Well-defined

1 개요

어떤 개념이나 표기가 well-defined되었다는 것은, 말 그대로 그것이 애매하게 정의되지 않고 잘 정의되었다는 뜻이다.
반대로 잘 정의되지 않은 경우는, 그 정의를 만족하는 것이 유일하지 않은 경우, 또는 정의 자체에서 뭔가를 가정하고 있는데 그 가정이 잘못된 경우 등이 있다.

만약 자신이 어떤 개념이나 표기를 정의했을 때는 항상 그것이 well-defined되어있는지 잘 확인해야 한다. 안 그러면...
자세한 것은 밑에 여담 항목 참조.
사실 예시를 보면 훨씬 더 이해가 빠르다.

2 예시

2.1 함수의 well-definedness

함수가 well-defined되지 않은 경우는 흔히 한 원소에 대한 함수값이 2개 이상이 나오는 경우나 함숫값이 존재하지 않는 경우, 정의역에 있어야 할 원소가 정의역에 있지 않은 경우 등이 있다.

• $$f : \mathbb Q \rightarrow \mathbb Z$$ 를 $$f({b \over a}) = a+b$$ (이 때, $$a, b$$ 는 정수)는 well-defined 되지 않은 함수이다. $$f({1 \over 2}) = 3 \neq 6 = f({2 \over 4})$$ 이기 때문이다.
• 정수 $$n$$ 에 대해 $$\bar {n}$$ 를 " $$n$$ 과 $$10$$ 으로 나눈 나머지가 같은 수들의 집합"이라고 정의할 때, $$f(\bar {n}) = n$$ 라 한다면 $$f$$ 는 well-defined되지 않은 함수이다. $$\bar {1} = \bar {11}$$ 인데 $$f(\bar {1}) = 1 \neq 11 = f(\bar {11})$$ 이기 때문. 만약 $$f(\bar {n}) =$$ " $$n$$ 을 $$10$$ 으로 나눈 나머지" 처럼 정의한다면 well-defined된다. $$\bar {n}$$ 표기 때문에 처음 보면 헷갈릴 수 있으니 주의. 이런 표기를 쓸 때는 항상 well-definedness를 생각해야 한다.
• $$f : \mathbb R^{n} \rightarrow \mathbb Z$$ 를 $$f(U) = \begin{cases} 1, & U\ is\ open \\ -1, & U\ is\ closed \\ 0, & else \end{cases}$$ 라 정의하면, $$\emptyset$$ 은 열린 집합이면서 닫힌 집합이므로 $$f$$ 는 well-defined되지 않았다.

• 유계함수 $$f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$$ 에 대해 $$m(f) =$$ " $$f$$ 의 최솟값"라 하면 $$m$$ 은 well-defined되지 않은 함수이다. $$f$$ 의 최솟값이 존재하지 않을 수도 있기 때문. $$m(f) = inf(f(\mathbb R))$$ 과 같이 정의하면 well-defined된다.

• 벡터 공간 $$V$$ 의 차원을 "기저의 원소의 개수(또는 cardinality)"라고 정의했을 때도, well-defined되었는지 확인해야 한다. $$V$$ 의 기저는 여러 개 있을 수 있고, 그 중 원소의 개수가 다른 것이 있을 수 있기 때문. 물론 이 경우엔 기저들의 원소의 개수가 같음을 증명할 수 있다.

2.2 표기의 well-definedness

• 새로운 연산 $$\heartsuit$$ 를 정의했을 때초등학교 때 많이 봤다, $$a\heartsuit b\heartsuit c$$ 와 같은 표기를 쓰기 전에는 항상 $$\heartsuit$$ 가 결합법칙을 만족하는지 확인해봐야 한다. 예를 들어 $$a\heartsuit b = 2a+b$$ 라 하면 $$((1\heartsuit 2)\heartsuit 3) \neq (1\heartsuit (2\heartsuit 3))$$ 가 되므로 결합법칙을 만족하지 않아, $$a\heartsuit b\heartsuit c$$ 의 표기를 쓸 수 없다. 또한 이는 $$a/b/c$$ 같은 표기를 쓸 수 없는 이유이기도 하다.

3 여담

• well-definedness의 중요성을 간과했을 때 벌어지는 재밌는 일 중 하나로, "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 큰 것"을 생각해보자. 즉, 존재하는 모든 것들에 대해 "가장 짧은 표현"을 생각해보고, 그것의 단어의 개수가 가장 많은 것을 생각해보자. 그런데 우리는 방금 그것을 "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 많은 것"이라는 9단어만으로 표현했으므로, 모든 것의 "가장 짧은 표현"은 9단어 이내여야 한다. 즉 모든 것은 9단어 이내로 표현 가능해야 한다! 따라서 존재하는 단어를 대충 넉넉히 1000만 개라고 하면, 이 세상에 존재하는 건 10^63개 이하이다.
• 출석부 게임을 할 때 자기가 부른 것에 해당하는 사람이 여러 명이면 well-defined되지 않았다고 까인다. 아 병신은 BGM도 없어요