허수


1 虛數

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01iπe√2√3√5φγB2, B4Gδ, α
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수학의 허수(虛數, imaginary number). 보통은 [math] i = j = \sqrt{-1} [/math] [1] 로 정의하는 허수단위를 사용한다. 이것 말고도 허수단위는 몇 개 더 있다.[2]

1572년 이탈리아의 수학자 라파엘 봄벨리가 실수로는 나타낼 수 없는 이차 방정식의 근을 나타내기 위하여 의 개념을 확장하여 정의했다. 허수(imaginary)라는 용어를 처음 사용한 것은 데카르트로서, 단순히 대수적인 필요에 의해 상상으로 만들어낸 숫자로서 실존하지 않는 수라는 의미이다. 다만 전자공학[3]쪽에서는 전통적으로 [math]i[/math]전류의 기호로 사용했기 때문에 허수단위로는 [math]j[/math] [4]를 쓴다.

[math] a + bi [/math] (a,b는 실수) 인 형식으로 나타내지는 수를 복소수라고 하고, a를 실수부분, b를 허수부분이라고 한다. 복소수[math] b \neq 0 [/math]일 때의 허수와, [math]b=0[/math]일 때의 실수로 나뉜다. 허수 중 [math] a = 0 , b \neq 0 [/math] 일 때는 순허수라고 한다. 순허수의 경우에만 제곱하면 음수가 된다.

어떤 수를 [math] i [/math] 로 나누면 도리어 [math] -i [/math] 가 곱해지게 된다. 허수 [math] i [/math] 의 위수[5]는 4이므로 [math] i^4=1 [/math] 가 성립하고, [math] i [/math] 의 곱셈 역원 [math] i^{-1} [/math][math] i^{-1} = i^3 = -i [/math] 가 된다.

허수단위 [math] i [/math]제곱근[math]\displaystyle \pm (\cos {\pi \over 4} + i \sin {\pi \over 4}) = \pm {1 + i \over \sqrt{2}} [/math] 이다.

오일러의 공식에서 허수 지수도 정의할 수 있는데, 대표적으로 [math] (-1)^i = e^{-\pi} [/math] 이 있다. 절대값이 1인 수를 거듭제곱해서 절대값이 1이 아닌 수가 나오는 사태가 벌어진다.

삼각함수에도 넣을 수 있는데, 이 때는 쌍곡선 함수로 바뀐다. 특히 코사인은 실/허수 여부와 관계없이 항상 실수만을 뱉는다.

  • [math]\displaystyle \cos{ i } = \cosh{ 1 } = \frac{ e + e^{ -1 } }{ 2 } = \frac{ e^2 + 1 }{ 2e } \approx 1.54308064... [/math]
  • [math]\displaystyle \sin{ i } = i\sinh{ 1 } = \frac{ e - e^{ -1 } }{ 2 } i = \frac{ e^2 - 1 }{ 2e } i \approx 1.17520119i... [/math]

복소수는 복소평면을 이용해 나타낼 수 있다. x축이 실수축으로 x좌표가 실수부분, y축이 허수축으로 y좌표가 허수부분을 나타낸다. 즉 복소평면 상의 좌표가 (a,b) 라면 이 수는 [math] a + bi [/math] 다. 6차 교육과정까진 수학2에서 다뤘으며 7차 교육과정부터는 고등학교 교육과정에서 사라졌다.[6], 이과라면 대학에서 미적분학을 배우면서 자연스럽게 접하게 된다.

수학이론상의 필요에 의해 상상으로 만들어낸 실재하지 않는 수라고 일컬어지지만, 사실 유의해야 하는 점은 모든 수는 자연계의 현상을 추상적으로 나타내기 위해 인간이 상상으로 만들어낸 개념에 불과하며, 수는 실존하지 않는다는 점이다. 즉 본질적으로 실수도 허수만큼이나 허구이다. 단지 자연적으로 인식하기 쉬운 개념일 뿐.
다만 이것은 너무 철학적인 견해이고, 자연수는 인간이 원초적으로 갖고 있는 개념인 점을 볼 때[7], 자연수를 기반으로 분수와 소수까지도 꽤 잘 이해할 수 있지만 허수는 그렇지 않다는 점에서 역시 실수, 그 중에서도 유리수와 허수 사이에 어떤 선이 있는 것은 명확하다(무리수의 수학적 이해는 허수보다도 더 까다로운 문제였다). 예를 들어 다음과 같은 만화를 보면 서양에서도 허수를 어떻게 생각하는지 잘 알 수 있다

imaginary-friend.jpg
[8]

덤으로 이런 만화도 있다.
imaginary-numbers.gif
[9]

모든 숫자가 그렇듯이 허수 역시 자연계의 현상을 나타내는데 매우 유용하고 특히 평면에서의 회전을 나타내는데에도 쓰인다.

예컨대 [math] e^{ix} = \cos {x} + i \sin {x} [/math] [10] 이기 때문에 과학이나 수학분야에서는 파장과 그에 관련된 phase(위상)를 다루는데 밀접하게 쓰이고 있다. 특히 라플라스 변환이나 푸리에 변환기법을 사용하여 지수함수나 파동함수를 대수함수로 변환시켰을 경우 대수함수의 실수근이 지수함수, 허수근이 곧바로 파동으로 나타나기 때문이다. 덕분에 각종 파장(전자기파, 음파, 물질파 등)의 파동방정식에 허수가 등장하고, 임피던스도 복소수 형태로 표현된다. 그리고 원자 내부 정도의 극소시점에서는 i가 '존재'한다(고 본다). 스티븐 호킹은 우주 초기에는 허수 시간이 존재했다는 주장을 한 바 있다.

자크 라캉에 의하면 인간의 발기 기관이 바로 허수라고 한다.


2 虛宿

동아시아의 이십팔수 별자리 중 하나로, 북방현무 7수(宿) 중 네번째에 해당한다. 물병자리조랑말자리의 일부다.


3 전래동화에 나오는 허수아비의 딸

개략적인 스토리는, 어느 시골마을에 허수라는 딸이 장님 아버지를 모시고 살았다. 허수는 가난한 집안형편에 동네 품앗이를 살아주며 근근히 아버지와 먹고 살았는데, 허수의 아버지는 마당에 새를 키우며 딸이 품앗이를 해서 얻어온 곡식들을 소비하였다.

허수는 그런 아버지의 취미생활을 막을 수 없어서 점점 밥을 못 먹고 야위어가다가 결국 세상을 떠났으며, 나중에 허수의 아버지는 그 사실을 알고 울부짖으며 마당의 새를 다 때려죽이고 밭으로 나가서도 새를 쫓아내다가 그 모습 그대로 굳어버렸다는 사연에서 유래된 것이 허수아비이다.

근데 정작 수수께끼 등에선 '허수아비의 아들 이름은?' '허수'라는 식으로 성전환을 당하기도 한다.

다만, 어원론적으로는 허수아비는 헛- + 아비 의 형태로 본다.[11] 허수아비의 이름에서 민간어원격으로 전설이 나왔다는 것이다.


4 미얄의 추천 등장인물

허수(미얄 시리즈) 참조


5 은어

주로 대학입시나 편입, 국가고시 쪽에서 쓰이는 언어로, 경쟁률은 높지만 사실은 실력이 안 되는 사람이 지원을 많이 하여 경쟁률을 뻥튀기시킨 거라서 실질적인 경쟁률은 그보다 낮은 현상, 또는 그런 사람들을 가리키는 은어다. 아마도 1에서 파생된 단어 내지는 허수주문에서 유래한 단어로 보인다.

예시1) OO대학에 원서를 넣었는데 경쟁률이 100:1이다 합격하기는 매우 힘들 것 같다.

하지만 허수들이 많아서 나는 그 00대학에 예상보다 쉽게 합격했다.

예시2) FIFA 월드컵: 전세계에서 추려서 32개국이 본선에 나오지만 실상은 톱시드급 8팀과 이변을 일으키는 2~3개 팀을 제외하면 다 허수다.

  1. j의 경우 전류를 나타내는 i와 혼동될 것을 막기 위해 쓰인다. 적어도 공과대학에서는 i와 j 중 원하는 것으로 써도 상관 없다.
  2. 대표적으로 [math]\epsilon ^2 = 0, \epsilon \neq 0[/math]를 만족하는 멱영원, [math]j^2 = 1 , j \neq \pm 1[/math]를 만족하는 멱일원
  3. 물리학에서도 가끔 쓰기는 하지만 전자기학은 거의 완성되었다고 봐도 무방할 정도고, 다른 분야에서 전자기학 이론을 가져다 쓰는 것이 대부분이라 현재는 전류를 통상 대문자 [math]I[/math]로 표기하며, 허수를 쓸 때는 그냥 [math]i[/math]를 표기하는 경우가 더 많다.
  4. 사원수군, 분할복소수에서 쓰는 [math]j[/math]하고는 전혀 다른 허수단위다.
  5. 일정 횟수를 거듭제곱해서 원래대로 돌아오는 특수한 수에 대해서 그 횟수를 가리킴
  6. 과학고등학교에서 배우는 고급수학에 있긴 하겠지만, 여기서는 과학고생이 아닌 학생으로 기준으로 한다
  7. 유아들을 대상으로 실험한 결과, 누가 가르쳐주지 않아도 1개 2개 등의 자연수적인 개념은 갖고 있는 것이 확인되어 있다. 다만 3개를 넘어가면 감당이 실제로 아프리카폴리네시아 등등 오지 원시부족의 언어에서 3, 5 등등 일정 이상의 수를 가리키는 말이 없다는 것을 생각할 때 이는 신빙성이 있다.
  8. 허수(imaginary number)를 서양 아이들이 이상하게 많이 애용하는 상상속의 친구(imaginary friend)에 비유한 센스가 돋보인다. 자식이 엄마와 아빠의 산술평균이라는 점도 개그 포인트이다.
  9. 무리수가 영어로 irrational number(비이성적인 수)라는 것에서 나온 유머
  10. 유명한 오일러의 등식이 이 공식의 특수한 형태이다.
  11. 오늘날에는 ㅅ 받침을 ㄷ으로 발음하지만 옛날에는 ㅅ 받침이 ㄷ 받침과 구별되었고 그 때의 발음 기준으로 '헛아비'라는 단어를 발음하면 '허스아비'와 비슷하게 발음되는데 이 발음이 변해 허수아비가 된 것으로 보는 것.