Well-defined

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1 개요

어떤 개념이나 표기가 well-defined되었다는 것은, 말 그대로 그것이 애매하게 정의되지 않고 정의되었다는 뜻이다.
반대로 잘 정의되지 않은 경우는, 그 정의를 만족하는 것이 유일하지 않은 경우, 또는 정의 자체에서 뭔가를 가정하고 있는데 그 가정이 잘못된 경우 등이 있다.

만약 자신이 어떤 개념이나 표기를 정의했을 때는 항상 그것이 well-defined되어있는지 잘 확인해야 한다. 안 그러면...
자세한 것은 밑에 여담 항목 참조.
사실 예시를 보면 훨씬 더 이해가 빠르다.

2 예시

2.1 함수의 well-definedness

함수가 well-defined되지 않은 경우는 흔히 한 원소에 대한 함수값이 2개 이상이 나오는 경우나 함숫값이 존재하지 않는 경우, 정의역에 있어야 할 원소가 정의역에 있지 않은 경우 등이 있다.

  • [math]f : \mathbb Q \rightarrow \mathbb Z [/math][math] f({b \over a}) = a+b [/math](이 때, [math]a, b[/math]는 정수)는 well-defined 되지 않은 함수이다. [math]f({1 \over 2}) = 3 \neq 6 = f({2 \over 4}) [/math]이기 때문이다.
  • 정수 [math]n[/math]에 대해 [math]\bar {n} [/math]를 "[math]n [/math][math]10[/math]으로 나눈 나머지가 같은 수들의 집합"이라고 정의할 때[1], [math]f(\bar {n}) = n [/math] 라 한다면 [math]f[/math]는 well-defined되지 않은 함수이다. [math] \bar {1} = \bar {11} [/math] 인데 [math] f(\bar {1}) = 1 \neq 11 = f(\bar {11})[/math]이기 때문. 만약 [math]f(\bar {n}) = [/math]"[math]n[/math][math]10[/math]으로 나눈 나머지" 처럼 정의한다면 well-defined된다. [math] \bar {n}[/math] 표기 때문에 처음 보면 헷갈릴 수 있으니 주의. 이런 표기를 쓸 때는 항상 well-definedness를 생각해야 한다.
  • [math]f : \mathbb R^{n} \rightarrow \mathbb Z[/math][math] f(U) = \begin{cases} 1, & U\ is\ open \\ -1, & U\ is\ closed \\ 0, & else \end{cases}[/math]라 정의하면, [math]\emptyset [/math]은 열린 집합이면서 닫힌 집합이므로 [math]f[/math]는 well-defined되지 않았다.
  • 유계함수 [math] f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R [/math]에 대해 [math] m(f) = [/math]"[math]f[/math]의 최솟값"라 하면 [math]m[/math]은 well-defined되지 않은 함수이다. [math]f[/math]의 최솟값이 존재하지 않을 수도 있기 때문. [math] m(f) = inf(f(\mathbb R))[/math]과 같이 정의하면 well-defined된다.
  • 벡터 공간 [math]V[/math]차원을 "기저의 원소의 개수(또는 cardinality)"라고 정의했을 때도, well-defined되었는지 확인해야 한다. [math]V[/math]의 기저는 여러 개 있을 수 있고, 그 중 원소의 개수가 다른 것이 있을 수 있기 때문. 물론 이 경우엔 기저들의 원소의 개수가 같음을 증명할 수 있다.

2.2 표기의 well-definedness

  • 새로운 연산 [math]\heartsuit[/math]를 정의했을 때초등학교 때 많이 봤다, [math]a\heartsuit b\heartsuit c[/math] 와 같은 표기를 쓰기 전에는 항상 [math]\heartsuit[/math]결합법칙을 만족하는지 확인해봐야 한다. 예를 들어 [math]a\heartsuit b = 2a+b[/math]라 하면 [math] ((1\heartsuit 2)\heartsuit 3) \neq (1\heartsuit (2\heartsuit 3))[/math]가 되므로 결합법칙을 만족하지 않아, [math]a\heartsuit b\heartsuit c[/math]의 표기를 쓸 수 없다. 또한 이는 [math] a/b/c[/math] 같은 표기를 쓸 수 없는 이유이기도 하다. [2]

3 여담

  • well-definedness의 중요성을 간과했을 때 벌어지는 재밌는 일 중 하나로, "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 큰 것"을 생각해보자. 즉, 존재하는 모든 것들에 대해 "가장 짧은 표현"을 생각해보고, 그것의 단어의 개수가 가장 많은 것을 생각해보자.[3] 그런데 우리는 방금 그것을 "가장 짧은 표현의 단어 개수가 세상에서 가장 많은 것"이라는 9단어만으로 표현했으므로, 모든 것의 "가장 짧은 표현"은 9단어 이내여야 한다. 즉 모든 것은 9단어 이내로 표현 가능해야 한다! 따라서 존재하는 단어를 대충 넉넉히 1000만 개라고 하면, 이 세상에 존재하는 건 10^63개 이하이다.[4]
  • 출석부 게임을 할 때 자기가 부른 것에 해당하는 사람이 여러 명이면 well-defined되지 않았다고 까인다. 아 병신은 BGM도 없어요
  1. 즉, [math]\bar {1} =\left\{..., -19, -9, 1, 11, 21, ...\right\}[/math]
  2. 실제로 집합론 같은 변태같은 과목들을 보면 [math]+, \times [/math](우리가 아는 그 덧셈, 곱셈 맞다!) 같은 연산을 쓸 때도 결합법칙을 만족하는 것을 증명한 후에 [math]a+b+c[/math]와 같은 표기를 쓴다.
  3. 여기서 오류가 발생한다.
  4. 사실 이 논증의 오류는 well-definedness뿐만이 아니다. 애초에 '표현'이라는 말이 애매할 뿐더러, 단어도 무한히 많이 만들어낼 수 있다. 당장 1부터 100,000,000까지는 1억개의 단어가 존재한다. 따라서 이 논증은 주로 언어의 애매성이나 언어의 한계를 깔 때 사용된다.