군론

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1 물리학에서의 군론

여기서 몇몇의 낯선 용어가 정확한 정의 없이 나올 것이나, 신경 쓰지 말고 일독하면 좋겠다.

"군과 표현"이라는 말을 보고, 군이 어떤 물체나 공간의 대칭성에 관계하는 개념이라는 것을 알고 있어도, 군이나 그 표현이라고 불리는 것이 어떤 역할을 하는가 의문을 가진 사람도 적지 않을 것이라고 생각한다.

그러나 군의 표현이라는 말은 나오지 않아도 그 개념은 대학1학년의 역학이나 전자기학에 있어서도 때때로 사용되고 있었다. 또한 양자역학을 배우게 되면, 군의 개념은 빠트릴 수 없을 정도로 중요하게 된다. 그러나 통상의 대학 커리큘럼에서 주로 양자역학의 강의에서, 필요에 의해 대칭군이나 회전군의 개념과 그 응용 예를 배우는 정도로 끝나는 경우가 많다.

1.1 좌표변환과 군

여기서는 일단 군 및 군의 표현이라고 불리는 것들이 어떻게 이공학에 들어와 있는지, 어떤 편리함이 있는지 구체적인 예를 들어 설명하고자 한다.

일단 고전역학에서, 물체의 질량은 스칼라 양이며, 위치, 속도, 가속도 혹은 운동량은 벡터 양이라고 배운다. 벡터 양v는, 크기와 방향을 가진 양, 혹은 직교좌표를 사용해 표현한다면 '[math]\vec{v}[/math]'의 각 좌표성분을 이용해 [math]\vec{v}=\left(v_1,v_2,v_3\right)[/math] 와 같이 표현한다. 벡터의 성분은 어느 좌표계에 비춰 결정했는가에 의해 달라진다. 질량m의 물체에 힘F가 작용하는 경우, 뉴턴의 운동방정식은 그 물체의 속도를 v라고 했을 때

[math]\displaystyle m \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{F} [/math]

이라고 표현된다. 이 경우, 힘 [math]\vec{F}[/math]'또한 벡터 양이다. 벡터 양이라면 그것을 비춰보는 좌표계를 잡는 방법에 의해, 그 성분은 달라진다. 그러나 좌표를 다르게 잡는다고 할 때 벡터의 각 성분의 변환의 방법은 정해져 있으며, 그것이 가속도라든가 힘이라든가 에는 의존하지 않는다. 이것이 운동방정식을 [math]m d\vec{v}/dt=\vec{F}[/math]처럼 표현하는 것을 가능하게 한다. 즉, 방정식의 양변은, 하나의 좌표에서 다른 좌표, 예를들어 어느 축의 주위를 일정각도 회전시킨 좌표에 이동시켜 운동을 관측한다고 할 때 양변은 같은 형태의 변환법칙을 따르지 않으면 의미가 없다. 이것을 군의 용어로 말한다면, 가속도와 힘은 좌표에 회전에 대해서 동일한 표현에 속한다, 라고 말하는 것이 된다.

회전군의 표현의 종류는, 스칼라와 벡터뿐만 아니라 무한이 있다. 뉴턴의 운동방정식은 마침 양변이 벡터 양으로 주어져 있다. 한편 힘의 종류에는 벡터힘 이외에도 응력과 같은, 텐서힘 등으로 불리는 힘도 있다. 텐서도 한 종류의 표현을 가리키는 말이다. 텐서힘은 벡터와는 다른 변환성을 나타내므로, 운동방정식에는 관여하지않는 것일까. 가속도는 벡터이므로 운동방정식의 우변 또한 벡터이지 않으면 안되는 사실로부터 위에서 서술한 대로다. 실제로는 몇 개인가 텐서힘이나 벡터힘이 서로 얽혀 또 하나의 벡터 양을 만드는 경우가 있어, 그때 운동방정식의 우변의 힘F는 다양한 포현을 합성하여, 벡터양이 구성되는 경우에 한해, 뉴턴의 운동방정식과의 관계를 가진다. 이렇듯, 다양한 표현을 몇 개인가 이용하여, 어느 특정한 표현(위의 예시에서는 벡터)를 합성하는 방법도 군론에서 배우는 중요한 사항이다.
군의 개념의 도입에 의한 또 하나의 특징은, 사고나 계산의 간소화에 있다. 예를들어 시간변화하는 2개의 벡터양 [math]\vec{A}[/math]와 [math]B[/math]가 서로 관계하는 역학계가 있다고 하자. [math]\vec{A}[/math]와 [math]\vec{B}[/math]는 서로 벡터양이므로, 각각이 3개의 성분, 합계 6개의 독립의 양을 가진다. 2개의 벡터 사이에 상호작용이 있으면, 6개의 변수 사이에 복잡한 관계가 생긴다. 그러나 [math]\vec{A}[/math]와 [math]B[/math]의 성분은, 좌표계를 어떻게 잡는가에 의해 다른 값을 취하나, 역학적인 성질은 좌표계를 잡는 방법과는 본래 관계하지 않을 터이다. 예를들어 [math]\vec{A}[/math]의 크기 [math]A[/math], [math]B[/math]의 크기 [math]B[/math], [math]\vec{A}[/math]와 [math]\vec{B}[/math]의 스칼라곱 '[math]\vec{A} \cdot \vec{B}[/math]는 전부 스칼라 양이므로 좌표계를 잡는 방법에 의존하지 않는다. 그러므로 좌표계를 잡는 방법은 3개의 변수를 정할 필요가 있다. 따라서 위에서 정한 3개의 스칼라 양의 시간변화를 안다면 남은 3개는 좌표계를 정하는 방법을 정하는 변수이며, 이 역학계의 본질적인 성질은 모두 정해지는 것이 된다.
여기서 든 예는 특별히 군론을 사용한 것은 아니지만, 역학의 기술에 있어 유효한 스칼라 양이라고 하는, 회전군에 표현에 속하는 양을 예로 꺼낸 것이다.
역학계가 복잡하게 되면, 그 역학계의 군론적특성의 이해는, 가장 편한 역학변수를 정해낼 수 있도록 하고, 계산의 간소화뿐 만 아니라 그 계의 본질적인 특성을 끄집어 내는 큰 힘이 되어준다.

이상으로 갑자기 회전군이라고 하는 연속 파라메터(회전군의 방향이나 회전각의 크기)를 포함하는 예를 들었으나, 좀 더 단순한 경우도 있다. 2원자분자, 예를들어 수소분자 [math]\text{H}_2[/math]나 산소분자 [math]\text{O}_2[/math]는, 각각을 구성하고 있는 동일의 2개의 원자핵과 그 주변을 휘감고 있는 몇 개의 전자로 구성되어 있다. 이것들의 경우, 2개의 원자핵을 교환하는 가상적인 조작을 행했다고 하자. 2개의 동일물을 교환하는 조작은, 어떤 치환도 없는 조작을 포함하여 2차의 대칭군이라고 하는 가장 단순한 군을 구성한다. 이 대칭군의 대해서는 2개의 기약표현만 존재한다. 이것으로부터, 수소분자의 파동함수는, 이 기약표현의 대응하여 모든 상태가 대칭상태 혹은 반대칭상태로 분류할수 있음을 방정식을 풀지 않아도 보증할 수 있다. 원자, 분자의 대칭성이 좀 더 복잡하게 되며, 군의 표현의 지식은 물리적 성질의 이해나 계산의 능률화에 매우 쓸모있다.

이것들의 예로부터 알수 있듯이, 역학계(혹은 수학적관계식)이 어떤 군의 대칭성을 가지고 있는 경우, 그것이 등장하는 역학양은 모두, 그 대칭성을 만드는 군의 어느 포현에 소속하고 있어야만 한다. 이 사실을 의식적으로 이용하는 것으로써, 역학계의 특성을 이해하거나, 계산의 합리화를 목표하는 것이 응용군론의 목적이다.

또 하나의 문제는, 다루고 있는 군의 종류의 문제이다. 원자나 분자의 양자역학적 성질의 문제에 대해서는, 위에서 든 예로부터 알수 있듯이, 공간의 회전군이나 대칭군등을 포함하는 유한군이 유용할 것이다. 결정내의 전자를 다룰 때에는, 흔히 말하는 격자군이나 공간군이 중요한 역할을 한다.

회전군과 같이 연속적인 파라메터(회전각 [math]\theta[/math] 등)를 가지는 군을 연속군(혹은 Lie Group)이라고 한다. 우리들이 살고 있는 공간이(적어도 우리들의 근방에서) 유클리드공간이므로, 3차원공간군 SO(3) 혹은 그것과 관계가 깊은 2차원 유니터리 리군SU(2)이 가장 중요한 역할을 하는 것은 틀림없다.
물리적대상을 내포한 공간의 기인하는 군이라고 한다면, 회전군뿐만 아니라 당연 로렌츠군도 매우 중요하다.
군론을 파고들수록, 4차원 혹은 그 이상의 고차원의 공간의 회전군등은 직접 응용에 연관이 없어보이지만, 실은 그렇지 않다. 예를들어 [math]n[/math] 종류의 기본입자부터 구성되는 양자역학계가 있다고 하자. 양자역학에서 각각의 입자의 상태는 파동함수[math]\phi_i[/math] [math] (i=1,2,\cdots,n) [/math]의 적절한 중첩으로 기술된다. 고전역학에서는 잘해야 [math]n[/math]개의 입자입자를 교환하는 n차대칭군Sn이라고 불리는 유한군으로 그 역학계의 성질을 특징잡을 뿐이지만, 양자역학에 있어서는 중첩원리라는 성질에 의해 [math]n[/math]개의 파동함수에 복소수 [math]M_{ij}[/math]를 곱해 만든 상태 [math]\phi'_i=\sum_{i=1}^n M_{ij} \phi_j[/math] 이 처음의 상태 [math]\phi_i[/math]와 동등한 경우가 있다. 이 경우 [math]M_{ij}[/math]는 n행n열의 유니터리행렬이나 회전행렬로 잡아서 SU(n)이나 SO(n)이라고 불리는 연속군의 대칭성을 가지는 역학계가 만들어진다. 예를들어 쿼크모형이라고 불리는 소립자모형에서는, SU(3), SU(5), SU(10)등이 이용된다. 이렇듯, 공간의 성질에 관련하지 않아도 물리계의 구성요소의 수에 의해 고차의 군이 응용되어지는 경우가 있다. 또한, 양자역학계에서는 그 역학계특유의 대칭성이 감추어져 존재하는 경우도 있다. 이러한 경우도, 3차원 공간의 회전군보다 고차의 군이 이용되는 예가 있다.

아씨 뭔소리야 사실 무슨 소린지 모른다

1.2 물리법칙과 대칭성

위에 짤막하게 언급했던 바일과 뇌터가 증명한 것은, 임의의 보존법칙에 대해 그 보존량을 불변량으로 갖는 군이 존재한다는 것이다. 이를 뇌터의 정리라 한다. 이는 아주 중요한데, 물리학에서 마음속에 일종의 종교처럼 믿는 보존원리, 대칭원리, 최소원리, 상대성원리... 들 중 보존원리와 대칭원리는 사실 대응되는 개념이라는 것을 의미하기 때문이다. 대표적인 예로 선운동량 보존법칙은 갈릴레이 좌표변환의 군에 대한 보존량. 또한 심심하다면 공간의 평행이동과 회전이동에 대한 대칭성을 만족하는 군중 하나가 특수상대성 이론이라는 것의 유도가 가능하기도 하다.

이에 기초해서 양자역학과 소립자 이론을 세울 때 추상적인 군과 대칭을 생각하고, 여기에서 파생되는 문제 중 하나가 양-밀스 질량 간극 가설이다. 자세한 것은 추가바람.

2 화학에서의 군론

화학의 4대축중 하나인 물리화학에서 양자화학을 다루고 있기 때문에 화학도들도 군론을 접할 수 있다. 다만, 물리학이나 수학에서만큼 깊고 전문적으로 배우지는 않고 주로 응용을 위한 간단한 계산과정을 배운다고 할 수 있겠다. 응용 분야는 크게 두 가지로 나뉜다. 첫째로는 분자가 갖는 여러 대칭성을 조합하여 분자의 다양한 성질을 유추하는 데 사용된다. 예를 들면 물분자의 대칭이 어떻게 만들어 질수 있는 지 알아보고 그것을 통해 어떤 진동 운동을 할 수 있을지 예측해 보는 것이라고 할 수 있겠다. 두번째 응용으로는 바탕함수로 이루어진 바탕집합들을 1차 결합하여 분자 오비탈 이론을 정성적으로 설명하는 데에 있다. 화학도들에게 중요한 점은 양자역학의 적분값을 계산하지 않고도 여러 내용을 추론 할 수 있다는 점이다! 이게 왜 중요하냐면, 화학도들은 선형대수학과 미분방정식을 안배우는 경우가 많기 때문에 적분값을 못구하는 경우가 많기 때문이다. 어차피 다 알아도 손으로는 못 구한다. H2⁺까지가 백지에다 수학실력만 가지고 손으로 어떻게 디벼볼 수 있는 한계 하지만 군론도 생소해서 어렵고, 어렵기 때문에 포기하는 사람이 있다.

2.1 군이 될 조건

1. 군에 포함된 원소들의 'product'는 다시 그 군에 포함되어야 한다.
2. 항등원에 해당하는 'identity element'가 존재한다.
3. 결합법칙이 성립한다.
4. 모든 원소는 역원에 해당하는 'reciprocal element'를 가진다.
5. 화학과에서는 space group은 안따진다. point group만 신경쓰자.

2.2 자주 사용되는 대칭 조작

1. E : 특별한 대칭없이 그 상태 자체에 따른 조작
2. Cn : 축을 중심으로 2π/n 으로 회전하였을 때에도 대칭을 유지하는 조작
3. σ(h, d, v) : 평면을 중심으로 대칭하는 조작(h는 주축에 수직하는 평면, v는 주축과 원소를 포함하는 평면, d는 주축을 포함하며 원소를 이등분하는 평면)
4. Sn : 축을 중심으로 2π/n으로 회전하고 축에 수직하는 평면에 대칭할 때 대칭성을 유지하는 조작
5. i : 중심을 기분으로 반전조작.

3 음악에서의 군론

음악 이론에서도 군론이 쓰인다! 밀턴 배빗은 군론의 아이디어를 정식적으로 음악에 사용해 대칭적인 음악의 조화를 성명한 업적을 인정받았다. 음악학도 다 죽게 생겼다 이놈들아