1 개요
정수론의 가장 중요한 문제 중 하나로써, 방정식의 정수해 또는 유리수해를 찾는 것이다.
1.1 정의
Diophantine Equation정수조건 부정방정식
미지수를 정수에 한해서만 한정하여 생각하는 부정방정식
2 설명
간단한 예로 다음 문제를 생각해 보자. 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형은 어떤 것이 있을까?
다시 말해서, 이는 피타고라스의 정리의 방정식[math] a^2 + b^2 = c^2 [/math]을 만족하는 자연수 [math] \left(a,b,c\right) [/math]를 찾는 것이다. 이를 만족하는 [math] \left(3,4,5\right) \left(5,12,13\right) \left(6,8,10\right) \left(7,24,25\right) \left(8,15,17\right)[/math] 등의 무한히 많은 쌍들은, 사실 모두[math]\left(a,b,c\right)=k\left(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2\right) [/math] 혹은 [math]\left(a,b,c\right)=k\left(2mn, m^2-n^2,m^2+n^2\right) [/math] 의 형태로 나타낼 수 있다. 이런 식으로 변수가 정수인 다항방정식을 디오판토스 방정식(Diophantine equation)이라 부른다.
유명한 페르마의 마지막 정리 [math] x^n + y^n = z^n [/math]도 디오판토스 방정식의 예라고 볼 수 있다. 하지만 페르마의 마지막 정리 항목을 보면 알겠지만, 이 경우의 정수해는 [math]xy=0[/math]인 경우를 제외하고는 존재하지 않는다. 이 문제는 대다수의 디오판토스 방정식은 보기와는 다르게 매우 어렵다는 것을 시사하기도 한다. 사실 실수의 방정식이라면 (차수나 양음의 조건만 만족시키면) 해가 존재하는 건 당연하지만, 이 경우에는 '정수가 되어야 한다'는 훨씬 까다로운 조건을 만족해야 하니...
방정식의 유리수해를 찾는 것은 정수해를 찾는 것과 꽤 비슷하다. 예로 위의 피타고라스 정리 방정식의 경우 양변을 [math]c^2[/math]으로 나누고 [math]x={a \over c}, y={b \over c}[/math] 로 두면, 이는 원의 방정식 [math]x^2 +y^2=1 [/math]이 되며 이 위에서 [math]\left(x,y\right)[/math]가 유리수인 점을 찾는 문제가 된다.
3 풀이
가령
[math]2x+3y=5 [/math] 라는 방정식이 있다고 하자. 이 방정식은 특수해 [math] \left(1,1\right) [/math] 를 가진다.
여기서 [math]2x+3y=5 [/math] 를 [math] 2 \left(x-1\right)=3 \left(-y+1\right) [/math] 로 바꾸자.
그러면 2와 3은 서로소이므로 임의의 정수 [math] m [/math] 에 대하여 [math] x-1=3m , -y+1=2m [/math] 이므로
일반해는 [math] \left(x,y\right) = \left(3m+1,-2m+1\right) [/math] 의 꼴을 가진다.
따라서, [math] ax+by=k [/math] 꼴의 부정방정식은 [math] \left(bm+x_0,-am+y_0\right) [/math] 꼴의 일반해를 가진다.
(단, [math] m [/math] 은 임의의 정수, [math] x_0, y_0 [/math] 은 방정식 [math] ax+by=k [/math] 의 특수해.))