BIGG

상위 문서: 큰 수

Bewilderingly Incomprehensibly Ginormous Googolism
빅

1 개요

1998년생인 Lawrence Hollom이 2013년 4월에 정의한 큰 수. 이 수를 정의했을 때의 나이가 10대 중반이니까 더 큰 수를 만들 가능성이 충분하지만 앞으로 자신이 정의한 수들 중 가장 큰 수가 BIGG가 되도록 그 정의를 계속 바꿔나갈 것이라고 한다.
2015년 5월 현재는 Lawrence Hollom이 홈페이지를 리뉴얼했고 이전의 정의는 이전 홈페이지의 여기나 여기에 있다. 이 항목을 작성하는 데에는 Googology Wiki에 적혀있는 Hyperfactorial Array Notation 관련 항목들을 참조했다(그 중 Faxul 페이지는 여기). ~~새 홈페이지에서는 이름을 또 갈아엎었다~~

2 크누스의 윗화살표 표기법

이 수를 설명하려면 윗화살표 표기법에 대한 설명이 필요하다. 윗화살표 표기법은 그레이엄 수에서도 사용되고 있으니 서로 참조하면 편할 것이다. 덧셈을 반복하면 곱셈, 곱셈을 반복하면 거듭제곱이 된다. 같은 방법으로 거듭제곱의 반복을 생각할 수 있다. 이를 테트레이션(tetration)이라고 하고 왼쪽 위 첨자([math] ^b a[/math])나 윗화살표 두 개([math]a \uparrow\uparrow b[/math]), 혹은 ^^로 나타낸다. 예를 들어서 [math]3 \hat{}\hat{} 3 = 3 \uparrow\uparrow 3 = 3^{3^3} = 3^{27} = 7625597484987[/math]. 똑같이 테트레이션의 반복(펜테이션, pentation)을 생각할 수 있고 이것은 윗화살표 세 개 혹은 #!HTML ^^^로 나타낸다. 예를 들어 [math]3 \hat{}\hat{}\hat{} 3 = 3 \uparrow\uparrow\uparrow 3 = 3 \uparrow\uparrow (3 \uparrow\uparrow 3) = 3 \uparrow\uparrow 7625597484987[/math]. 이렇게 끝없이 계속할 수 있다.

3 만드는 방법

다음 과정을 거쳐서 BIGG을 만들 수 있다. 각 단계에 대한 부가 설명이 부실한 관계로 잘 아는 분들이 추가 바람.

3.1 Minor Faxul 단계

[math]Faxul = 200! = 200 \times 199 \times 198 \times 197 \times 196 \times 195 \times ... \times 3 \times 2[/math] = 788657867364790503552363213932185062295135977687173263294742533244359449963403342920304284011984623904177212138919638830257642790242637105061926624952829931113462857270763317237396988943922445621451664240254033291864131227428294853277524242407573903240321257405579568660226031904170324062351700858796178922222789623703897374720000000000000000000000000000000000000000000000000(약 7.8866×10³⁷⁴)으로 200부터 2까지 곱한 ~~콩까는~~ 수다.
- [math]Kilofaxul = (Faxul)![/math], [math]Megafaxul = (Kilofaxul)![/math], [math]Gigafaxul = (Megafaxul)![/math], ... 또한 정의되어 있다.
[math]Expofaxul = 200!1 = 200 \uparrow 199 \uparrow 198 \uparrow 197 \uparrow 196 \uparrow 195 \uparrow ... \uparrow 3 \uparrow 2[/math]

Expofaxul은 Faxul에서 곱셈을 거듭제곱(exponential)으로 바꾼 수다.

[math]Tetrofaxul = 200!2 = 200 \uparrow\uparrow 199 \uparrow\uparrow 198 \uparrow\uparrow 197 \uparrow\uparrow 196 \uparrow\uparrow 195 \uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow 2[/math]

Expofaxul에서 거듭제곱을 테트레이션으로 바꾸면 Tetrofaxul이 된다.

[math]Pentofaxul = 200!3 = 200 \uparrow\uparrow\uparrow 199 \uparrow\uparrow\uparrow 198 \uparrow\uparrow\uparrow 197 \uparrow\uparrow\uparrow 196 \uparrow\uparrow\uparrow 195 \uparrow\uparrow\uparrow ... \uparrow\uparrow\uparrow 3 \uparrow\uparrow\uparrow 2[/math]

Tetrofaxul에서 한 발 더 나가서 윗화살표 세 개(펜테이션)를 사용하면 Pentofaxul이 된다.

위와 같이 [math]n!m = n \uparrow^m (n-1) \uparrow^m (n-2) \uparrow^m (n-3) \uparrow^m ... \uparrow^m 3 \uparrow^m 2[/math] (단, ↑ⁿ은 윗화살표가 n개를 의미함)으로 정의한다.
[math]Hyperfaxul = 200!200 = 200![1][/math]

Hyperfaxul은 200부터 2까지의 수에 각각 윗화살표 200개씩을 넣은 수다. 역시 [math](200!200)!200[/math], [math]((200!200)!200)!200[/math], ...도 있을 수 있다. 여기서 [math](...(200!200)...!200)!200[/math]처럼 이것을 200번 중첩한 수, 즉 200이 201개 있는 수를 [math]200![2][/math]라고 하자.

[math]200![2] = (...(((((200![1])![1])![1])![1])![1])...)![1] = (...(200!200)...!200)!200[/math] (각각 200번)

여기부터 그레이엄 수보다 큰 수가 등장하기 시작한다. 이와 같이 바로 전 단계를 200번 중첩시키면 다음 단계로 간다.

[math]200![3] = (...(((((200![2])![2])![2])![2])![2])...)![2][/math] (200번)
[math]200![4] = (...(((((200![3])![3])![3])![3])![3])...)![3][/math] (200번)

이렇게 해서 [math]200![200][/math]에 도달하면...

3.2 Major Faxul 단계

3.2.1 Giaxul 단계

[math]Giaxul = 200![200] = 200![200, 1] = 200![1, 2][/math]

이제 대괄호 안에 들어가는 수들의 개수를 늘릴 수 있다. 뒤에 1을 붙이고, 대괄호 안의 첫째 항이 200이 되면 둘째 항을 1 올린다.

[math]Giabixul = 200![200, 200] = 200![1, 201][/math]

하지만 이런 식으로만 개수를 늘린다면 수를 아무리 많이 추가해도 대괄호 안의 수 하나를 200진법으로 나타내는 정도밖에 안 된다. ~~얼마나 올리려고~~ 따라서 셋째 항을 추가할 때부터는 한 항을 1 올리기 위해서는 바로 전 항이 '그 항-1까지 도달하기 위한 연산횟수' 정도가 될 때 항을 1 올린다. (여기서 괄호 안에 괄호가 들어가면서 매우 큰 수가 되는데, 자세히 설명하지는 않고 넘어간다.)

[math]Giatrixul = 200![200, 200, 200][/math]

앞부분만 계산을 해보면 [math]200![200, 200, 200] = (200![199])![1, 200, 200] = (200![199])![[1, 1, 200], 199, 200] = ...[/math] 이 부근에서 아주 커진다. ~~고만해 미친놈들아~~ ~~아직도 한참 남았다~~

[math]Giaquaxul = 200![200, 200, 200, 200][/math]

그리고 예상했겠지만 200을 200번 쓸 수도 있다.

3.2.2 Hugexul 단계

[math]Hugexul = 200![200, 200, 200, 200, 200, ..., 200][/math] (200개) = [math]200![200(1)200][/math]

여기에서 [math]200![200(1)200, 200][/math] 등을 생각할 수 있다. 역시 뒤에 오는 200이 200개가 되면...

[math]Hugebixul = 200![200(1)200(1)200][/math]
[math]Hugetrixul = 200![200(1)200(1)200(1)200][/math]

또한 200이 200개, (1)이 199개 들어간 수를 생각할 수 있다.

3.2.3 Enormaxul 단계

[math]Enormaxul = 200![200(2)200][/math]

위의 Hugexul과 같이 [math]200![200(2)200, 200][/math] 등을 생각할 수 있다.

[math]Enormabixul = 200![200(2)200(2)200][/math]
[math]Enormatrixul = 200![200(2)200(2)200(2)200][/math]

역시 똑같은 과정을 거쳐서 [math]200![200(3)200][/math], [math]200![200(4)200][/math], ... 등을 만들 수 있고, 계속 올라가면...

3.2.4 Destruxul 단계

[math]Destruxul = 200![200(200)200][/math]

이런 식으로 괄호 안의 200이 더 많이 올라갈 경우 괄호 안의 수 자체도 대괄호 안에 넣어서 표현할 수 있다.

[math]Destrucbixul = 200![200(200![200(200)200])200][/math]
[math]Destructrixul = 200![200([200([200(200)200])200])200][/math]

등을 생각할 수 있으며 이것을 200번 반복하면 아래와 같이 쓸 수 있다.

3.2.5 Extremexul 단계

[math]Extremexul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200]][/math] ~~첨자없이 참 멀리도 왔다~~

다시 뒤에 붙는 200의 개수를 늘릴 수 있다. ~~또??~~

[math]Extremebixul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200]][/math]
[math]Extremetrixul = 200![1(1)[ _2 200, 200, 200, 200, 200, 200]][/math]

이런 식으로 계속해서 아래첨자 2를 늘릴 수 있다.

3.2.6 Gigantixul 단계

[math]Gigantixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200]][/math]
[math]Gigantibixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200]][/math]
[math]Gigantitrixul = 200![1(1)[ _3 200, 200, 200, 200, 200]][/math]

이렇게 200바퀴 돌아서 첨자를 200으로 만들 수 있다.

3.3 Mammoth Faxul 단계

~~거의 다 왔다~~

3.3.1 Nucleaxul 단계

[math]Nucleaxul = 200![[ _{200} 200]][/math]

또한 지금까지의 대장정을 다시 반복하면 이 아래첨자 200 밑에 아래첨자를 여럿 만들 수 있고,

[math]Nucleabixul = 200![[ _{[ _{200} 200]} 200]][/math]
[math]Nucleatrixul = 200![[ _{[ _{[ _{200} 200]} 200]} 200]][/math]

3.3.2 BIGG

이런 식으로 200개를 만들면...

[math]BIGG = 200? = 200![[ _{\lt1(200)2\gt[200]}1]][/math]

드디어 BIGG이 된다. ~~지금까지 200을 몇 번 썼나~~

4 관련 문서