1:\varphi[/math]를 적용하면 작은 각은 대략 137.5077...도가 된다. 호도법으로는 대략 2.39996...이 된다.


여기까지는 참 그럴듯 한데....
기원전 유물에 대한 팩트가 2015년에서야 조사됐다

과연?

2 관련 문서

  1. 원주율에서 쓰이는 [math] \pi [/math]는 /p/ 발음으로 양순음(발음할 때 치아를 사용하지 않음), [math] \varphi [/math]는 /f/ 발음으로 순치음(발음할 때 치아를 사용함)이다.