로그함수

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로그函數 / Logarithm Function

1 개요

로그의 진수나 밑에 미지수 x가 있는 함수, 즉

$$f(x) = \log_{a}{x} (a\gt0, a \neq 1)$$ 꼴로 나타낼 수 있는 함수를 말한다. 로그의 정의는 로거리듬 문서 참고.
지수함수와 마찬가지로 일반적인 다항식으로 표현할 수 없기 때문에 초월함수에 속한다.
대한민국의 고등학교 수학 교육 과정상에서는 지수함수를 배운 뒤 그 역함수로 소개한다.
로그의 정의에 의해 밑은 0보다 크고 1이 아니어야 하므로 아래 문단에서 나오는 밑으로 쓴 모든 $$a$$ 는 별 말이 없으면 0보다 크고 1이 아닌 것을 전제로 한다.

2 그래프의 특징

• $$a^0 = 1$$ 이고 이를 로그로 표현하면 $$\log_{a}{1} = 0$$ 이기 때문에 $$(1, 0)$$ 을 반드시 지난다.
• $$a^1 = a$$ 이고 이를 로그로 표현하면 $$\log_{a}{a} = 1$$ 이기 때문에 $$(a, 1)$$ 을 반드시 지난다.
• $$\displaystyle a^{-1} = {1 \over a}$$ 이고 이를 로그로 표현하면 $$\displaystyle \log_{a}{1 \over a} = -1$$ 이기 때문에 $$\displaystyle ({1 \over a}, -1)$$ 을 반드시 지난다.
• $$a\gt1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값도 증가하는 증가함수이다.
• $$0\lta\lt1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값은 감소하는 감소함수이다.
• x에 딸린 상수항이 없는 경우 절대로 2, 3사분면을 지나가지 않는다.
• 지수함수 $$f(x) = {a}^{x}$$ 의 그래프와 서로 역함수 관계이다. 즉, $$y=x$$ 에 대칭이다.

한편, 밑이 정의역인

$$\displaystyle \log_{x}{a}$$ 의 성질은 다음과 같다.

• $$x \gt 1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값은 감소하는 감소함수이다.
• $$0 \lt x \lt 1$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값은 감소하는 감소함수이다.
• $$x \lt 0$$ 인 경우, $$x$$ 값이 증가하면 $$y$$ 값은 감소하는 감소함수이다.
• $$x = 1$$ 을 점근선으로 갖고 있으며, $$x = 0$$ 의 값은 정의되지 않는다.

3 극한값

• $$a\gt1$$ 의 경우
  • $$\lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = \infty$$
  • $$\lim_{x \rightarrow +0}{a^x} = -\infty$$
• $$0\lta\lt1$$ 의 경우
  • $$\lim_{x \rightarrow \infty}{a^x} = -\infty$$
  • $$\lim_{x \rightarrow +0}{a^x} = \infty$$

극한을 모르는 이를 위해 설명하자면, a>1이면 x값이 증가할 수록 그래프가 위로 올라가고, x값이 0의 오른쪽에서 점점 0에 다가가면 y축에 점점 가까워지면서 아래로 쭉 내려간다는 뜻.
0<a<1이면 반대로 x값이 증가할 수록 그래프가 아래로 내려가고, x값이 0의 오른쪽에서 점점 0에 다다가면 그래프가 y축에 점점 가까워지면서 위로 쭉 올라간다는 뜻. 하늘을 뚫는 그래프
이때 어느 경우든 x를 0의 오른쪽에서 0에 가까이 보내보면 함수의 그래프가 y축에 점점 가까워지므로 y축을 점근선으로 갖는다고 볼 수 있다.
다만 이 표현은 이해를 돕기 위한 표현이므로 정확한 표현이 아니다. 극한 문서 참고.

4 미적분

• 밑이 자연상수인 경우
  • 미분 : $$\displaystyle \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$$
    • $$\displaystyle \frac{d}{dx} {1 \over \ln x} = -\frac{1}{\ln^2 x}$$
  • 적분 : $$\displaystyle \int \ln x dx=x\ln x-x+C$$
    • $$\displaystyle \int {1 \over \ln x} dx$$ 는 초등함수로 적분이 불가능하다.
• 밑이 임의의 수인 경우
  • 미분 : $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log_ax = \frac{1}{x \ln a}$$
  • 적분 : $$\displaystyle \int \log_axdx=\frac{x\ln x-x}{\ln a}+C$$
• 밑이 허수인 경우
  • 미분 : $$\displaystyle \frac{d}{dx}\log_{i}x = - \frac{2i}{\pi x}$$
  • 적분 : $$\displaystyle \int \log_{i}x dx = - 2ix \frac{-1 + \ln x}{\pi}$$