1 개요
[math] (i\gamma^\mu\partial_\mu-m) \Psi=0 [/math]
물리학자 폴 디랙에 의해 정립된 방정식
영화화도 된 어떤 소설 때문에 반물질에 대해서 들어본 적은 있을 것이다. 그 반물질을 처음 수학적으로 예측한 것이 디랙 방정식이다. 디랙 방정식은 슈뢰딩거 방정식을 상대론에 확장한 것으로, 상대론적 양자역학을 시작한 방정식이다. 또, 이 방정식은 행렬역학과 파동역학이 동등함을 보이기도 한 방정식이다. 일타삼피
2 유도
2.1 클라인-고든 방정식으로부터의 유도
먼저 클라인-고든 방정식을 생각하자.
[math](\square ^2 + m^2) \Psi = 0 [/math]
이 공식을 인수분해하면,
[math](-i\square + m)(\square +m) \Psi = 0 [/math]
이 인수분해의 좌변과 [math] \Psi [/math]의 곱인
[math](-i\square + m)\Psi = 0 [/math]
이 바로 디락 방정식이다.
사실 유도라기보다 어쩌다 보니 이 성질이 성립하는 거다(...)
3 역사와 의미
상대론이 나온 건 1905년이고, 슈뢰딩거 방정식은 1926년에 나왔는데 왜 슈뢰딩거가 상대론을 도입하지 않았느냐는 의문이 자연스레 떠오른다.
사실 고전적 에너지 대신 상대론적 에너지 공식을 사용하면 슈뢰딩거 방정식을 유도할 때와 같은 방법으로 상대론적 방정식을 유도할 수 있고, 실제로 디랙 방정식 전에 클라인-고든 방정식이라는 상대론적 양자역학 식이 발표되었다. 슈뢰딩거도 이 식에 먼저 도달했는데, 전자의 운동을 제대로 기술하지 못했기 때문에 비상대론적 식을 발표했다고 한다.
전설에 따르면, 디랙은 화로를 쳐다보고 있다가 방정식의 계수가 숫자가 아닌 행렬이면 어떨까 하는 생각에 제대로 된 방정식을 떠올릴 수 있었다고 한다. 슈뢰딩거가 6개월에 걸쳐서 만든 걸 몇 시간 만에 상대론을 도입했다고(...) 슈뢰딩거 지못미 어쨌든 디랙 방정식이 상대론적 양자역학을 제대로 기술한 첫 방정식이다. 여러 입자들 중에서도 반정수의 스핀 양자수를 가진 페르미온의 운동을 기술하는 방정식이다.
그렇다면 이 방정식이 어떻게 반입자를 예측하느냐는 것인데, 간단하게 설명하자면 방정식을 풀었더니 해가 두 개 나왔다.왜냐하면 E^2=(mc2)^2므로 해는 양 음수 두개기때문이다. E가 mc2라는것은 쉽게 이해할 수 있다. 물체의 정지에너지 (질량 그 자체가 가지는 에너지)가 mc2이고, 물체가 움직이면 운동에너지를 가질 것이기 때문에 mc2 라는것은 당연하다. 그러나 에너지가 음수라는 것은 무슨 소리인가? 디랙은 이것이 우리가 확인할 수 없을 뿐 실재하는 물리적 상태라고 생각했다. (참고로 말하자면 이 마이너스 상태가 반물질은 아니다! 용어가 헷갈리긴 하는데, 반물질은 만들 수도 있고 관찰도 가능하고 결정적으로 양의 질량과 양의 에너지를 가진다. 뒤에 자세히 서술하겠다.) 전자는 낮은 에너지 준위가 있으면 전자기파를 방출하고 그 준위로 떨어진다. 그렇다면 '우리 세상'의 전자는 2mc2의 에너지의 전자기파를 방출하고 마이너스 세상으로 떨어질 것이다. 그런데 어떻게 우리 세상에 전자가 존재하는가? 그것은 마이너스 세상에 전자가 꽉 차 있기 때문이다. 즉, 진공이 단순히 아무것도 없는 것이 아니라, 이 마이너스 세상에 전자가 꽉 차 있는 것. 이것을 디랙의 바다라고 부른다.
그렇다면 반물질은 무엇인가? 물 속에서 물의 "부재"가 공기방울이라는 입자로 보이듯이 마이너스 세상에서 전자가 하나만 없으면 우리 눈에는 그것이 입자로 보일 것이다. 마이너스 세상에서의 부재이니 질량은 양수이고, 전하는 전자와 반대로 양전하다. 만약 전자와 양전자(전자의 반입자는 전통적으로 양전자positron이라고 부른다)가 충돌한다면, 즉 전자가 마이너스 세상에 내려갈 자리를 찾았다면, mc2+mc2 (반입자가 입자라는 관점) 혹은 mc2-(-mc2) (에너지 준위의 차이를 고려한 관점) (관점이 어떻든 둘 다 2mc2이다. 이는 당연한 것이다.) 만큼의 에너지를 방출하고 전자는 마이너스 세상으로 내려간다. 즉, 우리가 관찰할 수 있는 세계에서 사라진다. 이 과정을 쌍소멸(annihilation)이라고 한다. 이와 반대로 빛에너지를 마이너스 세상의 전자가 흡수하여 우리 세상으로 올라오는 경우도 있다. 이것은 쌍생성 (pair production)이라고 한다.
네이버캐스트에 설명이 아주 잘 되어 있으니 읽고 싶은 사람은 읽어보라.
상
하
사실 처음 발표할 때 디랙은 이게 반물질이 아니라 양성자라고 추측했다. 나중에 양전자가 발표되고 왜 더 간단하고 직관적인 반물질을 주장하지 않았느냐고 하자, "Pure cowardice! (틀릴까봐 겁났던 게지!)"라고 쿨하게 인정했다.
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