Goldbach's conjecture
1 골드바흐의 추측
골드바흐의 추측 : 4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
골드바흐의 약한 추측 : 7 이상의 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
전자가 참이라면 후자도 참이다. 7 이상의 홀수는 4 이상의 짝수와 3의 합이기 때문. 따라서 '약한' 추측이라 불린다.
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 5 + 5, 3 + 7
12 = 5 + 7
14 = 7 + 7
16 = 5 + 11, 3 + 13
18 = 7 + 11, 5 + 13
20 = 7 + 13, 3 + 17
...
히든보스
말 그대로 아직 증명은 되지 않았으나 사실일 것으로 추측되는 명제이자 희대의 소재.
페르마의 대정리, 4색정리, 리만 가설 등과 더불어 수학계 최대의 난제[1]로 꼽힌다.
쌍둥이 소수 추측(Twin prime conjecture)[2]과 정수론적인 구조상 관련이 있으나 같은 문제는 아니다.
당시 별로 유명하지 않았던 독일의 수학자 크리스티안 골드바흐는 위와 같은 자신의 생각을 당시 주가가 한창 높던 친구 수학자 레온하르트 오일러에게 편지를 보내게 된다. 그리고 이 때부터 본격적으로 250년에 걸친 미친 듯한 낚시가 시작된다.
'4 이상의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다'는 상당히 간단한 추측이기 때문에 IBM에서 컴퓨터로 직접 무작정 대입을 해본 사례도 있다. 무려 4부터 400경까지 대입을 해 보았고 모두 다 성립하였으므로, 적어도 현실에서 쓸만한 단위 내에서는 사실로 성립하긴 한다. 문제는 이 방법은 대입으로 나온 일정 수까지의 연산 결과일 뿐이며, 수학적인 증명법은 아니다. 이걸 증명하려면 '이건 이러이러해서 이렇다!'라는 것을 설명할 수 있어야 하지만, 저건 그런거 없이 단순히 결과만 나온 것일 뿐. 사실 소수의 생성방법도 완벽히 밝혀지지 않은 상태이니 어찌 보면 당연한 현실이기도 하다.[3]
초등학교 6학년도 이해할 수 있는 간단한 내용이지만 이상하게도 증명법이 나오지 않아 이를 대중화시켜 증명시키겠다는 목적에서 "사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학 천재 이야기"이라는 책도 발간되었고, 출판사는 100만달러의 상금을 내걸었으나 아직까지 증명법이 나오지 않고 있으며 물릴 듯 하면서도 안 물릴 듯한 문제에 미쳐 인생을 망치는 수학자들도 꽤나 된다.[4]
그래도 충분히 풀 만한 가치는 있다. 이거 푸는 수학자는 부와 명예를 모두 얻을 수 있음은 물론, 진정 수학의 역사에 이름을 남기게 될 것이므로. 정수론에서는 그 정도로 엄청난 이야기이다. 실패했을 때의 뒷감당은 알아서...
그리고 다른 포털사이트에 검색을 해보면 초등학생이나 중학생이 증명을 했다고 지식인에 올리고는 하는데, 당연히 오류 투성이다. 애초에 이 문제는 어릴적 부터 천재 소리 들어 오던 수학자가 풀어도 못 풀고 있는 문제니 실망은 말자.
2 증명
2.1 '골드바흐의 약한 추측'의 증명
1937년, 러시아의 수학자 이반 마트베예비치 비노그라도프(Ivan Matveyevich Vinogradov)는 계산을 하기에 충분히 효율적인 수(some effectively computable number) 이상의 홀수는 3개의 홀수 소수의 합으로 표현할 수 있음을 증명하였다. 이후 1956년에 비노그라도프의 제자인 K. Borozdin이 스승이 제시한 수로 [math]3^{3^{15}}\doteqdot10^{10^{7}}[/math] 정도면 충분함을 증명했다.
2012년 5월에는 테렌스 타오(Terence Tao)가 비노그라도프의 결과를 바탕으로 모든 홀수가 많아도 5개 이내의 소수의 합으로 표현가능하다는 것을 증명하였다.
2013년 5월에는 엘프고트(H. A. Helfgott)란 수학자가 비노그라도프의 정리가 [math]10^{30}[/math] 이상의 수에서 성립한다는 것을 증명하였다. 또한 [math]10^{30}[/math]까지의 수는 컴퓨터를 이용한 노가다 증명이 해결하면서, 비노그라프의 정리가 '적절히'에서 '모든'으로 바뀌어 골드바흐의 약한 추측이 참으로 증명되었다. 출처:(영문) [1]
2.2 연관된 문제의 증명
1973년에 중국의 수학자 천징룬은 2보다 큰 모든 짝수가 두 소수 또는 소수와 거의 소수인 수(두 소수의 곱)의 합으로 표현가능함을 증명하였다.
그리고 2014년에는 '폴리매스 프로젝트 8'을 통해 일반화된 앨리엇-핼버스탬 추측이 참이면 쌍둥이 소수 추측 혹은 오차가 포함된 골드바흐 추측[5] 중 적어도 하나는 참이라는 것을 증명하였다. 참고로 폴리매스 프로젝트란 수학자들의 공동연구 프로젝트를 의미한다. 프로젝트 8의 목표는 장이탕(Yitang Zhang)이 발표한 오차가 포함된 쌍둥이 소수 추측의 증명에서 오차를 최대한 작게 줄이는 것이었다. 그리고 이를 위해 테렌스 타오를 중심으로 한 현대정수론의 대가들이 총출동했다.
3 여담
여담으로 미스터리 영화 '페르마의 밀실'의 주요 소재는 '골드바흐의 추측을 증명하는 것'이다. 페르마라 쓰고 골드바흐라 읽기 그런데 그 영화에 나온 골드바흐의 추측의 ��증명을 보면 A4 용지 수십 장이 넘어간다! 사실 놀랄 것도 아니다. 일부 중요한 정리는 증명이 매우 긴 경우가 있다. 페르마의 마지막 정리가 유명한 사례이다.
가끔씩 ”자신의 증명"을 사실인 마냥 올리는 위키러들이 있는데 그럴땐 바로 편집하지 말고 우선 토론을 시작하자.(토론을 할 수 있는 사람이 여기 있을지는 모르겠지만....)
4 소설
골드바흐의 추측을 소재로한 아포스톨로스 독시아디스의 소설. 정확한 제목은 <그가 미친 단 하나의 문제, 골드바흐의 추측(Uncle Petros and Goldbach's Conjecture)>이다. 뛰어난 수학자였던 페트로스 파파크리스토스[6]는 골드바흐의 추측을 증명하기위해 젊음을 바쳐 노력하나 결국 실패하고 패배자가 되고 만다. 그의 인생을 그의 조카의 시선을 통해 보여준다. 골드바흐의 추측 그 자체도 비중있게 다뤄지지만, 그보다도 수학자로서의 삶이 어떠한지에 대해서도 엿볼 수 있는 책이다.
수학교양서로도 한 권의 소설로도 재미있는 편. 35개 외국어로 번역 출간되었으며, 피터 박스올의 '죽기 전에 꼭 읽어야 할 1001권'에 선정되었다.- ↑ 페르마의 대정리와 4색 문제는 증명되었다.
- ↑ 쌍둥이 소수 추측이란, 쌍둥이 소수(차이가 2만큼 나는 소수 쌍을 말한다. 대표적인 예시로는 (3,5), (11,13)이 있다.)가 무한히 많다는 것이다.
소수가 무한한가? 에 쌍둥이만 붙였는데...젠장. - ↑ 가장 단순한 에라토스테네스의 체(중학교 1학년 수학에 나온다)부터 컴퓨터가 필요한 방법까지 여러 가지가 나왔지만, 모든 소수를 효율적으로 빠짐없이 생성할 수 있는 방법(perfect generator)은 아직 밝혀지지 않았다. 이건 사실 골드바흐의 추측보다 더 큰 이야기. 리만 가설도 이것과 연관되어 있다.
- ↑ 앞에서 나온 '사람들이 미쳤다고 말한 외로운 수학 천재 이야기'이라는 책이 바로 이 문제로 인생을 조진 수학자를 조명하는 조카의 1인칭 소설이다. 덧붙여, 100만달러의 상금은 출판일로부터 1년 이내에 증명해낼 경우에 지급되는 상금이었는데, 한국에 출판될 때는 이미 유효기간이 지났는데도 모르고 진지하게 상금을 노리고 구입한 독자들도 많았다. 물론, 유효기간이 10년이었다고 하더라도 증명이 가능하진 않았을 것이다. 하긴 증명이 가능하다면 100만달러따위가 문제가 아니다.
- ↑ 적당한 상수 H가 존재해서 모든 자연수 N에 대해 N과 N+H 사이의 자연수 중에는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는 수가 적어도 하나 존재한다. 만약 오차 H를 2보다 작은 수로 줄이면 골드바흐 추측과 완전히 같아진다.
- ↑ 크리스토스 파파키리아코풀로스라는, 푸앵카레의 추측을 푸는 데 인생을 바친 수학자를 모델로 하였다.