로그함수

로그函數 / Logarithm Function

1 개요

로그의 진수나 밑에 미지수 x가 있는 함수, 즉 [math]f(x) = \log_{a}{x} (a\gt0, a \neq 1)[/math] 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 로그의 정의는 로거리듬 문서 참고.
지수함수와 마찬가지로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에[1] 초월함수에 속한다.
대한민국의 고등학교 수학 교육 과정상에서는 지수함수를 배운 뒤 그 역함수로 소개한다.
로그의 정의에 의해 밑은 0보다 크고 1이 아니어야 하므로 아래 문단에서 나오는 밑으로 쓴 모든 [math]a[/math]는 별 말이 없으면 0보다 크고 1이 아닌 것을 전제로 한다.

2 그래프의 특징

  • [math]a^0 = 1[/math]이고 이를 로그로 표현하면 [math]\log_{a}{1} = 0[/math]이기 때문에 [math](1, 0)[/math]을 반드시 지난다.
  • [math]a^1 = a[/math]이고 이를 로그로 표현하면 [math]\log_{a}{a} = 1[/math]이기 때문에 [math](a, 1)[/math]을 반드시 지난다.
  • [math]\displaystyle a^{-1} = {1 \over a}[/math]이고 이를 로그로 표현하면 [math]\displaystyle \log_{a}{1 \over a} = -1[/math]이기 때문에 [math]\displaystyle ({1 \over a}, -1)[/math]을 반드시 지난다.
  • [math]a\gt1[/math]인 경우, [math]x[/math]값이 증가하면 [math]y[/math]값도 증가하는 증가함수이다.
  • [math]0\lta\lt1[/math]인 경우, [math]x[/math]값이 증가하면 [math]y[/math]값은 감소하는 감소함수이다.
  • x에 딸린 상수항이 없는 경우 절대로 2, 3사분면을 지나가지 않는다.
  • 지수함수 [math]f(x) = {a}^{x}[/math]의 그래프와 서로 역함수 관계이다. 즉, [math]y=x[/math]에 대칭이다.

한편, 밑이 정의역인 [math]\displaystyle \log_{x}{a}[/math]의 성질은 다음과 같다.

  • [math]x \gt 1[/math]인 경우, [math]x[/math]값이 증가하면 [math]y[/math]값은 감소하는 감소함수이다.
  • [math]0 \lt x \lt 1[/math]인 경우, [math]x[/math]값이 증가하면 [math]y[/math]값은 감소하는 감소함수이다.
  • [math]x \lt 0[/math]인 경우, [math]x[/math]값이 증가하면 [math]y[/math]값은 감소하는 감소함수이다.
  • [math]x = 1[/math]을 점근선으로 갖고 있으며, [math]x = 0[/math]의 값은 정의되지 않는다.

3 극한값

  • [math]a\gt1[/math]의 경우
    • [math]\lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = \infty[/math]
    • [math]\lim_{x \rightarrow +0}{a^x} = -\infty[/math]
  • [math]0\lta\lt1[/math]의 경우
    • [math]\lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = -\infty[/math]
    • [math]\lim_{x \rightarrow +0}{a^x} = \infty[/math]

극한을 모르는 이를 위해 설명하자면, a>1이면 x값이 증가할 수록 그래프가 위로 올라가고[2], x값이 0의 오른쪽에서 점점 0에 다가가면 y축에 점점 가까워지면서 아래로 쭉 내려간다는 뜻.
0<a<1이면 반대로 x값이 증가할 수록 그래프가 아래로 내려가고[3], x값이 0의 오른쪽에서 점점 0에 다다가면 그래프가 y축에 점점 가까워지면서 위로 쭉 올라간다는 뜻. 하늘을 뚫는 그래프
이때 어느 경우든 x를 0의 오른쪽에서 0에 가까이 보내보면 함수의 그래프가 y축에 점점 가까워지므로 y축을 점근선으로 갖는다고 볼 수 있다.
다만 이 표현은 이해를 돕기 위한 표현이므로 정확한 표현이 아니다. 극한 문서 참고.

4 미적분

  • 밑이 자연상수인 경우
    • 미분 : [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}[/math]
      • [math]\displaystyle \frac{d}{dx} {1 \over \ln x} = -\frac{1}{\ln^2 x}[/math][4]
    • 적분 : [math]\displaystyle \int \ln x dx=x\ln x-x+C[/math]
      • [math]\displaystyle \int {1 \over \ln x} dx[/math]는 초등함수로 적분이 불가능하다.[5]
  • 밑이 임의의 수인 경우
    • 미분 : [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\log_ax = \frac{1}{x \ln a}[/math]
    • 적분 : [math]\displaystyle \int \log_axdx=\frac{x\ln x-x}{\ln a}+C[/math]
  • 밑이 허수인 경우
    • 미분 : [math]\displaystyle \frac{d}{dx}\log_{i}x = - \frac{2i}{\pi x}[/math]
    • 적분 : [math]\displaystyle \int \log_{i}x dx = - 2ix \frac{-1 + \ln x}{\pi}[/math]
  1. ↑ 일반적인 다항식이라는 것에 유의. 정의 자체는 [math]x = a^{f(x)}[/math]로 다항식의 꼴이다.
  2. ↑ 하지만 가면 갈 수록 증가하는 속도가 점차 줄어든다.
  3. ↑ 하지만 가면 갈 수록 감소하는 속도가 점차 줄어든다.
  4. ↑ [math]\displaystyle \ln^2 x = \ln \circ \ln x = \ln(\ln x)[/math]이다.
  5. ↑ 적분식이 [math]\displaystyle \int {1 \over \ln x} dx = \text{li}(x) + C = \int_{0}^{x} {dt \over \ln t} + C[/math]로, li는 로그 적분이라는 초월함수이다.